Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Tam sayılarla çarpma ve bölme işlemi konusunu öğreneceğiz.
Tam sayılarla çarpma işlemi toplama işleminin kısa yoludur. Aynı tam sayının tekrarlı toplamının kısa yoldan yapılmasına “çarpma işlemi” denir. “x” veya “.” sembolü ile gösterilir.
İki tam sayının çarpımında 1. çarpan kaç grup olduğunu 2. çarpan ise her grupta kaç sayı olduğunu gösterir.
Örneğin (+4)x(+2) gösterimi 4 grup ve her grupta 2 sayı olduğunu (+2)x(+4) gösterimi 2 grup ve her grupta 4 sayı olduğunu gösterir.
*** Tam sayıların çarpımı sayma pulları veya sayı doğrusu kullanılarak modellenebilir.
(+4) . (-3) işleminin sonucunu negatif sayma pulları ile modelleyelim.
(+4) . (-3) gösterimi 4 grup ve her grupta 3 negatif sayma pulu olacağını gösterir.
*** Tam sayılarda çarpma işlemini sayma pulları kullanmadan daha pratik olarak yapmak istediğimizde izlenecek yol şu şekildedir;
- ilk olarak tam sayıların işaretlerine bakılmaksızın tam sayılar çarpılır.
- Ardından da tam sayıların işaretleri çarpılır.
Tam sayıların işaretleri çarpılırken de şu yol izlenir; aynı işaretlerin çarpımı her zaman pozitif, zıt işaretlerin çarpımı her zaman negatif sonuç vermektedir. Yani;
- (-) x (-) = (+)
- (+) x (+) = (+)
- (-) x (+) = (-)
- (+) x (-) = (-)
(-8) x (+3) ve (-4) x (-7) işlemlerinin sonucunu bulalım.
İlk olarak işaretlere bakmaksızın çarpma işlemi yapılır.
8 x 3 = 24 ardından da (-) x (+) işlemi yapılır. Zıt işaretler olduğu için cevap (-) olacaktır. O halde sonuç -24’tür.
İkinci işlemde de 4 x 7 = 24 yapar. (-) x (-) işleminde aynı işaretli olduğu için cevap (+) olacaktır. O halde sonuç +24’tür.
*** 0 ile bir tam sayının çarpımının 0’a eşit olduğuna dikkat ediniz. Çünkü 0 sayısı çarpma işleminde yutan elemandır.
*** Bir tam sayının 1 ile çarpımı kendisine eşittir. 1 çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.
Örnek: Aşağıda verilen işlemleri yapalım.
a) 2 . 6
b) 5 . (-3)
c) (-3) . 5
ç) (-4) . (-9)
Çözüm:
a. 2 . 6 = 12 , her iki tam sayıda (+) işaretli olduğu için (+) . (+) = (+) sonucunu vereceğinden cevap +12’dir.
b. 5 . 3 = 15 , tam sayıların işaretleri (+) . (-) olduğu için sonuç (-) olacaktır ve cevap -15’tir.
c. 3 . 5 = 15 , tam sayıların işaretleri (+) . (-) olduğu için sonuç (-) olacaktır ve cevap -15’tir.
ç. 4 . 9 = 36 , tam sayıların işaretleri (-) . (-) olduğu için sonuç (+) olacaktır ve cevap +36’dır.
*** Yukarıdaki örnekte de görüldüğü üzere çarpma işleminin değişme özelliği vardır. Yani; 5 . (-3) = (-3) . 5’e eşittir.
Tam Sayılarda Bölme İşlemi
Tam sayılarda bölme işlemi yaparken hem sayı pulları ile hem de kısa yoldan bölme işlemi yapmamız mümkündür.
(+8) : (+4) işleminin sonucunu sayma pulları kullanarak bulalım.
*** Bölme işleminde de kısa yol kullanılırken çarpma işlemindeki yol izlenir. Yani;
- Öncelikle tam sayıları işaretlerine bakmaksızın bölme işlemi yaparız.
- Ardından da tam sayıların işaretlerini bölme işlemine tabi tutarız ki bu işlem çarpma işleminin aynısıdır.
Tam sayıların işaretleri birbiriyle bölünürken;
- (-) : (-) = (+)
- (+) : (+) = (+)
- (-) : (+) = (-)
- (+) : (-) = (-)
Örnek: (-9) : (+3) işleminin sonucunu hem sayma pulları ile modelleyerek hem kısa yoldan yaparak bulalım.
Çözüm:
1. Yol
2. Yol
(-9) : (+3) sayılarının işaretlerini çıkararak bölme işlemi yapılır.
9 : 3 = 3
Ardından da işaretlerin bölmesi yapılır. (-) : (+) = (-) olacağından sonuç -3’tür.
*** Sıfırdan farklı bir tam sayının 1’e bölümü kendisine, -1’e bölümü ise bu sayının zıt işaretlisine eşittir.
*** 0 hariç bir tam sayının kendisine bölümü 1’e eşittir.
Örnek: Aşağıda verilen eşitliklerde boş kutucuklara doğru sayları yazınız.
Çözüm:
a. 20 : 4 = 5 , tam sayıların işaretleri (+) : (+) = (+) olacaktır. O halde sonuç +5’tir.
b. 20 sayısını hangi sayıya bölersek sonuç 5 çıkar? Tabii ki de 4’e bölersek sonuç 5 kalır. Şimdide 4 sayısının işaretini bulmamız gerekir. 20 sayısının işareti (-) ve sonuç (+) işaretli olduğu için 4 sayısının da işareti (-) olamalıdır. Ancak bu şekilde (-) : (-) = (+) yapacaktır.
c. Hangi sayısı 4’e bölersek 5 kalır? Tabii ki de 20 sayısını 4’e bölersek 5 kalır. Şimdide 20 sayısının işaretini bulmamız gerekir. Bunun için şöyle bir eşitlik yazabiliriz; (?) : (-) = (-).
Soru işaretinin yerine gelecek işareti ise (+)’dır. O halde sonuç +20’dir.
ç. 0’ı herhangi bir sayıya böldüğümüzde sonuç yine 0 çıkacaktır.
d. Hangi sayıyı 2’ye bölersek 0 sonucuna ulaşırız. Tabii ki 0 sayısını 2’ye bölersek 0 sonucuna varırız.
e. 0 hariç her sayının kendisine bölümü 1’e eşittir. O halde sonuç 1’dir.
Tam Sayılarda Problem Çözme
Örnek: Bir oteldeki görevli zeminin 3 kat altındaki otoparktan aldığı bavullar asansörle 9. kata taşıdıktan sonra tekrar asansörle otoparka inecektir. Bavulların ağırlığı asansörün taşıma kapasitesini aşmayacak şekilde bavullar birkaç sefer yaparak asansörle taşıyan görevli toplam 48 kat yer değiştirdiğine göre kaç sefer yapmıştır?
Çözüm:
Asansörün zeminin 3 kat altından (–3) 9. kata çıkması için 3 + 9 = 12 kat hareket etmesi gerekir.
Asansör tekrar aşağı indiğinde yine 12 kat hareket eder. Buna göre asansör bir seferde 2 x 12 = 24 kat hareket eder.
Asansör 48 kat yer değişikliğinin sonucunda tekrar otoparka geldiğinden oda görevlisi 48 ÷ 24 = 2 sefer yapmıştır.
Örnek: Yeni evli bir çift kendi evlerinde oturmak için bir ev almaya karar vermiştir. Beğendikleri evin fiyatı 180 000 TL’dir. Yeterli paraları olmadığı için bir bankadan konut kredisi çekmek istemektedirler.
Bankaya başvuran bu çifte banka yetkilileri evin fiyatının 45 000 TL’sinin peşin ödenmesi gerektiğini ve geriye kalan kısmı 5 yıl boyunca aylık eşit taksitlerle ödemeleri halinde 148 500 TL daha ödemeleri gerektiğini söylemiştir. Buna göre bu teklifi kabul etmeleri hâlinde bu çiftin kaç lira peşin ödeyeceğini, aylık taksit miktarını ve evin toplam kaç liraya mal olduğunu bulunuz.
Çözüm:
Peşinat 45 000 TL,
5 yıl = 5·12 ay = 60 aydır. Aylık taksitler 148500 : 60 = 2475 TL’dir.
Eve peşinat için 45 000 TL ve geri kalan kısmı için 148 500 TL ödeneceği için evin toplam maliyeti
45000 + 148500 = 193500 TL’dir.
Örnek: Deniz seviyesinden yükseklere çıkıldıkça atmosferin kalınlığı ve yoğunluğu azalır. Ayrıca yükseklere doğru çıkıldıkça her 200 m’de sıcaklık 1°C azalır. Bir dağcı deniz seviyesinde ve 23°C sıcaklıktaki bir yerden 1000 m yükseltideki dağın zirvesine çıkmak istiyor. Dağın zirvesindeki sıcaklık kaç °C olur?
Çözüm: Sıcaklık her 200 m’de 1°C azaldığından 1000 m’de 1000 ÷ 200 = 5°C azalır. Öyleyse dağın zirvesinde sıcaklık 23°C — 5°C = 18°C olur.
Örnek: 100 kg ağırlığındaki Aytaç Bey, kilo vermeye karar vermiş ve bir diyetisyen eşliğinde diyete başlamıştır. Yaptığı diyet ile her ay 2 kg vermeyi başaran Aytaç Bey 10 ay sonunda kaç kilogram olur?
Çözüm: Aytaç Bey, 1 ayda 2 kg verdiýinden 10 ay sonunda 10 x 2 = 20 kg zayflar. 10 ay sonunda
Aytaç Bey 100 — 20 = 80 kg olur.
Üslü Nicelikler
a sıfırdan farklı bir tam say ve n bir doğal sayı olmak üzere, n tane a tam sayısının çarpımı
olan an ifadesine a’nn n’inci kuvveti denir.
an ifadesinde a taban, n ise kuvvet (üs) olarak adlandırılır.
- 4 tam sayısının 1, 2 ve 3. kuvvetlerini hesaplayalım.
- 4¹ = 4
- 4² = 4 .4 = 16
- 4³ = 4 . 4 . 4 = 64
Bir sayının 2. kuvvetine o sayının karesi, 3. kuvvetine o sayının küpü denir.
10 ve -8 sayılarının karelerini, 15 ile -7 sayılarının küplerini bulalım.
10’un karesi 10² = 10 . 10 = 100
-9’un karesi (-9)² = (-9) . (-9) = 81
15’in küpü = 15³ = 15 . 15 . 15 = 3375
-7’nin küpü = (-7)³ = (-7) . (-7) . (-7) = -147
*** 1’in tüm doğal sayı kuvvetleri 1’e eşittir.
Örneğin 1 = 1¹ = 110 = 123
(-1)’in tek doğal sayı kuvvetleri -1’e, çift doğal sayı kuvvetleri 1’e eşittir.
Örneğin -1 = (-1)³ = (-1)5 = (-1)11
1 = 12 = 14 = 110
*** (-3)2 = 32 , (-3)4 = 34 , (-2)6 = 26 olduğuna dikkat ediniz.
Örnek: Aşağıdaki ifadeler ile sonuçlarını eşleştiriniz.
Çözüm:
a. (-10)² = (-10) . (-10) = +100
b. (-1)5 = (-1) . (-1) . (-1) . (-1) . (-1) = (-1)
c. 15 = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1
ç. (-2)³ = (-2) . (-2) . (-2) = -8
d. 2³ = 2 . 2 . 2 = 8
Örnek: Aşağıdaki çarpımları bir tam sayının kuvveti şeklinde yazınız.
a) (–9)·(–9)
b) (–10)·(–10)·(–10)·(–10)
c) (–7)·(–7)·(–7)·(–7)·(–7)·(–7)
Çözüm:
a. (-9) . (-9) = (-9)²
b. (-10) · (-10) · (-10) · (-10) = (-10)4
c. (-7) · (-7) · (-7) · (-7) · (-7) · (-7) = (-7)6
Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.