Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Dönüşüm geometrisi konusunu öğreneceğiz.
Şekil hangi nokta etrafında dönderiliyorsa o noktaya “dönme merkezi” denir.
Dönme hareketi yapan cismin hangi yönde döndüğünü belirtmek için “saat yönü” veya “saat yönünün tersi” şeklinde ifadeler kullanılır.
Döndürülen şeklin ilk ve son görünümü arasında oluşan açıya“dönme açısı” denir.
Aşağıda verilen şekli A noktası etrafında saat yönünde 90º döndürüp şeklin görüntüsünü çizelim.
Verilen şekli A noktası etrafında saat yönünde döndürdüğümüzde yeni konumu yandaki gibidir. Şekil ve dönmeden sonra oluşan görüntüsü eştir. Dönme dönüşümünde şeklin üzerinde bulunan her bir nokta da aynı dönme açısı ile yer değiştirmektedir.
*** Şekil ve öteleme sonucunda oluşan görüntüsü eştir. Ötelemede şeklin yeri değişir.
Koordinatları A(0, 3), B(6, 3), C(2, 0) ve D(5, 0) olan bir yamuğu, x ekseninde 7 birim
sola, y ekseninde 5 birim aşağıya öteleme yaparak görüntülerini belirleyelim ve yamuğu çizelim.
Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi 1. adımda BCD yamuğu x ekseninde 7 birim sola ötelenmiş ve A’B’C’D’ yamuğu elde edilmiştir. 2. adımda A’B’C’D’ yamuğu y ekseninde 5 birim aşağıya ötelenmiş ve A”B”C”D” yamuğu elde edilmiştir.
*** Herhangi bir doğru boyunca ötelemede şeklin ve görüntüsünün doğruya uzaklığı eşittir.
*** A(x , y) noktasının x ekseninde a birim, y ekseninde b birim öteleme sonucundaki görüntüsünün koordinatları A”(x + a, y + b) olur.
Doğruya göre öteleme yapılırken x ve y eksenleri boyunca belirtilen yönde ve belirtilen birim kadar bütün noktalar paralel ötelenir.
Koordinatları A(1, 0), B(7, 0) ve C(4, 3) olan bir üçgeni x ekseninde 3 birim sağa, y
ekseninde 4 birim aşağıya öteleme yapalım ve görüntüleri belirleyerek çizelim.
*** A(x , y) noktasının x ekseninde yansıması A'(x, — y) olur. x eksenine göre yansıma alınırken x değişmez, y’nin ise işareti değişir.
A(x, y) noktasının y eksenine göre yansıması A”(– x, y) olur. y eksenine göre yansıma alınırken y değişmez, x’in ise işareti değişir.
Koordinat düzleminde, koordinatları A(– 6, — 1), B(– 1, — 1), C(– 1, — 3), D(– 3, — 3), E(– 3, — 5), F(– 4 — 5), G(– 4 — 3), K(– 6, — 3) olarak verilen çokgenin x eksenine göre yansıma altındaki görüntüsünü çizelim. Koordinatlar arasındaki ilişkiyi belirleyelim.
*** Saatin tersi yönde 270° lik dönme ile saat yönünde 90° lik dönme aynı harekettir. Bunun sebebi her iki açının toplamının 360° ye tamamlanmasıdır.
*** Saat yönünde 270° lik dönme ile saatin tersi yönde 90° lik dönme aynı harekettir.
Koordinatları O(0, 0), A(– 1, 3), B(– 3, 0) olan üçgenin orijin etrafında iki defa saat yönünde 90° lik dönme altındaki görüntülerini bulalım. Oluşan şekillerin koordinatları arasındaki ilişkiyi belirleyelim.
ilk dönmede (90° lik dönmede) koordinatlar:
İkinci dönmede (180° lik dönmede) koordinatlar:
*** Koordinatlarından biri (x, y) olan bir şekil, orijin etrafında saat yönünde 90° döndürüldüğünde koordinatı (y, –x), 180° döndürüldüğünde koordinatı (– x, — y), 270° döndürüldüğünde koordinatı (–y, x) olur. 360° döndürüldüğünde ise (x, y) koordinatı değişmez.
Koordinatları O(0, 0), P(3, 0), R(5, 4), S(2, 4) olan paralelkenarın orijin etrafında saat yönünün tersinde 270° lik dönme altındaki görüntüsü olan OP’R’S’ paralelkenarını çizelim ve koordinatları arasındaki ilişkiyi bulalım.
Ardışık Öteleme, Yansıma ve Dönme
Ötelemeli yansımada nokta ve yansıma doğrusundan başka hiçbir doğru sabit kalmaz.
Bir şeklin bir doğru boyunca yansımasından sonra ötelenmesiyle ötelenmesinden sonra yansıması aynıdır.
Yukarıdaki şekilde, üçgenin doğru boyunca yansımasından sonra ötelenmesi çizilmiştir.
Yukarıdaki şekilde, üçgenin doğru boyunca ötelenmesinden sonra yansıması çizilmiştir.
Yukarıdaki şekilde, yukarıdaki şekillerde verilen üçgenin yansımasından sonra ötelenmesi ile ötelenmesinden sonra yansımasının aynı olduğu görülmektedir
Örnek: Aşağıdaki koordinat sisteminde I numaralı şekle, çeşitli öteleme ve yansımalar uygulanarak II, III ve IV. şekiller elde edilmiştir. Bu şekillerin I. şekilden nasıl elde edildiğini bulunuz.
Çözüm:
I nolu şeklin y eksenine göre yansıması alınarak II nolu şekil elde edilmiştir.
II nolu şekil, y eksenine göre 5 birim aşağıya ötelenerek III nolu şekil elde edilmiştir.
III nolu şekil, orijin etrafında 270º döndürülerek IV nolu şekil elde edilmiştir.
Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.