Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde 7.Sınıf Matematik Doğrusal denklemler konusunu öğreneceğiz.

İki say doğrusunun 0 (sıfır) noktasında birbiriyle dik kesişmesiyle “koordinat sistemi” oluşur. Koordinat sistemindeki yatay eksene “x ekseni”, dikey eksene “y ekseni”, eksenlerin kesiştiği noktaya da orijin (başlangıç noktası) denir.

Koordinat sisteminde bir noktaya karşılık gelen sayı ikilisine sıralı ikili denir. Bir noktayı gösteren sıralı ikililer o noktanın koordinatlarıdır.

Bir sıralı ikilide ilk sayı x eksenine, ikinci sayı y eksenine karşılık gelen sayıyı gösterir. (a, b) sıralı ikilisinde a sayısına “birinci bileşen”, b sayısına ise “ikinci bileşen” denir.

Koordinat sisteminde A(-1, 3), B(3, 2), C(-2, -3) ve D(2, -2) noktalarını işaretleyelim.

A(–1, 3) noktasını koordinat sisteminde işaretlemek için başlangıç noktasından 1 birim sola, 3 birim yukarı gideriz.
Benzer şekilde B(3, 2), C(–2, –3) ve D(2, –2) noktalarının koordinat sistemindeki yerlerini aşağıdaki koordinat sisteminde işaretleyelim.

Koordinat sistemi, bulunduğu düzlemi dört bölgeye ayırır.

Bölgelerdeki noktaların birinci ve ikinci bileşenlerinin işaretleri yukarıda verilen tablodaki gibidir.
1. bileşeni 0 (sıfır) olan bir noktaları y ekseni; 2. bileşeni 0 (sıfır) olan noktalar ise x ekseni üzerindedir.

Örnek: Bir havalimanı kulesi başlangıç noktası, x ekseni zemin ve kulenin uzantısı y ekseni kabul edilerek çizilen yandaki koordinat sisteminde bir uçağın bulunduğu nokta işaretlenmiştir. Bu noktaya karşılık gelen sıralı ikiliyi yazalım. Bu uçağın yerden yüksekliğini ve kulenin uzantısına uzaklığını bulalım.

Çözüm: Verilen noktadan x eksenine çizilen dikme 10 noktasına, y eksenine çizilen dikme 6 noktasına
karşılık gelir. P noktasının koordinat sistemindeki yeri (10, 6) sıralı ikilisiyle gösterilir. Uçağın yerden yüksekliği P noktasından x eksenine çizilen dikmenin uzunluğuna eşittir. Uçağın yerden yüksekliği 6 km’dir. Uçağın kulenin uzantısına olan uzaklığı P noktasından y eksenine çizilen dikmenin uzunluğuna eşittir. Yani 10 km’dir.

---

Doğrusal İlişki

Doğrusal ilişki ifade eden denklemlere doğrusal denklemler denir. İki değişkenden oluşan bir doğrusal denklem ax + by + c = 0 şeklinde gösterilir. Bu ifadede x ile y değişken, a ve b katsayılar, c ise sabit terimdir.

ax + by + c = 0 denkleminin doğrusal denklem belirtmesi için a ve b katsayılarından en az biri sıfırdan farklı olmalıdır. Yani denklemde en az bir değişken bulunmalıdır.

İzmir’de taksi ile yapılan yolculuklarda taksimetre 300 kr ile açılarak her kilometrede 245 kr artar. Açılış ücretini de göz önüne alarak gidilen yol ile ücret arasındaki doğrusal ilişkiyi tabloda gösterelim. Tabloda yol ile ücreti sıralı ikili biçiminde ifade edelim. Bu doğrusal ilişkinin denklemini yazalım ve grafiğini çizelim.

Gidilen yol arttıkça ödenen ücret de artmaktadır. Gidilen yol ile ücret arasında doğrusal ilişki
vardır. Doğrusal ilişkinin denklemi y = 300 + x·245’tir. Bu denklemi y = 245x + 300 şeklinde de yazabiliriz.

Birinci bileşenler yolu, ikinci bileşenler ücreti göstermek üzere bu denklemi sağlayan sıralı ikililer
(0,300), (1, 545), (2,790), (3,1035)… şeklindedir. Bu sıralı ikilileri koordinat sisteminde işaretleyerek bu doğrusal ilişkinin grafiğini çizelim.

Grafikten de gördüğümüz üzere taksimetrenin ilk açılışında 300 kr, 1 km yol gidilince 545 kr, 2 km yol gidilince 790 kr ücret ödenmektedir. Gidilen yol arttıkça ödenen ücret de artmaktadır.

Örnek: Bir yolcu uçağının deposu 26 000 L benzin almaktadır. Bu uçak 1 km’de 5 L benzin harcamaktadır.

Bu uçağın deposu tam dolu iken kaç kilometre yol gidebileceğini ve deposunda kalan benzin miktarını gösteren doğrusal ilişkiyi tabloda gösterelim.

Doğrusal ilişkinin denklemini yazalım ve grafiğini çizelim.

Çözüm: Uçak gittiği her kilometre için benzin harcayacağından uçağın deposundaki benzin miktarı azalır.
Uçak 1 km’de 5 L benzin harcadığına göre 1 km sonunda uçağın deposunda (26000 — 5) L benzin kalır.
Bu doğrusal ilişkiye ait tabloyu oluşturalm.

Gidilen yol arttıkça uçağın deposunda kalan benzin miktarı azalmaktadır. Gidilen yol ile uçağın
deposunda kalan benzin miktarı arasında doğrusal ilişki vardır.
Doğrusal ilişkinin denklemi y = 26000 — 5x’tir.
Birinci bileşenler gidilen yolu, ikinci bileşenler aracın deposundaki benzin miktarını göstermek
üzere bu denklemi sağlayan bazı sıralı ikilileri bulalım.

x = 0 için y = 26000 — 5·0 y = 26000 ~ (0, 26 000)
x = 100 için y = 26000 — 5·100 y = 26000 — 500 = 25500 ~ (0, 25 500)
x = 200 için y = 26000 — 5·200 y = 26000 — 1000 = 25000 ~ (200, 25 000)
x = 300 için y = 26000 — 5·300 y = 26000 — 1500 = 24500 ~ (300, 24 500)
x = 400 için y = 26000 — 5·400 y = 26000 — 2000 = 24000 ~ (400, 24 000)
y = 0 için 0 = 26000 — 5x 5x = 26000 x = 5200 ~ (5200, 0)

Bu sıralı ikililere karşılık gelen noktalar koordinat sisteminde işaretleyerek doğrusal denklemin
grafiğini çizelim.

x değerleri (yol) arttıkça y değerleri (benzin miktarı) azalmaktadır. (0 , 26 000) sıralı ikilisi başlangıçta uçağın deposunda 26 000 L benzin olduğunu gösterir. (5200 , 0) sıralı ikilisi 5 200 km sonunda uçağın deposunda benzin kalmayacağını yani bir depo benzinle uçağın 5 200 km yol gidebileceğini gösterir.

---

Doğrusal Denklemlerin Grafiği

Doğrusal denklemlerin grafiği birer doğru grafiğidir. Koordinat sisteminde doğruyu oluşturan sıralı ikililere karşılık gelen noktalar bu doğrusal denklemin çözümünü sağlayan sıralı ikililerdir.

Orjinden (Başlangıç Noktası) Geçmeyen Doğruların grafiği

y = x + 2 denkleminin belirttiği doğrunun grafiğini çizelim.

x değişkenine farklı tam sayı değerleri vererek y değişkeninin alacağı değerleri bulalım ve (x, y)
sıralı ikililerini belirleyelim.
x = –3 için y = –3 + 2 (–3, –1)
y = –1
x = –2 için y = –2 + 2 (–2, 0)
y = 0
x = –1 için y = –1 + 2 (–1, 1)
y = 1
x = 0 için y = 0 + 2 (0, 2)
y = 2
x = 1 için y = 1 + 2 (1, 3)
y = 3

Belirlediğimiz noktaları koordinat sisteminde işaretleyerek grafiği çizelim.

Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları bulalım.
• x = 0 için y = 0 + 2 (0, 2) noktası grafiğin y = 2 y eksenini kestiği noktadır.
• y = 0 için 0 = x + 2 (–2, 0) noktası grafiğin x = –2 x eksenini kestiği noktadır.
Bu noktalar koordinat sisteminde işaretleyelim. Bu noktalardan geçen doğrunun grafiğini çizelim.

x = a Biçimindeki Doğruların Grafiği

Denklemi x = –3, x = –1, x = 2, x = 4 … olan doğruların grafikleri y eksenine paralel, x eksenine ise diktir. y değerleri kaç olursa olsun x değerleri hep aynı değeri alır. y eksenine x = 0 doğrusu da denir.

Aşağıdaki koordinat sisteminde x = –3, x = –1, x = 2 ve x = 4 doğrularının grafiği çizilmiştir.

y = b Biçimindeki Doğruların Grafiği

Denklemi y = –2, y = –1, y = 2, y = 3 …. olan doğruların grafikleri x eksenine paraleldir. x değerleri kaç olursa olsun y değerleri hep aynı değeri alır. x eksenine y = 0 doğrusu da denir.

Aşağıdaki koordinat sisteminde y = –2, y = –1, y = 0, y = 2 ve y = 3 doğrularının grafiği çizilmiştir.

Orijinden (Başlangıç Noktası) Geçen Doğruların Grafiği

a ≠ 0 olmak üzere denklemi y = ax olan doğrular orijinden geçer.
Orijinden geçen bir doğrunun grafiğinin çiziminde denklemin çözümü olan bir sıralı ikili bulmak yeterlidir. Bu sıralı ikiliye karşılık gelen nokta ile O(0, 0) noktası birleştirilerek grafik çizilir.
Doğru üzerinde bulunan bir noktanın koordinatlar doğrusal denklemi sağlar.

Denklemleri y = -2x, y = -x ve y = -x/2 olan doğruların grafiklerini aynı koordinat sisteminde
çizelim.

Bu denklemlerin çözümü olan birer sıralı ikili bulalım.

Bu sıralı ikililere karşılık gelen noktalar koordinat sisteminde işaretleyelim. Bu noktalar ile (0, 0) noktasını birleştirerek grafikleri çizelim.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde 7.sınıf matematik Oran orantı konusunu öğreneceğiz.

Birbirine Oranı Verilen İki Çokluktan Biri Verilince Diğerinin Bulunması

İki çokluğun (niceliğin) ölçülerinin bölme şeklinde birbiri ile karşılaştırılmasına “oran” denir. a ile b çokluklarının oran a : b, a/b şeklinde gösterilir.
Bir salataya konulan limon miktarının zeytinyağı miktarına oranı 2/3’tür. Buna göre bir tabaktaki salataya 30 cL limon sıkılırsa kaç cL zeytinyağı dökülmelidir? Bulalım.

Zeytinyağı miktarı x cL olsun.

Limon miktarı/zeytinyağı miktarı = 2/3

Doğru orantılı çokluklar arasında çarpmaya dayalı bir ilişki vardır.

Örnek: Bir kreşteki erkek çocukların sayısının kız çocukların sayısına oranı 4/5’tir. Bu kreşte 99 çocuk olduğuna göre kız ve erkek çocukların saysının kaç olduğunu bulalım.

Çözüm: Erkek çocukların sayısı a, kız çocukların sayısı b olsun. a/b = 4/5’tir. Bu eşitliği sağlayan a sayısı 4’ün, b sayısı da 5’in katıdır. k pozitif tam sayı olmak üzere a = 4k ve b = 5k alalım.
Toplam çocuk sayısı 99 olduğundan
a + b = 99

4k + 5k = 99

9k = 99

k = 11 olur.

Erkek çocukların sayısı 4·11 = 44
Kız çocukların sayısı 5·11 = 55’tir.

---

Bir Oranda Çokluklardan Birinin 1 Olması Durumunda Diğerinin Alacağı Değer

Örnek: 50 mL’lik limon kolonyasının 12 tanesi 15 TL olduğuna göre 50 mL’lik 1 limon kolonyasının kaç lira olduğunu bulalım.

50 mL’lik 1 limon kolonyasının fiyat a lira olsun.

Örnek: Hülya ve 11 arkadaşı birlikte bir tiyatro oyununa gideceklerdir. Biletleri Hülya almıştır. Hülya 12 bilet için 120 TL ödediğine göre 1 biletin fiyatının kaç lira olduğunu bulalım.

Çözüm: 1 biletin fiyat x lira olsun.

---

İki Çokluğun Orantılı Olup Olmadığını Belirleme

İki oranın eşitliğine “orantı” denir.
a, b, c ve d bir orantıya ait terimlerdir. a/b = c/d eşitliği bir orantıdır.
• a ile d dış terimler, b ile c iç terimler olarak adlandırılır.
• Bu orantıda iç terimlerin çarpımı, dış terimlerin çarpımına eşittir.
b·c = a·d Bu çarpıma “çapraz çarpım” denir.
• Bu orantıda içler yer değiştirirse eşitlik bozulmaz.
a/c = b/d
• Bu orantıda dışlar yer değiştirirse eşitlik bozulmaz.
d/b = c/a

Örnek: Beyza’nın dedesinin 5 ineği vardır. Beyza, dedesine ineklerden günde kaç litre süt sağıldığını sormuştur. Dedesi de her ineğin 1 günde 5 L süt verdiğini söylemiştir. Bu bilgiyi kullanarak inek sayısı ile elde edilen süt miktarı arasındaki ilişkiyi gösteren tablo ve grafik aşağıda verilmiştir. Bu iki çokluğun orantılı olup olmadığını belirleyelim.

Tablodaki her satırdaki inek sayısının süt miktarına oranı 1/5’tir. İnek sayısı 2 katına çıktığında süt miktarı 2 katına, aynı şekilde inek sayısı 5 katına çıktığında süt miktarı 5 katına çıkmaktadır. Bu iki çokluk doğru orantılıdır. Doğru orantılı bu çokluklara ait grafik orijinden geçer.

---

Doğru Orantılı İki Çokluk Arasındaki İlişkinin Tablo veya Denklem Olarak İfade Edilmesi

Örnek: Bir apartmanda bir üst kata çıkabilmek için 16 basamaklı merdiven kullanılmaktadır. Basamak sayısı ile kat sayısı arasındaki doğrusal ilişkiyi tablo ve denklem ile ifade edelim.

x kat sayısını, y basamak sayısını göstermek üzere bu iki çokluk arasındaki ilişkinin denklemi y = 16x olur.

Doğru orantılı bu çokluklar arasında çarpmaya dayalı bir ilişki vardır. Kat saysının basamak sayısına oranı 1 : 16 olduğundan kat sayısı 1’in basamak sayısı da 16’nın aynı sayı katıdır. Kat sayısı 3·1 = 3 olduğunda basamak sayısı: 3·16 = 48 olur.

 

Örnek: 1800 Watt gücünde bir elektrikli ısıtıcı 1 saatte 40 kr’luk elektrik tüketmektedir. Zaman ile tüketilen elektrik miktarı arasındaki doğrusal ilişkiyi tablo ve denklem ile ifade edelim.

Çözüm:

x zaman (saat), y tüketilen elektriğe ödenen parayı (kuruş) göstermek üzere bu doğru orantılı iki çokluk arasındaki doğrusal ilişkinin denklemi y = 40x’tir.

---

Doğru Orantılı İki Çokluğa Ait Orantı Sabiti

Doğru orantılı iki çokluktan birinin miktarını a, diğerinin miktarını da b ile gösterirsek k sabit bir sayı olmak üzere a/b = k’dır.
k sayısına “doğru orantı sabiti” denir.

Örnek: Evlerine ait Mayıs 2015 ve Haziran 2015 su faturalarını inceleyen Ahmet, mayıs ayına ait faturada 15 m³ su için 75 TL, haziran ayına ait faturada ise 18 m³ su için 90 TL su bedeli ödeneceğini belirlemiştir. Bu faturalara göre kullanılan su miktarı ile ödenecek para doğru
orantılı mıdır? Bu iki çokluk doğru orantılı ise bu iki çokluğa ait orantı sabitini belirleyelim.

Çözüm: Her iki faturadaki bilgilere göre kullanılan su miktarının ödenen paraya oranını bulalım.
15 / 75 = 1/5 , 18 / 90 = 1/5

Bu oranlar eşit olduğundan bu iki çokluk doğru orantılıdır.
Bu oranların sabit olduğunu görürüz. Öyleyse doğru orantılı bu iki çokluğa ait orantı sabiti 1/5’tir.

---

İki Çokluğun Ters Orantılı Olup Olmadığını Belirleme

İki çokluktan biri artarken diğeri azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri artıyorsa bu çokluklar ters orantılıdır.

Ters orantılı iki çokluktan birinin miktarını a, diğerinin miktarını b ile gösterirsek k sabit bir sayı olmak üzere a·b = k eşitliği elde edilir.

Mine, sınıftaki arkadaşlarına dağıtmak üzere 96 tane el işi kâğıdı almıştır. Mine, kâğıtları önce iki arkadaşına paylaştırarak bu arkadaşlarından her birine kaç kâğıt dağıtacağını hesaplamıştır.

Daha sonra bu işlemleri öğrenci sayısını artırarak devam ettirmiş ve aşağıdaki tabloyu oluşturmuştur. Bu tabloyu kullanarak öğrenci sayısı ile her öğrenciye dağıtılan kâğıt sayısı arasındaki orantıyı belirleyelim.

 

 

 

 

Tablodaki her satırdaki öğrenci sayısı ile her öğrenciye dağıtılan kâğıt sayısının çarpımı
2·48, 3·32, 4·24, 6·16, 24·4 olur.

Her çarpımda 96 sabit sayısını buluruz. Öğrenci sayısı arttıkça her öğrenciye dağıtılan kâğıt sayısı aynı oranda azalmaktadır. Bu iki çokluk ters orantılıdır.

---

Orantı Problemleri

Ölçek Problemleri

Örnek: Ankara ile Eskişehir arasındaki uzaklık 320 km’dir. Bu şehirler arasındaki uzaklık 1 : 1 000 000 ölçekli bir haritada kaç santimetredir?

Çözüm: Haritadaki uzaklık x km olsun.

---

Haritadaki Alan ile Ölçek Arasındaki İlişki

Bir haritadaki bir bölgenin alanının gerçek alana oranı bu haritanın ölçeğinin karesine eşittir.

(Ölçek)² = Haritadaki Alan / Gerçek Alan

Örnek: Yalova’nın yüzölçümü yaklaşık 850 km²’dir. 1 : 50 000 ölçekli bir haritada 85 250= 0,34 bu ilimizin alanı kaç metrekaredir? Hesap makinesi kullanarak bulalım.

Çözüm: Haritadaki alan x metrekare olsun.

---

Karışım Problemleri

2 L limonata hazırlayan Esma, 80 cL limon suyu ve 120 cL su kullanmıştır. Esma, aynı limon suyu — su oranını kullanarak 500 cL limonata hazırlarsa kaç santilitre su kullanmalıdır?

---

İndirim ve Artış Problemleri

Emekli maaşlarına yılda iki kez (ocak ve temmuz ayları) son maaş üzerinden aynı oranda zam yapılmaktadır. Maaş 1800 TL olan bir emeklinin maaşı 90 TL artmıştır. Buna göre maaşı 1600 TL olan bir emekli vatandaşın maaşı kaç lira olur?

Her emeklinin maaşına aynı oranda zam yapılacağından 1800 TL maaşı alan bir emeklinin maaşının zam miktarına oranı ile 1600 TL maaşı alan bir emeklinin maaşının zam miktarına oranı eşittir.
Maaşı 1600 TL olan emekli vatandaşın maaşına x TL zam yapılsın.

Örnek: Trafik cezaları tebliğ tarihinden sonraki 15 gün içinde ödendiğinde aynı oranda indirim uygulanmaktadır. Araçta telefonla konuşma cezası alan bir sürücüye 15 gün içinde ödediğinden 88 TL ceza için 22 TL indirim yapılmıştır. Araç tescil belgesi (ruhsat) ve plaka olmadan araç kullanma cezası alan bir sürücü 800 TL olan cezayı 15 gün içinde öderse kaç lira ödeyecektir?

Çözüm: Her ceza miktarına aynı oranda indirim yapılacağından cezaların oranı ile indirimlerin oranı eşittir.
800 TL’lik cezaya x lira indirim yapılsın.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Yüzdeler konusunu öğreneceğiz.

Bir Çokluğun Belirli Bir Yüzdesine Karşılık Gelen Miktarın veya Belirli Bir Yüzdesi Verilen Çokluğun Bulunması

Aşağıda bazı sayıların belirli yüzdeleri hesaplanmıştır. İnceleyelim.

• a sayısının %b’si ————- a . b/100 = a.b/100
• 240 sayısının %0,5’i ————- 240 . 0,5/100 = 120/100 = 1,2
• 150 sayısının %8’i 15 ————- 150 . 8/100 = 1200/100 = 12
• 40 sayısının %25’i 40 ————- 40 . 25/100 = 1000/100 = 10 (Bir sayının %25’i o sayının 1/4’üne eşittir.)
• 30 sayısının %50’si ————- 30 . 50/100 = 1500/100 = 15 (Bir sayının %50’si o sayının yarısına eşittir.)
• 60 sayısının %105’i ————- 60 . 105/100 = 6300/100 =63
• 15 sayısının %120’si ————- 15 . 120/100 = 1800/100 = 18
• 25 sayısının %200’ü ————- 25 . 200/100 = 25 . 2 = 50 (Bir sayının %200’ü o sayının 2 katına eşittir.)

Örnek: Fiyatı 40 TL olan bir pantolona %15 indirim uygulanmaktadır. Bu pantolondan 1 tane alan biri kaç lira öder?

Çözüm: 40 sayısının %15’ini bulalım.

40 . 15/100 = 600/100 = 6 Öyleyse bu ürüne 6 TL indirim uygulanacaktır.
Buna göre bu ürüne ödenecek para 40 — 6 = 34 TL’dir.

Örnek: Emekli ikramiyesi alan Murat Bey yatırım amaçlı bir arsa almıştır. Murat Bey bu arsayı 6 yıl sonra %115 kârla satmıştır. Satış sonrası 69 000 TL kâr ettiğine göre Murat Bey bu arsayı kaç liraya almıştır?

Çözüm: 1. Yol :Arsanın fiyatı x TL olsun. x’in %115’ini 69 000’e eşitleyelim. x . 115/100 = 69000 x = 69000.100/115 = 60000

2. Yol %115 kâr ifadesi 100 liralık bir arsada 115 lira kâr elde etmek demektir.

Doğru orantı olduğundan çaprazdaki terimlerin çarpımı eşittir.
115 . x = 100 . 69000 x = 69000.100/115 = 60000

---

Bir Çokluğun Diğer Bir Çokluğun Yüzdesi Olarak Hesaplanması

Aşağıdaki soruları çözelim.

a) 24 sayısı 96’nın % kaçıdır?

b) 33 sayısı 165’in % kaçıdır?

1. Yol

a. 24 sayısını 96’ya oranlarsak 24’ün 96’nın % kaç olduğunu bulabiliriz.
24/96 = 1/4 1/4 (x25) = 25/100

Öyleyse 24 sayısı 96’nın %25’ine eşittir.

b. 33 sayısını 165’e oranlarsak 33’ün 165’in % kaç olduğunu bulabiliriz.

33/165 = 1/5 1/5 (x25) = 20/100

Öyleyse 33 sayısı 165’in %20’sine eşittir.

2. Yol

a. 96 sayısının %a’sı 24 olsun. 96 . c/100 = 24 a = 24.100/96 a = 1/4 = %25

b. 165 sayısının %b’si 33 olsun. 165 . b/100 = 33 b = 33.100/165 b = 1/5 = %20

Örnek: Bir mağazada fiyatı 200 TL olan mantoların fiyatı 199 TL olarak düzenlenmiştir. Buna göre % kaç indirim yapılmıştır?

Çözüm: 1 TL’lik bir indirim yapıldığından 1 sayısının 200’ün % kaç olduğunu bulmalıyız. 200’ün %x’i, 1 olsun. Öyleyse;

200 . x/100 = 1 x = 100.1/200 = 1/2 = 0,5

Buna göre %0,5 indirim yapılmıştır. Yani 1 sayısı 200’ün %0,5’idir.

---

Bir Çokluğu Belirli Bir Yüzde ile Artırmaya veya Azaltmaya Yönelik Hesaplamalar

Örnek: Doğa sporları yapan bir toplulukta 50 kişi rafting yapacaktır. Bu sayı daha sonra %6 artırılmıştır. Buna göre bu toplulukta kaç kişi rafting yapmak istemiştir?

Çözüm: 50 sayısına 50’nin %6’sını ekleyelim.

50 + 50 . (6/100) = 50 + 300/100 = 50 + 3 = 53

Bir sayıyı %a artırmak için o sayıyı (100+a)/100 ile %a azaltmak için (100-a)/100 ile çarptığımıza dikkat ediniz.

a) 80 sayısını %25 artırmak için bu sayı 1,25 ile çarpılır.
b) 140 sayısını %12 artırmak için bu sayı 1,12 ile çarpılır.
c) 74 sayısını %7 artırmak için bu sayı 1,07 ile çarpılır.
ç) 90 sayısını %25 azaltmak için bu sayı 0,75 ile çarpılır.
d) 55 sayısını %12 azaltmak için bu sayı 0,88 ile çarpılır.
e) 60 sayısını %7 azaltmak için bu sayı 0,93 ile çarpılır.

Örnek: Bir kuruyemişci kilogram fiyatı 24 TL olan kayısı fiyatını %25 artırmıştır. Daha sonra kayısı satışları azaldığı için kayısı fiyatını artırdığı fiyat üzerinden %20 azaltmıştır. Buna göre son durumda 1 kg kayısı fiyatı kaç liradır?

Çözüm: 24 sayısını %25 artırmak bu sayıyı 1,25 ile çarpmak demektir. Öyleyse kayısının artırılmış fiyatı 24 . (1,25) = 24 . 125/100 = 30 TL olur. Bu fiyat üzerinden %20 indirim yapıldığına göre 30’u 0,80 ile çarparsak indirimli fiyatı buluruz.

30 . (0,80) = 30. 80/100 = 24 olur.

Öyleyse 1 kg kayısı yine 24 TL’ye satılır.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Doğrular ve açılar konusunu öğreneceğiz.

Bir Açıya Eş Bir Açı

Kareli kağıda çizilmiş aşağıdaki BAC açısının ölçüsü 45°’dir. Bu açıya eş açılar çizelim.

Açıölçer kullanarak başlangıç noktası A olacak ve [AB ile 45°’lik açı yapacak şekilde
[AD çizelim.

 

Kareli kağıda çizilmiş aşağıdaki AOB açısına eş açılar çizelim.

Kareli kağıda bir nokta işaretleyelim. Bu noktayı C olarak adlandıralım. Pergeli |OB| kadar yani 5 br açalım. Pergelin sivri ucu C noktasında olacak şekilde bir yay çizelim. Bu yay üzerindeki bir noktayı D olarak işaretleyelim.

Pergelin ayakları A ve B noktalarına gelecek şekilde pergeli açalım. Pergelin sivri ucunu D noktasına koyarak bir yay çizelim. Bu yayın diğer yayı kestiği noktayı E olarak adlandıralım.
Cetvelle [CD ve [CE çizelim.
AOB açısına eş DCE açısını elde ederiz.

---

Bir Açının Açortayı

Bir açıyı, ölçüleri birbirine eşit iki eş açıya ayıran ışına o açının açıortayı denir.

Ölçüsü 40° olan bir açıya eş bir komşu açı çizerek 80°’lik bir açıyı iki eş açıya ayıralım. 80°’lik
açının açıortayını belirleyelim.

Açıölçer ile 40°’lik BAC açısı çizelim. Bir ışını [AB olacak ve [AB ile 40°’lik açı yapacak şekilde [AD çizelim.
m(CAB) = m(DAB) = 40° olduğundan [AB, DAC nın açıortayıdır.
Aynı şekilde bir ışını [AC olacak ve [AC ile 40°’lik açı yapacak şekilde [AE çizelim.
m(BAC) = m(EAC) = 40° olduğundan [AC, BAE nın açıortayıdır.

---

İki Paralel Doğruyla Bir Keseninin Oluşturduğu Yöndeş, Ters, İç Ters, Dış Ters Açılar

Paralel olan ya da olmayan iki doğrunun her birini farklı birer noktada kesen bu iki doğrudan farklı üçüncü bir doğruya bu doğruların keseni denir.

İki doğrunun kesişmesiyle oluşan karşılıklı açılara ters açılar denir. Ters açıların ölçüsü eşittir. Aşağıdaki şekilde k ve l doğrularının kesişmesiyle oluşan a ile c, b ile d açıları “ters açılardır”.
a = c ve b = d olur.

İki doğru bir kesenle kesildiğinde kesenin aynı tarafında olan biri içte, diğeri dışta kalan açılara “yöndeş açılar” denir.

Doğrular paralel olduğunda yöndeş açıların ölçüleri eşittir.
Aşağıdaki şekilde a ile h, b ile g, c ile f, d ile e yöndeş açılardır.
d // l olduğundan a = h, b = g, c = f ve d = e olur.

 

İki doğrunun bir kesenle oluşturduğu açılardan bu iki doğru arasında kalan açlara iç açılar, kesenin farklı tarafında bulunan ve komşu olmayan iç açılara ise “iç ters açılar” denir.

Doğrular paralel olduğunda iç ters açıların ölçüleri eşittir.
Aşağıdaki şekilde a ile c, b ile d iç ters açılardır. d // l olduğundan a = c ve b = d olur.

İki doğrunun bir kesenle oluşturduğu açılardan bu iki doğru arasında olmayan açlara dış açılar, kesenin farklı tarafında bulunan ve komşu olmayan dış açılara ise “dış ters açılar” denir.

Doğrular paralel olduğunda dış ters açıların ölçüleri eşittir.
Aşağıdaki şekilde e ile g, f ile h dış ters açılardır. d // l olduğundan e = g ve f = h olur.

 

Örnek: Aşağıdaki şekilde d // l ve t doğrusu d ile l doğrularının kesenidir. Şekilde verilenlere göre a, b, c, d, e, f ve g açılarının ölçülerini bulalım.

Çözüm:

• a ile 70° lik açı bütünler açılar olduğundan a açısının ölçüsü 180° — 70° = 110° dir.
• b ile 70° lik açı ters açılar olduğundan ölçüleri eşittir. b açısının ölçüsü de 70° dir.
• c ile 70° lik açı bütünler açılar olduğundan c açısının ölçüsü 180° — 70° = 110° dir.
• d ile c açısı iç ters açılar olduğundan ölçüleri eşittir. d açısının ölçüsü de 110° dir.
• e ile 70° lik açı dış ters açılar olduğundan ölçüleri eşittir. e açısının ölçüsü de 70°’dir.
• f ile d açısı ters açılar olduğundan ölçüleri eşittir. f açısının ölçüsü de 110° dir.
• g ile b açısı iç ters açılar olduğundan ölçüleri eşittir. g açısının ölçüsü de 70° dir.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Çember ve daire konusunu öğreneceğiz.

Çemberde Merkez Açı ile Merkez Açının Gördüğü Yayın Ölçüsü

Köşesi çemberin merkezi olan açıya “merkez açı”, merkez açının iç bölgesinde kalan çember yayına da “merkez açının gördüğü yay” denir.

Aşağıdaki O merkezli çemberde AOB açısının köşesi çemberin merkezinde olduğundan AOB açısı, merkez açıdır. AOB açısının ölçüsü m(AOB) şeklinde ifade edilir.

Çember üzerindeki iki nokta arasında kalan parçaya yay denir. AB yayı şeklinde gösterilir. AB yayının ölçüsü m(AB) şeklinde ifade edilir.

***Bir çemberde bir merkez açı ile bu merkez açının gördüğü yayın ölçüsü eşittir. Şekildeki O merkezli çemberde

*** Merkez açı, doğru açı olduğunda bu açının gördüğü yaya “yarım çember yayı” veya “yarım çember” denir. Yarım çember yayının ölçüsü 180° dir.

---

Çember ve Çember Parçasının Uzunluğu

r yarıçaplı çemberin uzunluğunun 2πr olduğunu biliyoruz. Aşağıdaki O merkezli çemberlerde
kırmızıyla çizilmiş çember parçalarının uzunluklarını bulalım. (π yerine 22/7 alalım.)

Çemberlerin yarıçapı 14 cm’dir. Yarıçap 14 cm olan çemberin çevresi,
2 . π . r = 2 . 22/7 . 14 = 88 cm’dir.

• 1. şekildeki çember parçasını gören merkez açı 90° dir. Tam çemberin 1/4’üne eşittir. Çevresi 88/4 = 22 cm’dir.
• 2. şekildeki çember parçasını gören merkez açı 180° dir. Tam çemberin 1/2’sine yani yarısına eşittir. Çevresi 88/2 = 44 cm’dir.
• 3. şekildeki çember parçasını gören merkez açısı 270° dir. Tam çemberin 3/4’üne eşittir. Çevresi 3/4 . 88 = 66 cm’dir.

*** Yarıçap uzunluğu r br olan bir çemberin çevre uzunluğu 2πr birimdir.
nın (çember parçasının) uzunlğu || şeklinde gösterilir.
Aşağıdaki O merkezli ve r yarıçaplı çemberde nın uzunluğu;

Örnek: Bir otobüs sahibi aracının çember şeklindeki direksiyon simidini üç farklı renkte deri ile kaplatacaktır. Buna göre aşağıdaki taslak çizimi oluşturmuştur. Taslak resimde verilenlere göre yeşil deri ile kaplanacak BC yayının uzunluğunu bulalım. (π yerine 3 alalım.)

Çözüm:

Bir çemberi oluşturan açı 360° olduğundan m(BOC) = 360° — (120° + 120°) = 120° ve çemberin yarıçapı 25 br’dir.

---

Dairenin ve Daire Diliminin Alanı

O merkezli, r yarıçaplı dairenin alanı “πr²” dir.

Bir dairede merkez açının iç bölgesi ile merkez açının gördüğü yayın sınırladığı alana “daire dilimi” denir.
Aşağıdaki O merkezli dairede AOB merkez açısının içinde kalan mavi boyalı alan daire dilimidir. [OA] ve [OB] yarıçap, |OA| = |OB| = r olmak üzere;
Dairenin alanı = πr²

 

Örnek: Ferhat öğle yemeğinde arkadaşları ile birlikte lahmacun yemeye gidiyor. Bir küçük lahmacunun fiyatı 2 TL ve büyük lahmacunun fiyatı 6 TL’dir. Daire şeklindeki büyük lahmacunun çapı 32 cm ve küçük lahmacunun çap 16 cm’dir. Buna göre Ferhat ve arkadaşlarının bir büyük lahmacun mu yoksa iki küçük lahmacun mu almasının daha ekonomik olacağını bulalım. (π yerine 3 alalım.)

Çözüm: Büyük lahmacunun alanını bulalım. Büyük lahmacunun çapı 32 cm, yarıçap 32 : 2 = 16 cm’dir.
Alan = πr² = 3·16² = 3·256 = 768 cm²
Küçük lahmacunun çapı 16 cm, yarıçap 16 : 2 = 8 cm’dir.
Alan = πr² = 3·8² = 3·64 = 192 cm²’dir.
Büyük lahmacunun alanı ve fiyatını kullanarak küçük lahmacunun fiyatını belirleyelim.

Büyük lahmacunun alanı ve fiyatına göre küçük lahmacunun fiyatının 1,5 TL olması gerekiyor.
Buna göre 1 büyük lahmacun almak, 2 küçük lahmacun almaya göre daha ekonomiktir.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Veri işleme konusunu öğreneceğiz.

7.Sınıf Daire Grafiği Konu Anlatımı

Bir araştırma sonucunda elde edilen verilerin uygun bir şekilde çizilen dairenin dilimlerine ayrılarak görselleştirilmesine “daire grafiği” denir.

Elimizde bir bütünün parçalarına ait veriler varsa, bu verileri daha kolay yorumlayabilmemiz için en uygun grafik daire grafiğidir.

Bir verinin bütün veri grubu içindeki oranın görselleştirmek için daire grafiği kullanmak daha uygundur.

Daire grafiği çizilirken her bir verinin bütün verilerin toplamına oran hesaplanarak daire içerisinde ayırdığı daire dilimleri işaretlenir.

Bu daire dilimleri merkez açılarıyla veya % olarak ifade edilir.

Sınıflarını temsilen okullarındaki basketbol turnuvasına katılan 7A sınıfından beş öğrencinin
bir maçta attıkları basket sayısı yandaki tabloda verilmiştir.

Tablodaki verileri kullanarak bu öğrencilerin attıkları basket sayısına karşılık gelen daire dilimlerinin merkez açılarının ölçüsünü gösteren daire grafiği çizelim.

Grafiği yorumlayalım.

Öğrencilerin attığı toplam basket sayısını bulalım: Öğrenciler toplam 10 + 6 + 4 + 12 + 8 = 40 basket atmışlardır.

Öğrencilerin attıkları basket sayısına karşılık gelen daire dilimlerinin merkez açı ölçülerini bulalım: Arif’in attığı basket sayısına karşılık gelen daire diliminin merkez açısının ölçüsü a olsun.

10/40 = a/360º orantısını kullanalım. a = 10.360º/40 = 90º Mert’in attığı basket sayısına karşılık gelen daire diliminin merkez açısının ölçüsü m olsun.

• 6/40 = m/360º orantısını kullanalım. m = 6.360º/40 = 54º
• Veli’nin attığı basket sayısına karşılık gelen daire diliminin merkez açısının ölçüsü v olsun.
• 4/40 = v/360º orantısını kullanalım. v = 4.360º/40 = 36º
• Efe’nin attığı basket sayısına karşılık gelen daire diliminin merkez açısının ölçüsü e olsun.
• 12/40 = e/360º orantısını kullanalım. e = 12.360º/40 = 108º
• Can’ın attığı basket sayısına karşılık gelen daire diliminin merkez açısının ölçüsü c olsun.
• 8/40 = c/360º orantısını kullanalım. c = 8.360º/40 = 72

Daire grafiğini çizelim ve yorumlayalım. Aşağıdaki daire dilimlerinin alanlarına baktığımızda;

• En az basket atanın Veli olduğunu,
• Can ile Efe’nin attıkları basket sayısının toplam basket sayısının yarısına eşit olduğunu,
• En çok basket atanın Efe olduğunu,
• Mert ve Veli’nin attıkları basket sayısının Arif’in attığı basket sayısına eşit olduğunu söyleyebiliriz.

---

7.Sınıf Çizgi Grafiği Konu Anlatımı

Bir araştırma sonucunda toplanan verilerin yatay ve dikey eksenlerdeki kesişimleri işaretlenerek bulunan noktaların çizgilerle birleştirilmesiyle elde edilen grafiklere “çizgi grafiği” denir.

Bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini (artma, azalma) görselleştirmek için kullanIlan en uygun grafiktir.

Çizgi grafiği zaman içinde değişen sürekli verileri veya bilgileri görselleştirmek için kullanılır.

Örneğin bir ülkenin bir yıllık ihracat değerlerinin aylara göre değişimi, bir bebeğin bir günde 4 saat aralıklarla vücut sıcaklığındaki değişimi görselleştirmek için çizgi grafik kullanmak daha uygundur.

Çizgi grafiği okumak için grafik üzerinde bir nokta belirlenir. Bu noktanın yatay ve dikey eksenlerdeki değerlerinden yararlanılır.

İkiz bebekleri olan İlknur Hanım bebeklerinin doğumdan itibaren 12 ay boyunca belli aralıklarla boylarındaki değişimi takip ederek aşağıdaki tabloyu yapmıştır. Bu tablodaki
verileri gösteren ikili çizgi grafiği çizelim ve bu grafiği yorumlayalım.

Yatay ve dikey eksen çizelim. Yatay eksene zaman (ay), dikey eksene boyu (cm) yerleştirelim.
Zaman ile bebeklerin boyunun kesiştiği noktaları işaretleyelim. Dilek bebek için mavi, Büşra bebek için kırmızı renk kalemler kullanarak işaretlediğimiz ilk noktadan başlayarak ardışık noktaları birleştirerek ikili çizgi grafiği çizelim.

Grafiği yorumlayalım.
Grafiğe göre;
• Doğduklarında bebeklerin boyları eşittir.
• İlk 3 ay içinde Dilek bebek 60 — 50 = 10 cm ve Büşra bebek 62 — 50 = 12 cm uzamıştır.
• Bebekler 6 aylıkken Büşra bebeğin boyu Dilek bebeğin boyundan 66 — 64 = 2 cm daha uzundur.
• 12 ay sonunda Dilek ve Büşra bebeklerin boylar eşittir.

---

7.Sınıf Aritmetik Ortalama, Ortanca ve Tepe Değer

Bir veri grubundaki sayıların toplamının bu gruptaki veri sayısına bölümüne “aritmetik ortalama” denir.

Bir basketbol takımının bir maçta oynayan oyuncularının bu maçta kaç dakika görev aldıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Buna göre;

a) Oyuncuların oynama süresinin aritmetik ortalamasını bulalım.
b) Oyuncuların oynama sürelerinden en çok tekrar eden sayıyı bulalım.
c) Oyuncuların oynama sürelerini gösteren sayılar küçükten büyüğe doğru sıraladığımızda hangi sayının ortada olduğunu bulalım.
ç) Bu takımın oyuncularından 40 dk oynayan oyuncu 33 dk oynayıp bu oyuncu yerine başka bir
oyuncu 7 dk oynasaydı oyuncuların oynama sürelerini küçükten büyüğe doğru sıralayarak ortada kalan sayıyı bulalım.

ÇÖZÜM:

a. Tabloda 9 oyuncunun oynama süreleri verilmiştir. Aritmetik ortalama bu sayıların toplamının 9’a bölümüne eşittir.
Aritmetik ortalama = (18 18 22 25 40 18 24 22 13)/9 = 200/9 ≅ 22,2 olur.

b. Sayılardan en çok tekrar eden 18’dir.

c. Sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım.

d. İstenilen durum için sayılar küçükten büyüğe doğru sıralayalım.

Ortada kalan sayılar iki tane olduğundan ortada kalan sayıyı bulmak için bu sayıların aritmetik
ortalamasını buluruz.

Buna göre ortadaki sayı (18+22)/2 = 40/2 = 20 olur.

 

*** Bir veri grubundaki veriler küçükten büyüğe doğru sıralandığında ortadaki sayıya “ortanca değer” (medyan) denir.

Veri grubundaki veri sayısı tek olduğunda ortanca değer en ortadaki sayı, veri sayısı çift olduğunda ise ortanca değer ortadaki iki sayının toplamının yarısına yani aritmetik ortalamaya eşittir.

Veri grubunda en çok tekrar eden sayıya “tepe değer” (mod) denir.

Aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değer istatistikte kullanılan ortalama çeşitleridir.
Bir veri grubunda aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değer merkezi eğilim ölçüsü olarak adlandırılır.

Bir markette bir haftada satılan süt miktarı ile 6 günde satılan su miktarı aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Bu verilere göre;
a) Satılan süt miktarının ortanca değerini ve tepe değerini bulalım.
b) Satılan su miktarının ortanca değerini ve tepe değerini bulalım.

a. Bir haftada satılan süt miktarının ortanca değerini bulmak için sayılar küçükten büyüğe doğru sıralayalım.

Ortanca değer ortadaki sayı 38’dir.

ÇÖZÜM:

a.Bir haftada satılan süt miktarının tepe değerini bulmak için en çok tekrar eden sayıları bulalım.
En çok tekrar eden sayılar 34 ve 40’tır. Buna göre tepe değeri 34 ve 40’tır.

b. 6 günde satılan su miktarının ortanca değerini bulmak için sayılar küçükten büyüğe doğru
sıralayalım.

Veri grubundaki veri sayısı çift olduğundan ortanca değer ortadaki iki sayının toplamının yarısına eşittir.
Ortanca değer = (76+80)/2 = 156/2 = 78’dir.

Alt günde satılan su miktarının tepe değerini bulmak için en çok tekrar eden sayıyı bulalım. En
çok tekrar eden sayı 150’dir. Buna göre tepe değeri 150’dir.

 

*** Bir veri grubunda en belirgin özelliği veya değeri bulmak istediğimizde tepe değerini kullanmak uygun olur.

---

Araştırma Sorularına Uygun Grafik Çizme ve Bu Grafikler Arasında Dönüşüm Yapma

Örnek: Türkiye Cumhuriyeti Merkez Bankası (TCMB) yıllık olarak ülkemizde enflasyon değerlerini açıklamaktadır. www.tcmb.gov.tr internet adresinden bu bilgilere ulaşan Halime, aşağıdaki tabloyu yapmıştır.

Bu tablodaki verileri gösteren bir çizgi grafik çizelim.

Çözüm:

Çizdiğimiz çizgi grafiğe göre 2010 yılından 2014 yılına enflasyon değerlerindeki değişimi yorumlayabilmek daha kolaydır.

Çizgi grafiğindeki verileri gösteren bir sütun grafiği çizelim.

Çizdiğimiz sütun grafiğinde 2010 — 2014 yıllarındaki enflasyon değerlerini yıllara göre karşılaştırmak daha kolaydır.

Örnek: 2010 — 2013 yıllarında Türkiye fındık ihracat miktarını araştıran Haluk, Giresun Ticaret Borsası internet sitesinden (www.giresuntb.org.tr) elde ettiği bilgilerle aşağıdaki tabloyu oluşturmuştur.

Tablodaki verileri gösteren daire grafiği çizelim. Grafiği çizerken daire dilimlerinin merkez açı
ölçülerini kullanalım.

Çözüm:

 

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Çokgenler konusunu öğreneceğiz.

Herhangi üçü aynı doğru üzerinde olmayan en az üç noktayı ardışık olarak birleştiren doğru parçalarının birleşiminden oluşan kapalı şekillere “çokgen” denir. Çokgenler kenar sayılarına göre adlandırılırlar. Üç kenarı olan çokgene üçgen, dört kenarı olan çokgene dörtgen, beş kenarı olan çokgene beşgen denir.
Aşağıdaki çokgende A, B, C ve D noktalarına çokgenin köşeleri,
[AB], [BC], [CD] ve [DA]’na çokgenin kenarları denir.

Düzgün Çokgenler

Tüm kenar uzunlukları ve iç açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere “düzgün çokgen” denir.
Aşağıda kenar uzunlukları ve iç açılarının ölçüsü eşit olan çokgenlere örnekler verilmiştir. İnceleyiniz.

Yukarıda verilen dörtgenin tüm kenar uzunlukları eşit ve her iç açısının ölçüsü 90°, beşgenin tüm kenar uzunlukları ve her iç açısının ölçüsü eşit, sekizgenin tüm kenar uzunlukları ve her iç açısının ölçüsü eşittir.

---

Çokgenlerin Köşegenleri, İç ve Dış Açıları

Bir çokgende ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına “köşegen” denir.
Aşağıdaki dörtgende [AC] ve [BD], ABCD dörtgeninin köşegenleridir.

Aşağıdaki düzgün çokgenlerde bir köşe diğer köşelerle birleştirilerek üçgenlere ayrılmış ve bu
üçgenlere numaralar verilmiştir.

Verilen çokgenler için aşağıdaki tabloyu dolduralım. Tabloyu doldururken bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180° olduğu bilgisini kullanalım.

Tabloda görüldüğü gibi çokgenlerin iç açılar ölçüleri toplamı ile kenar sayısı arasında bir ilişki
vardır.
Aşağıdaki tabloyu dolduralım. Düzgün çokgenlerin bir iç açısının ölçüsünü bulmak için iç açılarının ölçülerinin toplamını açı sayısına bölelim.

 

*** Bir çokgende iç açıların ölçüleri toplamı çokgenin kenar sayısının 2 eksiği ile 180° nin çarpımıdır. n kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n — 2)·180° ile hesaplanır.
Eğer çokgen düzgün çokgen ise bir iç açısının ölçüsü, iç açılarının ölçüleri toplamının kenar sayısına bölümüdür.
Bir iç açının ölçüsü =

8 kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamını bulalım.
n kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n — 2)·180° olduğundan 8 kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (8 — 2)·180° = 6·180° = 1080° dir.

*** Tüm çokgenlerin dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir. n kenarlı bir düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü 360°/n ile bulunur.

---

Dikdörtgen, Paralelkenar, Yamuk ve Eşkenar Dörtgen

Tüm kenar uzunlukları eşit ve her iç açısının ölçüsü 90° olan dörtgenlere “kare” denir.
Karşılıklı kenar uzunlukları eşit ve her iç açısının ölçüsü 90° olan dörtgenlere “dikdörtgen” denir.
Bu durumda kare dikdörtgenin tüm özelliklerini sağlar. Karenin tüm kenar uzunlukları eşit olduğundan kare, dikdörtgenin özel bir durumudur.

Aşağıda verilen ABCD karesi ile EFGH dikdörtgeninde köşegenleri çizelim. Köşegenlerin
oluşturduğu açıları inceleyelim.

• ABCD karesinde [AC] ve [BD] köşegendir. Bu köşegenler A, B, C ve D köşelerindeki
  90°’lik açılar iki eş açıya böler, 45°’lik açılar oluşturur.

Köşegenler K noktasında dik olarak kesişirler. Köşegenlerin uzunlukları eşittir ve birbirini
ortalar.

• EFGH dikdörtgeninde köşegenler (şeklin kare olmaması durumunda) birbirini dik kesmez. Köşegenlerin uzunlukları eşittir ve birbirini ortalar.

*** Tüm kenar uzunlukları eşit olan dörtgene “eşkenar dörtgen”denir. Eşkenar dörtgende karşılıklı açıların ölçüleri eşittir. Kare, eşkenar dörtgenin tüm özelliklerini sağlar. Karenin tüm iç açıları da eşit olduğundan kare, eşkenar dörtgenin özel bir durumudur.
Aşağıda ABCD ve DEFG dörtgenlerinin kenar ve açı özellikleri verilmiştir. İnceleyiniz.

Yukarıdaki ABCD dörtgeninin tüm kenar uzunlukları ve karşılıklı açılarının ölçüleri eşittir. Karşılıklı kenarları paraleldir.
DEFG dörtgeninin tüm kenar uzunlukları ve karşılıklı açılarının ölçüleri eşittir. Karşılıklı kenarları paraleldir.

*** Karşılıklı kenarları eşit ve paralel olan dörtgenlere “paralel kenar” denir. Paralelkenarda karşılıklı açıların ölçüleri eşit, ardışık köşelerdeki açıların ölçüleri toplamı 180°’dir.
Aşağıdaki ABCD paralelkenarında
|AB| = |DC|, |BC| = |AD|,
[AB] // [DC], [BC] // [AD]
m(A) = m(C), m(B) = m(D), m(A) + m(B) = 180°, m(B) + m(C) = 180°
Dikdörtgen ve eşkenar dörtgen, paralelkenarın tüm özelliklerini sağlar. Dikdörtgen ve eşkenar dörtgen paralelkenarın özel hâlidir.

*** Karşılıklı kenar çiftlerinden en az biri paralel olan dörtgenlere “yamuk” denir. Aşağıdaki ABCD dörtgeninde [AB] // [DC] olduğundan ABCD dörtgeni bir yamuktur.
Yamukta iki paralel kenar arasındaki açılar bütünlerdir.
m(A) + m(D) = 180°, m(B) + m(C) = 180°’dir.
Paralel kenarlara yamuğun “tabanları”, diğer kenarlara ise yamuğun “yan kenarları” denir.

*** Paralel olmayan kenarlarının uzunluğu eşit olan yamuklara “ikizkenar yamuk” denir.
ABCD yamuğunda [AB] // [DC], |AD| = |BC|,

*** Paralel olmayan kenarlardan biri tabanlara dik olan yamuğa “dik yamuk” denir.
ABCD yamuğunda

[AB] // [DC], [AD] ve [DC], [DA] ve [AB] birbirine diktir.

---

Eşkenar Dörtgen ve Yamuğun Alanı

ABCD eşkenar dörtgeninin köşegen uzunlukları
|AC| = e ve |BD| = f için

 

*** ABCD eşkenar dörtgeninin alanı

A(ABCD) = |AB| . |DH|

= |BC| . |DK|

*** Taban uzunlukları |AB| = a br, |CD| = c br ve yüksekliği |DH| = h br olan ABCD yamuğunun alanı;

---

Üçgen, Dikdörtgen, Paralelkenar, Yamuk veya Eşkenar Dörtgenden Oluşan Bileşik Şekillerin Alanı

Örnek: Dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin içine şekildeki gibi yürüyüş yolları yapılacaktır. Yürüyüş yolları için ayrılan kısım kaç metrekaredir?

Çözüm:

İstenilen bölgenin alanını bulmak için dikdörtgen şeklindeki bahçenin alanından şekildeki üçgen, yamuk ve dikdörtgenin alanını çıkaralım.

Bahçenin alanı = 12·8 = 96 m²,
Üçgenin alanı = (3.5)/2 = 15/2 = 7,5 m²
Yamuğun alanı = [(7+9,5)/2] . 4 = 16,5/2 = 33 m²

Dikdörtgenin alanı = 11·3 = 33 m²
Yürüyüş yolları için ayrılan alan = 96 — (7,5 + 33 + 33)
= 96 — 73,5 = 22,5 m² olur.

 

Örnek: Aşağıdaki ABCDEF çokgeni şeklindeki arsanın ölçüleri verilmiştir. Arsa dikdörtgen, yamuk ve üçgenlerden oluşmuştur. Şekilde [AB] // [FC] // [ED] ve [FE] // [BC]’dır.
Bu arsaya çocuk parkı ve spor tesisleri yapmak için bir mimara tasarım yaptırılıyor.

Mimarın yaptığı tasarımda arsa üç bölgeye ayrılıyor. Oyun alanı paralelkenar, yeşil alan yamuk ve spor tesisleri eşkenar dörtgenden oluştuğuna göre mimarın nasıl bir tasarım yaptığını, oyun alanının, yeşil alanın ve spor tesislerinin alanının kaç metrekare olduğunu bulalım.

Çözüm:

• [ED]’na paralel ve |FG| = 46 m olacak şekilde [FG] çizelim. G ile D noktalarını birleştirerek [GD] çizelim. |GD| = 50 m ve FGDE paralelkenar olur.
• G ile B noktalarını birleştirerek [GB] çizelim. |GB| = 50 m ve GBCD eşkenar dörtgen olur.
• Geri kalan ABGF dörtgeni de dik yamuk olur.
• Paralelkenarın alanı = |FG|·|DH| = 46·40 = 1840 m²
• Eşkenar dörtgenin alanı = |GC|.|BD|/2 = 60.80/2 = 2400 m²
• Yamuğun alanı = (|AB|+|FG|/2) . |FA| = (122/2) . 40 = 2440 m² buluruz.

---

Dikdörtgenin Çevre Uzunluğu ile Alan Arasındaki İlişki

20 m uzunluğunda bakır teller kullanarak kenar uzunlukları birer doğal sayı olan dikdörtgen veya kare oluşturalım. Bu dikdörtgenlerin çevre uzunlukları ile alanları arasındaki ilişkiyi inceleyelim.

Tüm şekillerin çevre uzunlukları 20 m’dir.
I. dikdörtgenin alanı = 8·2 = 16 m²
II. dikdörtgenin alanı = 7·3 = 21 m²
III. dikdörtgenin alanı = 6·4 = 24 m²
IV. dikdörtgenin (kare) alanı = 5·5 = 25 m²
Dikdörtgenlerin çevre uzunlukları eşit fakat alanlar farklıdır. Çevre uzunlukları eşit olan dikdörtgenlerin alanları farklı olabilir.
Çevrelerinin uzunlukları eşit olan dikdörtgenlerden kenar uzunlukları birbirine yakın veya eşit
olan dikdörtgenin alanı daha büyüktür.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Dönüşüm geometrisi konusunu öğreneceğiz.

Düzlemsel Şekillerin Eş Olup Olmadığını Belirleme, Bir Şekle Eş Şekiller Oluşturma

Biçimleri aynı, ölçüleri eşit olan düzlemsel şekillere “eş şekiller”denir.

Kareli kağıda çizilmiş aşağıdaki şekilleri inceleyelim. Eş olan şekilleri belirleyelim.

2. ve 7. şekiller üst üste getirilirse tüm noktalar çakışır. 5. ve 8. şekiller üst üste getirilirse tüm
noktalar çakışır. Karşılık gelen tüm açılar ve kenar uzunlukları eşit olduğundan 2. ve 7. şekil ile 5. ve 8. şekil eştir.
4. ve 6. şekil düzgün beşgendir. Bu şekillerin tüm açıları aynı fakat kenar uzunlukları farklı olduğundan eş şekiller değildir.
1. ve 3. şekil karedir. Bu şekillerin de tüm açıları aynı fakat kenar uzunlukları farklı olduğundan
eş şekiller değildir.

Örnek: Kareli kağıda çizilmiş aşağıdaki şekle eş bir şekil oluşturalım.

Çözüm:

Kırmızı ile çizilmiş doğru parçasına şeklin sağında paralel bir doğru çizelim. Şeklin üzerindeki
köşelerden bu doğruya dikmeler çizelim. Çizdiğimiz dikmelerin uzunluğunu bulalım. Bu dikmelerin doğruyu kestiği noktalardan dikmelerin uzunluğu kadar sağa giderek bulduğumuz noktaları işaretleyelim. Bu noktaları ardışık olarak birleştirelim. Verilen şekle eş bir şekil (1. şekil) oluşturmuş oluruz.

Yukarıda yaptığımız işlemleri l doğrusu için tekrarlarsak verilen şekle eş 2. şekli oluşturmuş
oluruz.

---

Düzlemde Nokta, Doğru Parçası ve Diğer Şekillerin Öteleme Altındaki Görüntüleri

Bir şeklin veya nesnenin bir yerden başka bir yere belirli bir yön ve doğrultuda yer değiştirme hareketine “öteleme” denir.

Bir doğru parçası ötelenirken bu doğru parçasının başlangıç ve bitiş noktalarının ötelendiği noktalar bulunur. Bulunan noktaları birleştirilerek bu doğru parçasının ötelenmiş hali elde edilmiş olur.

Noktalı kağıt üzerinde bir şekil belirleyelim. Şekli 6 br yukarı ve 7 br sağa öteleyelim.

*** Bir çokgeni ötelerken çokgenin köşelerinin ötelendiği noktalar bulunur. Bu noktalar ardışık olarak birleştirilerek bu çokgenin ötelenmiş hali elde edilmiş olur.

Noktalı kağıt üzerinde bir şekil belirleyelim. şekli 10 br sağa, 6 br aşağıya öteleyelim.

---

Ötelenen Şekiller ile Bu Şekillerin Görüntüleri Arasındaki İlişki

Ötelemede şekil üzerindeki her bir nokta aynı yön ve büyüklükte bir dönüşüme uğrar. Şekil ile şeklin öteleme sonrası oluşan görüntüsü eştir.

Aşağıda ABC üçgeninin ötelenmesiyle A’B’C’ ve A’B’C’ üçgeninin ötelenmesiyle A”B”C” üçgeni elde edilmiştir.
Bu dönüşümlerde ötelenen şekil ile bu şeklin ötelenmesiyle elde edilen görüntüsünün eş olup olmadığını, ötelenen şekil üzerindeki her bir noktanın hangi yön ve büyüklükte bir dönüşüme tabi olduğunu belirleyelim.

|AA’|, |BB’|, |CC’| ölçelim.

|AA’| = |BB’| = |CC’| = 8 br
ABC üçgeninin köşeleri 8 br sola ötelenmiştir.

|A’A”|, |B’B”|, |C’C”| ölçelim.

|A’A”| = |B’B”| = |C’C”| = 6 br

A’B’C’ üçgeninin köşeleri 6 br aşağı ötelenmiştir.

ABC, A’B’C’ ve A”B”C” üçgenleri eştir.

---

Düzlemde Nokta, Doğru Parçası ve Diğer Şekillerin Yansıma Sonucu Oluşan Görüntüleri

Bir şeklin bir doğruya göre simetrisi alınırsa elde edilen şekil, bu şeklin verilen doğruya göre “yansıması”dır. Şeklin yansımasını bulabilmek için doğruya (simetri eksenine) göre simetrisini bulmamız gerekir. Bunun için önce şekil üzerindeki noktalardan simetri eksenine dikmeler inerek, daha sonra bu dikmelerin uzunluğu kadar simetri ekseninin diğer tarafına gidilerek simetriğindeki noktayı bulmak gerekir.

Noktalı kağıda bir doğru parçası ve simetri doğrular çizelim. Bu doğru parçasının simetri doğrularına göre yansımalarını oluşturalm.

[AB]’nın l doğrusuna göre yansıması [A’B’], t doğrusuna göre yansıması [A”B”]’dır.

*** Bir doğru parçası ya da çokgenin bir doğruya göre yansımasının görüntüsü çizilirken doğru parçasının başlangıç ve bitiş noktalarının, çokgenin ise köşelerinin o doğruya göre yansıma altındaki görüntüleri bulunur. Bu görüntüler ardışık olarak birleştirilerek doğru parçası ya da çokgenin yansıma altındaki görüntüsü elde edilir.

Kareli kağıda bir şekil ve bir doğru çizelim. Bu şeklin doğruya göre yansımasını oluşturalm.

---

Yansımada Şekil ile Görüntüsü Arasındaki İlişki

Yansımada şekil ile görüntüsü üzerinde birbirlerine karşılık gelen noktaların simetri doğrusuna olan uzaklıkları eşittir. Şekil ile şeklin görüntüsü eştir.

Noktalı kağıda bir şekil ve simetri doğrusu çizelim. Bu şeklin simetri doğrusuna göre yansımasını oluşturalım. Şekil ile görüntüsü üzerinde birbirlerine karşılık gelen noktaları birleştirelim. Elde edeceğimiz doğru parçalarının simetri doğrusuna dik olup olmadığını belirleyelim.

*** Yansımada şekil ile görüntüsü üzerinde birbirlerine karşılık gelen noktaları birleştiren doğru parçası simetri doğrusuna diktir.

Kareli kağıda bir şekil ve simetri doğrusu çizelim. Bu şeklin simetri doğrusuna göre yansımasını oluşturalım.

Verilen şeklin üzerindeki [AB] aynı zamanda simetri doğrusu üzerindedir. [AB] şeklin simetri doğrusuna göre yansıması üzerinde değişmez kalır. Şeklin yansımasının da bir parçasıdır. Kırmızı renkle çizilmiş şeklin simetri doğrusuna göre yansıması mavi renkle çizilmiş şekildir.

Örnek: Kareli kağıda bir şekil ve simetri doğrusu çizelim. Bu şeklin simetri doğrusuna göre yansımasını oluşturalım.

Kırmızı renk ile çizilmiş şeklin simetri doğrusuna (d) göre yansıması mavi renk ile çizilmiş şekildir.

---

Düzlemsel Bir Şeklin Ardışık Ötelemeler ve Yansımalar Sonucu Elde Edilen Görüntüsü

Aşağıda bir şekil ve simetri doğruları verilmiştir. Şeklin a doğrusuna göre yansımasını çizelim.
Yansıma sonucu oluşan görüntüyü 6 br aşağıya öteleyelim. Öteleme sonucu oluşan şeklin de b doğrusuna göre yansımasını bulalım.

Kırmızı ile çizilmiş şeklin a doğrusuna göre yansıması mavi ile çizilmiş şekildir. Mavi ile çizilmiş şeklin 6 br aşağı ötelenmiş hali turuncu ile çizilmiş şekildir. Turuncu ile çizilmiş şeklin b doğrusuna göre yansıması sarı ile çizilmiş şekildir.

 

Örnek: Aşağıdaki desen için kullanılan bazı dönüşüm hareketlerini belirleyelim.

Çözüm:

1 numaralı şeklin yatay eksene göre yansıtılmasıyla 2 numaralı şekil elde edilmiştir.
1 ve 2 numaralı şekillerin dikey eksene göre yansıtılmasıyla 3 ve 4 numaralı şekiller elde
edilmiştir.
1, 2, 3 ve 4 numaralı şekillerden oluşan şekil ötelenerek veya bu şeklin dikey eksene göre
yansıması alınarak diğer şekiller elde edilmiştir.
1 numaralı şeklin dikey eksene göre yansıtılmasıyla 3 numaralı şekil, 1 ve 3 numaralı şekillerin
oluşturduğu şeklin yatay eksen boyunca ötelenmesi veya yatay eksene göre yansıtılmasıyla 2
ve 4 numaralı şekiller elde edilmiştir.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Cisimlerin farklı yönlerden görünümleri konusunu öğreneceğiz.

Üç Boyutlu Cisimlerin Farklı Yönlerden İki Boyutlu Görünümleri

Aşağıdaki fotoğraftaki birim küplerle oluşturulmuş yapının önden, arkadan, soldan, sağdan ve üstten görünümlerini kareli kağıda çizelim. Farklı yönlerden görünümleri ilişkilendirelim.

Bu yapıda önden ve arkadan görünümler simetriktir. Soldan ve sağdan görünümler aynıdır.

 

Aşağıdaki fotoğrafta yapının önden, arkadan, soldan, sağdan ve üstten görünümlerini kareli kağıda çizelim. Farklı yönlerden görünümleri ilişkilendirelim.

Bu yapıda önden, arkadan görünümler simetriktir.

---

Farklı Yönlerden Görünümleri Verilen Yapılar

Aşağıda farklı yönlerden görünümleri verilen yapıyı oluşturalım. Yapıda 6 birim küp kullanılmıştır.

Farklı yönlerden görünümleri verilen yapı aşağıdaki gibidir.

 

Örnek: Aşağıda farklı yönlerden görünümleri verilen yapıyı oluşturalım. Yapıda 30 birim küp kullanılmıştır.

Farklı yönlerden görünümleri verilen yapı aşağıdaki gibidir.

 

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Çember konusunu öğreneceğiz.

Bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi düzlemde çember belirtir.

Çemberin tam orta noktasına “çemberin merkezi” denir.

*** Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi pergel yardımıyla çember çizilebilir.

Çizilen çemberde kağıt üzerinde sabitlenen pergelin iğneli ucu, çizilen çemberin orta noktasıdır. İşte bu nokta çemberin merkezidir.

 

*** Çemberin merkezini çember üzerindeki herhangi bir noktaya birleştiren doğru parçasına “yarıçap” adı verilir. ve r ile gösterilir. Yukarıdaki çemberinde yarıçapı 7 cm’dir.

*** Çemberin yarıçap uzunluğunun 2 katı uzunluğa “çap” adı verilir ve R ile gösterilir. R = 2 . r

*** Çap çember üzerindeki en büyük uzunluktur.

*** Çembersel bölgelere daire adı verilir. Çembersel bölge içi dolu çember şeklinde ifade edilebilir.

Örnek: Aşağıda verilenlerden hangilerinin bir daireye model olabileceğini belirtiniz.

Çözüm:

Simit şekli, içinin tamamen dolu olmaması sebebi ile bir daire modeli olamaz.

Madeni para ve duvar saati şekilleri ise içlerinin dolu olması ile birer daire modeli olabilir.

*** Bir çemberin uzunluğunun çarpımına oranı sabit bir sayıdır. Bu sayıya π (pi) adı verilir. π’nin yaklaşık değeri 3,14’tür.

*** Çapı veya yarıçapı verilen bir çemberin uzunluğu (çevresi) Ç ile gösterilir.

Ç = Çap . π

= R . π

= 2r . π bağıntısı ile hesaplanır.

Örnek: Bir bisikletin tekerleğinin yarıçapı 45 cm’dir. Bisikletin ön tekeri 50 tur attığında kaç m yol ilerleyeceğini bulunuz. (π = 3 alınız.)

Çözüm:

Bir teker bir tam tur döndüğünde çevresi kadar yol gider.

Tekerleğin çevresi = 2 . r . π

= 2 . 45 . 3

= 270 cm’dir.

Bisikletin ön tekeri 50 tur attığında;

270 . 50 = 13 500 cm = 135 m yol alır.

 

Örnek: Şekilde boyutları verilen bir havuz 14 m ve 12 m’den oluşan dikdörtgen ve O merkezli yarım daireden oluşmaktadır. Buna göre havuzun çevresini hesaplayınız. (π = 3)

Çözüm:

Yukarıdaki şekilde de görüldüğü üzere havuz bir kare ve yarım daireden oluşmaktadır. O halde biz dikdörtgen ve dairenin çevresini bulursak havuzunda çevresini buluruz.

Dikdörtgen çevresi = 12 + 12 + 14 = 38 m

Burada unutulmaması gereken husus, [BC] kenarı çevreye dahil olmadığı için dikdörtgenin çevresi hesaplanırken hesaba katılmaz.

Havuz yarım daireden oluştuğu için çevreyi 2’ye bölmemiz gerekir.

Yarım dairenin çevresi = (R . π) / 2

= (14 . 3) / 2

= 42 / 2 = 21 m

O halde havuzun çevresi 38 + 21 = 59 m olacaktır.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.