Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Çokgenler konusunu öğreneceğiz.
Herhangi üçü aynı doğru üzerinde olmayan en az üç noktayı ardışık olarak birleştiren doğru parçalarının birleşiminden oluşan kapalı şekillere “çokgen” denir. Çokgenler kenar sayılarına göre adlandırılırlar. Üç kenarı olan çokgene üçgen, dört kenarı olan çokgene dörtgen, beş kenarı olan çokgene beşgen denir.
Aşağıdaki çokgende A, B, C ve D noktalarına çokgenin köşeleri,
[AB], [BC], [CD] ve [DA]’na çokgenin kenarları denir.
Düzgün Çokgenler
Tüm kenar uzunlukları ve iç açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere “düzgün çokgen” denir.
Aşağıda kenar uzunlukları ve iç açılarının ölçüsü eşit olan çokgenlere örnekler verilmiştir. İnceleyiniz.
Yukarıda verilen dörtgenin tüm kenar uzunlukları eşit ve her iç açısının ölçüsü 90°, beşgenin tüm kenar uzunlukları ve her iç açısının ölçüsü eşit, sekizgenin tüm kenar uzunlukları ve her iç açısının ölçüsü eşittir.
Çokgenlerin Köşegenleri, İç ve Dış Açıları
Bir çokgende ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına “köşegen” denir.
Aşağıdaki dörtgende [AC] ve [BD], ABCD dörtgeninin köşegenleridir.
Aşağıdaki düzgün çokgenlerde bir köşe diğer köşelerle birleştirilerek üçgenlere ayrılmış ve bu
üçgenlere numaralar verilmiştir.
Verilen çokgenler için aşağıdaki tabloyu dolduralım. Tabloyu doldururken bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180° olduğu bilgisini kullanalım.
Tabloda görüldüğü gibi çokgenlerin iç açılar ölçüleri toplamı ile kenar sayısı arasında bir ilişki
vardır.
Aşağıdaki tabloyu dolduralım. Düzgün çokgenlerin bir iç açısının ölçüsünü bulmak için iç açılarının ölçülerinin toplamını açı sayısına bölelim.
*** Bir çokgende iç açıların ölçüleri toplamı çokgenin kenar sayısının 2 eksiği ile 180° nin çarpımıdır. n kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n — 2)·180° ile hesaplanır.
Eğer çokgen düzgün çokgen ise bir iç açısının ölçüsü, iç açılarının ölçüleri toplamının kenar sayısına bölümüdür.
Bir iç açının ölçüsü = 
8 kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamını bulalım.
n kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n — 2)·180° olduğundan 8 kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (8 — 2)·180° = 6·180° = 1080° dir.
*** Tüm çokgenlerin dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir. n kenarlı bir düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü 360°/n ile bulunur.
Dikdörtgen, Paralelkenar, Yamuk ve Eşkenar Dörtgen
Tüm kenar uzunlukları eşit ve her iç açısının ölçüsü 90° olan dörtgenlere “kare” denir.
Karşılıklı kenar uzunlukları eşit ve her iç açısının ölçüsü 90° olan dörtgenlere “dikdörtgen” denir.
Bu durumda kare dikdörtgenin tüm özelliklerini sağlar. Karenin tüm kenar uzunlukları eşit olduğundan kare, dikdörtgenin özel bir durumudur.
Aşağıda verilen ABCD karesi ile EFGH dikdörtgeninde köşegenleri çizelim. Köşegenlerin
oluşturduğu açıları inceleyelim.
- ABCD karesinde [AC] ve [BD] köşegendir. Bu köşegenler A, B, C ve D köşelerindeki
90°’lik açılar iki eş açıya böler, 45°’lik açılar oluşturur.
Köşegenler K noktasında dik olarak kesişirler. Köşegenlerin uzunlukları eşittir ve birbirini
ortalar.
- EFGH dikdörtgeninde köşegenler (şeklin kare olmaması durumunda) birbirini dik kesmez. Köşegenlerin uzunlukları eşittir ve birbirini ortalar.
*** Tüm kenar uzunlukları eşit olan dörtgene “eşkenar dörtgen”denir. Eşkenar dörtgende karşılıklı açıların ölçüleri eşittir. Kare, eşkenar dörtgenin tüm özelliklerini sağlar. Karenin tüm iç açıları da eşit olduğundan kare, eşkenar dörtgenin özel bir durumudur.
Aşağıda ABCD ve DEFG dörtgenlerinin kenar ve açı özellikleri verilmiştir. İnceleyiniz.
Yukarıdaki ABCD dörtgeninin tüm kenar uzunlukları ve karşılıklı açılarının ölçüleri eşittir. Karşılıklı kenarları paraleldir.
DEFG dörtgeninin tüm kenar uzunlukları ve karşılıklı açılarının ölçüleri eşittir. Karşılıklı kenarları paraleldir.
*** Karşılıklı kenarları eşit ve paralel olan dörtgenlere “paralel kenar” denir. Paralelkenarda karşılıklı açıların ölçüleri eşit, ardışık köşelerdeki açıların ölçüleri toplamı 180°’dir.
Aşağıdaki ABCD paralelkenarında
|AB| = |DC|, |BC| = |AD|,
[AB] // [DC], [BC] // [AD]
m(A) = m(C), m(B) = m(D), m(A) + m(B) = 180°, m(B) + m(C) = 180°
Dikdörtgen ve eşkenar dörtgen, paralelkenarın tüm özelliklerini sağlar. Dikdörtgen ve eşkenar dörtgen paralelkenarın özel hâlidir.
*** Karşılıklı kenar çiftlerinden en az biri paralel olan dörtgenlere “yamuk” denir. Aşağıdaki ABCD dörtgeninde [AB] // [DC] olduğundan ABCD dörtgeni bir yamuktur.
Yamukta iki paralel kenar arasındaki açılar bütünlerdir.
m(A) + m(D) = 180°, m(B) + m(C) = 180°’dir.
Paralel kenarlara yamuğun “tabanları”, diğer kenarlara ise yamuğun “yan kenarları” denir.
*** Paralel olmayan kenarlarının uzunluğu eşit olan yamuklara “ikizkenar yamuk” denir.
ABCD yamuğunda [AB] // [DC], |AD| = |BC|,
*** Paralel olmayan kenarlardan biri tabanlara dik olan yamuğa “dik yamuk” denir.
ABCD yamuğunda
[AB] // [DC], [AD] ve [DC], [DA] ve [AB] birbirine diktir.
Eşkenar Dörtgen ve Yamuğun Alanı
ABCD eşkenar dörtgeninin köşegen uzunlukları
|AC| = e ve |BD| = f için
*** ABCD eşkenar dörtgeninin alanı
A(ABCD) = |AB| . |DH|
= |BC| . |DK|
*** Taban uzunlukları |AB| = a br, |CD| = c br ve yüksekliği |DH| = h br olan ABCD yamuğunun alanı;
Üçgen, Dikdörtgen, Paralelkenar, Yamuk veya Eşkenar Dörtgenden Oluşan Bileşik Şekillerin Alanı
Örnek: Dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin içine şekildeki gibi yürüyüş yolları yapılacaktır. Yürüyüş yolları için ayrılan kısım kaç metrekaredir?
Çözüm:
İstenilen bölgenin alanını bulmak için dikdörtgen şeklindeki bahçenin alanından şekildeki üçgen, yamuk ve dikdörtgenin alanını çıkaralım.
Bahçenin alanı = 12·8 = 96 m²,
Üçgenin alanı = (3.5)/2 = 15/2 = 7,5 m²
Yamuğun alanı = [(7+9,5)/2] . 4 = 16,5/2 = 33 m²
Dikdörtgenin alanı = 11·3 = 33 m²
Yürüyüş yolları için ayrılan alan = 96 — (7,5 + 33 + 33)
= 96 — 73,5 = 22,5 m² olur.
Örnek: Aşağıdaki ABCDEF çokgeni şeklindeki arsanın ölçüleri verilmiştir. Arsa dikdörtgen, yamuk ve üçgenlerden oluşmuştur. Şekilde [AB] // [FC] // [ED] ve [FE] // [BC]’dır.
Bu arsaya çocuk parkı ve spor tesisleri yapmak için bir mimara tasarım yaptırılıyor.
Mimarın yaptığı tasarımda arsa üç bölgeye ayrılıyor. Oyun alanı paralelkenar, yeşil alan yamuk ve spor tesisleri eşkenar dörtgenden oluştuğuna göre mimarın nasıl bir tasarım yaptığını, oyun alanının, yeşil alanın ve spor tesislerinin alanının kaç metrekare olduğunu bulalım.
Çözüm:
- [ED]’na paralel ve |FG| = 46 m olacak şekilde [FG] çizelim. G ile D noktalarını birleştirerek [GD] çizelim. |GD| = 50 m ve FGDE paralelkenar olur.
- G ile B noktalarını birleştirerek [GB] çizelim. |GB| = 50 m ve GBCD eşkenar dörtgen olur.
- Geri kalan ABGF dörtgeni de dik yamuk olur.
- Paralelkenarın alanı = |FG|·|DH| = 46·40 = 1840 m²
- Eşkenar dörtgenin alanı = |GC|.|BD|/2 = 60.80/2 = 2400 m²
- Yamuğun alanı = (|AB|+|FG|/2) . |FA| = (122/2) . 40 = 2440 m² buluruz.
Dikdörtgenin Çevre Uzunluğu ile Alan Arasındaki İlişki
20 m uzunluğunda bakır teller kullanarak kenar uzunlukları birer doğal sayı olan dikdörtgen veya kare oluşturalım. Bu dikdörtgenlerin çevre uzunlukları ile alanları arasındaki ilişkiyi inceleyelim.
Tüm şekillerin çevre uzunlukları 20 m’dir.
I. dikdörtgenin alanı = 8·2 = 16 m²
II. dikdörtgenin alanı = 7·3 = 21 m²
III. dikdörtgenin alanı = 6·4 = 24 m²
IV. dikdörtgenin (kare) alanı = 5·5 = 25 m²
Dikdörtgenlerin çevre uzunlukları eşit fakat alanlar farklıdır. Çevre uzunlukları eşit olan dikdörtgenlerin alanları farklı olabilir.
Çevrelerinin uzunlukları eşit olan dikdörtgenlerden kenar uzunlukları birbirine yakın veya eşit
olan dikdörtgenin alanı daha büyüktür.
Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.