Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde 7.Sınıf Matematik Doğrusal denklemler konusunu öğreneceğiz.
İki say doğrusunun 0 (sıfır) noktasında birbiriyle dik kesişmesiyle “koordinat sistemi” oluşur. Koordinat sistemindeki yatay eksene “x ekseni”, dikey eksene “y ekseni”, eksenlerin kesiştiği noktaya da orijin (başlangıç noktası) denir.
Koordinat sisteminde bir noktaya karşılık gelen sayı ikilisine sıralı ikili denir. Bir noktayı gösteren sıralı ikililer o noktanın koordinatlarıdır.
Bir sıralı ikilide ilk sayı x eksenine, ikinci sayı y eksenine karşılık gelen sayıyı gösterir. (a, b) sıralı ikilisinde a sayısına “birinci bileşen”, b sayısına ise “ikinci bileşen” denir.
Koordinat sisteminde A(-1, 3), B(3, 2), C(-2, -3) ve D(2, -2) noktalarını işaretleyelim.
A(–1, 3) noktasını koordinat sisteminde işaretlemek için başlangıç noktasından 1 birim sola, 3 birim yukarı gideriz.
Benzer şekilde B(3, 2), C(–2, –3) ve D(2, –2) noktalarının koordinat sistemindeki yerlerini aşağıdaki koordinat sisteminde işaretleyelim.
Koordinat sistemi, bulunduğu düzlemi dört bölgeye ayırır.
Bölgelerdeki noktaların birinci ve ikinci bileşenlerinin işaretleri yukarıda verilen tablodaki gibidir.
1. bileşeni 0 (sıfır) olan bir noktaları y ekseni; 2. bileşeni 0 (sıfır) olan noktalar ise x ekseni üzerindedir.
Örnek: Bir havalimanı kulesi başlangıç noktası, x ekseni zemin ve kulenin uzantısı y ekseni kabul edilerek çizilen yandaki koordinat sisteminde bir uçağın bulunduğu nokta işaretlenmiştir. Bu noktaya karşılık gelen sıralı ikiliyi yazalım. Bu uçağın yerden yüksekliğini ve kulenin uzantısına uzaklığını bulalım.
Çözüm: Verilen noktadan x eksenine çizilen dikme 10 noktasına, y eksenine çizilen dikme 6 noktasına
karşılık gelir. P noktasının koordinat sistemindeki yeri (10, 6) sıralı ikilisiyle gösterilir. Uçağın yerden yüksekliği P noktasından x eksenine çizilen dikmenin uzunluğuna eşittir. Uçağın yerden yüksekliği 6 km’dir. Uçağın kulenin uzantısına olan uzaklığı P noktasından y eksenine çizilen dikmenin uzunluğuna eşittir. Yani 10 km’dir.
Doğrusal İlişki
Doğrusal ilişki ifade eden denklemlere doğrusal denklemler denir. İki değişkenden oluşan bir doğrusal denklem ax + by + c = 0 şeklinde gösterilir. Bu ifadede x ile y değişken, a ve b katsayılar, c ise sabit terimdir.
ax + by + c = 0 denkleminin doğrusal denklem belirtmesi için a ve b katsayılarından en az biri sıfırdan farklı olmalıdır. Yani denklemde en az bir değişken bulunmalıdır.
İzmir’de taksi ile yapılan yolculuklarda taksimetre 300 kr ile açılarak her kilometrede 245 kr artar. Açılış ücretini de göz önüne alarak gidilen yol ile ücret arasındaki doğrusal ilişkiyi tabloda gösterelim. Tabloda yol ile ücreti sıralı ikili biçiminde ifade edelim. Bu doğrusal ilişkinin denklemini yazalım ve grafiğini çizelim.
Gidilen yol arttıkça ödenen ücret de artmaktadır. Gidilen yol ile ücret arasında doğrusal ilişki
vardır. Doğrusal ilişkinin denklemi y = 300 + x·245’tir. Bu denklemi y = 245x + 300 şeklinde de yazabiliriz.
Birinci bileşenler yolu, ikinci bileşenler ücreti göstermek üzere bu denklemi sağlayan sıralı ikililer
(0,300), (1, 545), (2,790), (3,1035)… şeklindedir. Bu sıralı ikilileri koordinat sisteminde işaretleyerek bu doğrusal ilişkinin grafiğini çizelim.
Grafikten de gördüğümüz üzere taksimetrenin ilk açılışında 300 kr, 1 km yol gidilince 545 kr, 2 km yol gidilince 790 kr ücret ödenmektedir. Gidilen yol arttıkça ödenen ücret de artmaktadır.
Örnek: Bir yolcu uçağının deposu 26 000 L benzin almaktadır. Bu uçak 1 km’de 5 L benzin harcamaktadır.
Bu uçağın deposu tam dolu iken kaç kilometre yol gidebileceğini ve deposunda kalan benzin miktarını gösteren doğrusal ilişkiyi tabloda gösterelim.
Doğrusal ilişkinin denklemini yazalım ve grafiğini çizelim.
Çözüm: Uçak gittiği her kilometre için benzin harcayacağından uçağın deposundaki benzin miktarı azalır.
Uçak 1 km’de 5 L benzin harcadığına göre 1 km sonunda uçağın deposunda (26000 — 5) L benzin kalır.
Bu doğrusal ilişkiye ait tabloyu oluşturalm.
Gidilen yol arttıkça uçağın deposunda kalan benzin miktarı azalmaktadır. Gidilen yol ile uçağın
deposunda kalan benzin miktarı arasında doğrusal ilişki vardır.
Doğrusal ilişkinin denklemi y = 26000 — 5x’tir.
Birinci bileşenler gidilen yolu, ikinci bileşenler aracın deposundaki benzin miktarını göstermek
üzere bu denklemi sağlayan bazı sıralı ikilileri bulalım.
x = 0 için y = 26000 — 5·0 y = 26000 ~ (0, 26 000)
x = 100 için y = 26000 — 5·100 y = 26000 — 500 = 25500 ~ (0, 25 500)
x = 200 için y = 26000 — 5·200 y = 26000 — 1000 = 25000 ~ (200, 25 000)
x = 300 için y = 26000 — 5·300 y = 26000 — 1500 = 24500 ~ (300, 24 500)
x = 400 için y = 26000 — 5·400 y = 26000 — 2000 = 24000 ~ (400, 24 000)
y = 0 için 0 = 26000 — 5x 5x = 26000 x = 5200 ~ (5200, 0)
Bu sıralı ikililere karşılık gelen noktalar koordinat sisteminde işaretleyerek doğrusal denklemin
grafiğini çizelim.
x değerleri (yol) arttıkça y değerleri (benzin miktarı) azalmaktadır. (0 , 26 000) sıralı ikilisi başlangıçta uçağın deposunda 26 000 L benzin olduğunu gösterir. (5200 , 0) sıralı ikilisi 5 200 km sonunda uçağın deposunda benzin kalmayacağını yani bir depo benzinle uçağın 5 200 km yol gidebileceğini gösterir.
Doğrusal Denklemlerin Grafiği
Doğrusal denklemlerin grafiği birer doğru grafiğidir. Koordinat sisteminde doğruyu oluşturan sıralı ikililere karşılık gelen noktalar bu doğrusal denklemin çözümünü sağlayan sıralı ikililerdir.
Orjinden (Başlangıç Noktası) Geçmeyen Doğruların grafiği
y = x + 2 denkleminin belirttiği doğrunun grafiğini çizelim.
x değişkenine farklı tam sayı değerleri vererek y değişkeninin alacağı değerleri bulalım ve (x, y)
sıralı ikililerini belirleyelim.
x = –3 için y = –3 + 2 (–3, –1)
y = –1
x = –2 için y = –2 + 2 (–2, 0)
y = 0
x = –1 için y = –1 + 2 (–1, 1)
y = 1
x = 0 için y = 0 + 2 (0, 2)
y = 2
x = 1 için y = 1 + 2 (1, 3)
y = 3
Belirlediğimiz noktaları koordinat sisteminde işaretleyerek grafiği çizelim.
Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları bulalım.
• x = 0 için y = 0 + 2 (0, 2) noktası grafiğin y = 2 y eksenini kestiği noktadır.
• y = 0 için 0 = x + 2 (–2, 0) noktası grafiğin x = –2 x eksenini kestiği noktadır.
Bu noktalar koordinat sisteminde işaretleyelim. Bu noktalardan geçen doğrunun grafiğini çizelim.
x = a Biçimindeki Doğruların Grafiği
Denklemi x = –3, x = –1, x = 2, x = 4 … olan doğruların grafikleri y eksenine paralel, x eksenine ise diktir. y değerleri kaç olursa olsun x değerleri hep aynı değeri alır. y eksenine x = 0 doğrusu da denir.
Aşağıdaki koordinat sisteminde x = –3, x = –1, x = 2 ve x = 4 doğrularının grafiği çizilmiştir.
y = b Biçimindeki Doğruların Grafiği
Denklemi y = –2, y = –1, y = 2, y = 3 …. olan doğruların grafikleri x eksenine paraleldir. x değerleri kaç olursa olsun y değerleri hep aynı değeri alır. x eksenine y = 0 doğrusu da denir.
Aşağıdaki koordinat sisteminde y = –2, y = –1, y = 0, y = 2 ve y = 3 doğrularının grafiği çizilmiştir.
Orijinden (Başlangıç Noktası) Geçen Doğruların Grafiği
a ≠ 0 olmak üzere denklemi y = ax olan doğrular orijinden geçer.
Orijinden geçen bir doğrunun grafiğinin çiziminde denklemin çözümü olan bir sıralı ikili bulmak yeterlidir. Bu sıralı ikiliye karşılık gelen nokta ile O(0, 0) noktası birleştirilerek grafik çizilir.
Doğru üzerinde bulunan bir noktanın koordinatlar doğrusal denklemi sağlar.
Denklemleri y = -2x, y = -x ve y = -x/2 olan doğruların grafiklerini aynı koordinat sisteminde
çizelim.
Bu denklemlerin çözümü olan birer sıralı ikili bulalım.
Bu sıralı ikililere karşılık gelen noktalar koordinat sisteminde işaretleyelim. Bu noktalar ile (0, 0) noktasını birleştirerek grafikleri çizelim.
Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.
Hasan Şeker says:
çok iyi olmuş