Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde 7.sınıf matematik Oran orantı konusunu öğreneceğiz.
Birbirine Oranı Verilen İki Çokluktan Biri Verilince Diğerinin Bulunması
İki çokluğun (niceliğin) ölçülerinin bölme şeklinde birbiri ile karşılaştırılmasına “oran” denir. a ile b çokluklarının oran a : b, a/b şeklinde gösterilir.
Bir salataya konulan limon miktarının zeytinyağı miktarına oranı 2/3’tür. Buna göre bir tabaktaki salataya 30 cL limon sıkılırsa kaç cL zeytinyağı dökülmelidir? Bulalım.
Zeytinyağı miktarı x cL olsun.
Limon miktarı/zeytinyağı miktarı = 2/3
Doğru orantılı çokluklar arasında çarpmaya dayalı bir ilişki vardır.
Örnek: Bir kreşteki erkek çocukların sayısının kız çocukların sayısına oranı 4/5’tir. Bu kreşte 99 çocuk olduğuna göre kız ve erkek çocukların saysının kaç olduğunu bulalım.
Çözüm: Erkek çocukların sayısı a, kız çocukların sayısı b olsun. a/b = 4/5’tir. Bu eşitliği sağlayan a sayısı 4’ün, b sayısı da 5’in katıdır. k pozitif tam sayı olmak üzere a = 4k ve b = 5k alalım.
Toplam çocuk sayısı 99 olduğundan
a + b = 99
4k + 5k = 99
9k = 99
k = 11 olur.
Erkek çocukların sayısı 4·11 = 44
Kız çocukların sayısı 5·11 = 55’tir.
Bir Oranda Çokluklardan Birinin 1 Olması Durumunda Diğerinin Alacağı Değer
Örnek: 50 mL’lik limon kolonyasının 12 tanesi 15 TL olduğuna göre 50 mL’lik 1 limon kolonyasının kaç lira olduğunu bulalım.
50 mL’lik 1 limon kolonyasının fiyat a lira olsun.
Örnek: Hülya ve 11 arkadaşı birlikte bir tiyatro oyununa gideceklerdir. Biletleri Hülya almıştır. Hülya 12 bilet için 120 TL ödediğine göre 1 biletin fiyatının kaç lira olduğunu bulalım.
Çözüm: 1 biletin fiyat x lira olsun.
İki Çokluğun Orantılı Olup Olmadığını Belirleme
İki oranın eşitliğine “orantı” denir.
a, b, c ve d bir orantıya ait terimlerdir. a/b = c/d eşitliği bir orantıdır.
• a ile d dış terimler, b ile c iç terimler olarak adlandırılır.
• Bu orantıda iç terimlerin çarpımı, dış terimlerin çarpımına eşittir.
b·c = a·d Bu çarpıma “çapraz çarpım” denir.
• Bu orantıda içler yer değiştirirse eşitlik bozulmaz.
a/c = b/d
• Bu orantıda dışlar yer değiştirirse eşitlik bozulmaz.
d/b = c/a
Örnek: Beyza’nın dedesinin 5 ineği vardır. Beyza, dedesine ineklerden günde kaç litre süt sağıldığını sormuştur. Dedesi de her ineğin 1 günde 5 L süt verdiğini söylemiştir. Bu bilgiyi kullanarak inek sayısı ile elde edilen süt miktarı arasındaki ilişkiyi gösteren tablo ve grafik aşağıda verilmiştir. Bu iki çokluğun orantılı olup olmadığını belirleyelim.
Tablodaki her satırdaki inek sayısının süt miktarına oranı 1/5’tir. İnek sayısı 2 katına çıktığında süt miktarı 2 katına, aynı şekilde inek sayısı 5 katına çıktığında süt miktarı 5 katına çıkmaktadır. Bu iki çokluk doğru orantılıdır. Doğru orantılı bu çokluklara ait grafik orijinden geçer.
Doğru Orantılı İki Çokluk Arasındaki İlişkinin Tablo veya Denklem Olarak İfade Edilmesi
Örnek: Bir apartmanda bir üst kata çıkabilmek için 16 basamaklı merdiven kullanılmaktadır. Basamak sayısı ile kat sayısı arasındaki doğrusal ilişkiyi tablo ve denklem ile ifade edelim.
x kat sayısını, y basamak sayısını göstermek üzere bu iki çokluk arasındaki ilişkinin denklemi y = 16x olur.
Doğru orantılı bu çokluklar arasında çarpmaya dayalı bir ilişki vardır. Kat saysının basamak sayısına oranı 1 : 16 olduğundan kat sayısı 1’in basamak sayısı da 16’nın aynı sayı katıdır. Kat sayısı 3·1 = 3 olduğunda basamak sayısı: 3·16 = 48 olur.
Örnek: 1800 Watt gücünde bir elektrikli ısıtıcı 1 saatte 40 kr’luk elektrik tüketmektedir. Zaman ile tüketilen elektrik miktarı arasındaki doğrusal ilişkiyi tablo ve denklem ile ifade edelim.
Çözüm:
x zaman (saat), y tüketilen elektriğe ödenen parayı (kuruş) göstermek üzere bu doğru orantılı iki çokluk arasındaki doğrusal ilişkinin denklemi y = 40x’tir.
Doğru Orantılı İki Çokluğa Ait Orantı Sabiti
Doğru orantılı iki çokluktan birinin miktarını a, diğerinin miktarını da b ile gösterirsek k sabit bir sayı olmak üzere a/b = k’dır.
k sayısına “doğru orantı sabiti” denir.
Örnek: Evlerine ait Mayıs 2015 ve Haziran 2015 su faturalarını inceleyen Ahmet, mayıs ayına ait faturada 15 m³ su için 75 TL, haziran ayına ait faturada ise 18 m³ su için 90 TL su bedeli ödeneceğini belirlemiştir. Bu faturalara göre kullanılan su miktarı ile ödenecek para doğru
orantılı mıdır? Bu iki çokluk doğru orantılı ise bu iki çokluğa ait orantı sabitini belirleyelim.
Çözüm: Her iki faturadaki bilgilere göre kullanılan su miktarının ödenen paraya oranını bulalım.
15 / 75 = 1/5 , 18 / 90 = 1/5
Bu oranlar eşit olduğundan bu iki çokluk doğru orantılıdır.
Bu oranların sabit olduğunu görürüz. Öyleyse doğru orantılı bu iki çokluğa ait orantı sabiti 1/5’tir.
İki Çokluğun Ters Orantılı Olup Olmadığını Belirleme
İki çokluktan biri artarken diğeri azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri artıyorsa bu çokluklar ters orantılıdır.
Ters orantılı iki çokluktan birinin miktarını a, diğerinin miktarını b ile gösterirsek k sabit bir sayı olmak üzere a·b = k eşitliği elde edilir.
Mine, sınıftaki arkadaşlarına dağıtmak üzere 96 tane el işi kâğıdı almıştır. Mine, kâğıtları önce iki arkadaşına paylaştırarak bu arkadaşlarından her birine kaç kâğıt dağıtacağını hesaplamıştır.
Daha sonra bu işlemleri öğrenci sayısını artırarak devam ettirmiş ve aşağıdaki tabloyu oluşturmuştur. Bu tabloyu kullanarak öğrenci sayısı ile her öğrenciye dağıtılan kâğıt sayısı arasındaki orantıyı belirleyelim.
Tablodaki her satırdaki öğrenci sayısı ile her öğrenciye dağıtılan kâğıt sayısının çarpımı
2·48, 3·32, 4·24, 6·16, 24·4 olur.
Her çarpımda 96 sabit sayısını buluruz. Öğrenci sayısı arttıkça her öğrenciye dağıtılan kâğıt sayısı aynı oranda azalmaktadır. Bu iki çokluk ters orantılıdır.
Orantı Problemleri
Ölçek Problemleri
Örnek: Ankara ile Eskişehir arasındaki uzaklık 320 km’dir. Bu şehirler arasındaki uzaklık 1 : 1 000 000 ölçekli bir haritada kaç santimetredir?
Çözüm: Haritadaki uzaklık x km olsun.
Haritadaki Alan ile Ölçek Arasındaki İlişki
Bir haritadaki bir bölgenin alanının gerçek alana oranı bu haritanın ölçeğinin karesine eşittir.
(Ölçek)² = Haritadaki Alan / Gerçek Alan
Örnek: Yalova’nın yüzölçümü yaklaşık 850 km²’dir. 1 : 50 000 ölçekli bir haritada 85 250= 0,34 bu ilimizin alanı kaç metrekaredir? Hesap makinesi kullanarak bulalım.
Çözüm: Haritadaki alan x metrekare olsun.
Karışım Problemleri
2 L limonata hazırlayan Esma, 80 cL limon suyu ve 120 cL su kullanmıştır. Esma, aynı limon suyu — su oranını kullanarak 500 cL limonata hazırlarsa kaç santilitre su kullanmalıdır?
İndirim ve Artış Problemleri
Emekli maaşlarına yılda iki kez (ocak ve temmuz ayları) son maaş üzerinden aynı oranda zam yapılmaktadır. Maaş 1800 TL olan bir emeklinin maaşı 90 TL artmıştır. Buna göre maaşı 1600 TL olan bir emekli vatandaşın maaşı kaç lira olur?
Her emeklinin maaşına aynı oranda zam yapılacağından 1800 TL maaşı alan bir emeklinin maaşının zam miktarına oranı ile 1600 TL maaşı alan bir emeklinin maaşının zam miktarına oranı eşittir.
Maaşı 1600 TL olan emekli vatandaşın maaşına x TL zam yapılsın.
Örnek: Trafik cezaları tebliğ tarihinden sonraki 15 gün içinde ödendiğinde aynı oranda indirim uygulanmaktadır. Araçta telefonla konuşma cezası alan bir sürücüye 15 gün içinde ödediğinden 88 TL ceza için 22 TL indirim yapılmıştır. Araç tescil belgesi (ruhsat) ve plaka olmadan araç kullanma cezası alan bir sürücü 800 TL olan cezayı 15 gün içinde öderse kaç lira ödeyecektir?
Çözüm: Her ceza miktarına aynı oranda indirim yapılacağından cezaların oranı ile indirimlerin oranı eşittir.
800 TL’lik cezaya x lira indirim yapılsın.
Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.