Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Geometrik cisimler konusunu öğreneceğiz.
Prizmalar
Prizma tabanları, karşılıklı iki yüzü paralel ve eş olan çokgenlerdir.
Dik prizmada, tabanlarının karşılıklı köşelerini birleştiren ayrıtlar tabana diktir.
Dik prizmalar karşılıklı paralel yüz çiftlerine (tabanlarına) göre isimlendirilir. Örneğin, prizma dik ve tabanları düzgün altıgen ise prizma, “düzgün altıgen dik prizma” olarak adlandırılır.
Üçgen prizmanın tabanları eşkenar üçgenlerden oluşuyorsa prizma, “eşkenar üçgen prizma” adını alır.
Prizmaların yüksekliği, tabanla arasındaki uzaklıktır. “Yükseklik”, tabanlardan birinin bir noktasından diğer tabana inilen dikme şeklinde de ifade edilir.
Aşağıdaki üçgen dik prizma modelinin temel elemanlarını belirleyelim ve
üçgen dik prizmanın yüzey açınımını çizelim.
Üçgen dik prizmanın temel elemanları; taban, yan yüz, ayrıt, köşe ve yüksekliktir.
ABC ve A’B’C’ üçgensel bölgeleri prizmamızın tabanlarıdır.
A’ACC’, B’BCC’ ve A’ABB’ dikdörtgensel bölgeleri prizmamızın yan yüzleridir.
[AA’], [AB], [AC], [BC], [BB’], [CC’], [C’B’], [C’A’] ve [B’A’] prizmamızın ayrıtlarıdır.
A, B, C, A’, B’ ve C’ prizmamızın köşeleridir.
[AA’], [CC’] ve [BB’] ayrıtları da dik prizmamızın yüksekliğidir.
Üçgen prizmanın açınımı, aşağıdaki gibidir.
Dik Dairesel Silindir
Dik dairesel silindirde birbirine eş ve paralel iki daireden oluşan tabanlar ve yan yüz vardır. Taban yarıçapı silindirin yarıçapıdır.
Dik dairesel silindirde, tabanları oluşturan dairelerin merkezlerini birleştiren doğru parçasına “eksen” denir.
Dik dairesel silindirde tabanların karşılıklı iki noktasını birleştiren tabanlara dik ve eksene paralel olan doğrulara “ana doğrular” denir. Eksen de bir ana doğrudur.
Tabanlardan birinin bir noktasından diğer tabana inilen dikmeye “silindirin yüksekliği” denir. Yükseklik de bir ana doğrudur.
Aşağıda verilen dik dairesel silindirin yüzey açınımını çizerek silindiri oluşturan
geometrik şekilleri belirleyelim.
Bir silindirin açık şekli, açınımı olarak adlandırılır. Dik dairesel silindirin açınımını çizelim.
Dik dairesel silindir, tabanları oluşturan paralel ve birbirine eş iki daire ve bir dikdörtgensel bölgeden oluşmaktadır.
Dikdörtgensel bölgenin kenar uzunlukları, tabanı oluşturan dairenin çevre uzunluğu ve silindirin yüksekliğine eşittir.
Dik Dairesel Silindirin Yüzey Alanı
Dik dairesel silindirin alanı, alt ve üst tabanların alanları ve yan yüz alanı toplamına eşittir.
Yüzey alanı: Alt ve üst taban alanları toplamı + yan yüz alanı
Alan: 2 π r² + 2 π r . h
Aşağıda verilen dik dairesel silindirin yüzey alanını bulalım (π = 3).
Dik dairesel silindirin yüzey alanı: Taban alanları toplamı + Yan yüz alanı
Alan = 2 π r²+ 2 π r . h
= 2 • 3 • 102
+ 2 • 3 • 10 • 6
= 6 • 100 + 6 • 60 • 6 = 600 + 360
= 960 cm² olur.
Dik Dairesel Silindirin Hacmi
Yarıçapı r, yüksekliği h olan dik dairesel silindirin hacmi, silindirin taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir. O halde,
V = π r² . h’dir.
A ve B tencereleri dik dairesel silindir şeklinde eşit hacimli iki tenceredir. A tenceresinin taban yarıçapı 8 cm, yüksekliği 25 cm’dir. B tenceresinin yarıçapı 10 cm ise yüksekliği kaç cm’dir?
A tenceresinin yarıçapını yuvarlama yaparak 10 cm ve yüksekliğini 25 cm olarak alalım.
A tenceresinin hacmi Va = π • 10² • 25 • π
Va = 2500π
B tenceresinin yarıçapı 10’dur. Yüksekliğine h diyelim.
B tenceresinin hacmi Vb = 10² • hπ = 100πh
Her iki tencerenin hacmi eşit olduğu için 2500π = 100πh
Her iki tencerenin hacmi eşit olduğu için h = 25 cm’dir.
İşlem yaparak sonucu bulalım:
A tenceresinin hacmi: Va = π • r² • h = π • 8² • 25 = 1600π
B tenceresinin hacmi: VA = π • r² • h = π • 10² • h = 100πh
Her iki tencerenin hacimlerinin eşitliğinden;
Va = Vb
1600π = 100πh
h = 16 cm’dir
Dik Piramid, Temel Elemanları ve Açınımı
Bir çokgensel bölgenin her noktasını, bu çokgenden geçen düzlemin dışındaki T noktasına birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu cisme “piramit” denir.
Piramidin temel elemanları, tepe noktası, tabanı, yan yüzleri, ayrıtları ve yüksekliğidir.
Çokgensel bölgeye “piramidin tabanı”, dışındaki noktaya “piramidin tepesi” denir.
Tepe noktasından taban düzlemine inen dikmeye (ya da dikmenin uzunluğuna) piramidin yüksekliği denir. Piramitte yükseklik, aynı zamanda tepenin taban düzlemine olan uzaklığıdır.
• Bir köşesi piramidin tepesi olan üçgensel bölgelere, dik piramidin “yanal yüzleri” denir. Yanal yüzler, ortak bir tepe noktası olan ikizkenar üçgenlerdir. Yanal ayrıt uzunlukları birbirine eşittir.
• Yanal yüzlerden birine ait yükseklik, piramidin “yan yüksekliği”dir.
Aşağıdaki şekil üzerinde, kare piramidin tepe, ayrıt, köşe, cisim yüksekliği ve yan yüz yüksekliğini inceleyelim.
*** Piramitler, taban çokgenlere göre adlandırılır. Tabanı üçgen olan piramide “üçgen piramit”, tabanı dörtgen olan piramide “dörtgen piramit”, tabanı beşgen olan piramide “beşgen piramit”denir.
Tabanı düzgün çokgen, yan ayrıtları eş olan ve cisim yükseklikleri tabanın merkezinden geçen piramitlere “düzgün piramit” denir. Tabanı eşkenar üçgen olan düzgün piramide “eşkenar üçgen düzgün piramit” denir. Tabanı kare olan düzgün piramide “düzgün kare piramit” denir.
Aşağıdaki piramit çeşitlerini inceleyelim.
Dik Koni, Temel Elemanları ve Açınımı
Merkezi “O” olan bir daireyle daire düzlemine “O” noktasında dik olan doğru
üzerinde ve daire dışında bir T noktası veriliyor. Dairenin her noktasını, T noktasına birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu cisme “dik koni” denir.
*** Koninin temel elemanları, taban, tepe noktası, eksen, yanal yüzey ve ana doğru (doğuran)dır.
Aşağıda verilen dik dairesel konide;
• “O” merkezli daire, koninin tabanıdır.
• TO doğru parçası, koninin cisim yüksekliğidir.
• T, koninin tepe noktasıdır.
• Taban dairesinin çemberi üzerindeki noktaları tepe noktasına birleştiren TA ve TC gibi doğru parçalarına koninin ana doğruları denir.
• Tepe noktası ve taban merkezinden geçen doğruya koninin ekseni denir. Koninin yüksekliği koni ekseni üzerindedir.
• Tepeden geçen ve tabanının kenarı olan çembere dayanan doğrunun süpürdüğü yüzeye yanal yüzey denir.
*** Ekseni tabana dik olan koniye “dik koni” ya da “dönel koni”denir.
Dik koniler eksen etrafındaki dönmelerde “dönme simetrisi”ne sahiptirler. Eksen etrafındaki dönmelerde koni değişmez.
Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.
