Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Tam sayılar konusunu öğreneceğiz.
Sayı doğrusunda “0”‘ın sağında olan sayılar “pozitif tam sayılar”; “0”ın solun olan sayılar ise “negatif tam sayılar”dır.
Pozitif tam sayılar ile negatif tam sayılar “zıt işaretli” ve ters yönlü sayılar olarak ifade edilir.
Sıfırdan küçük olan sayılar “-” (negatif) işaretli sayılardır. Sıfırdan büyük olan sayılar “+” (pozitif) işaretli sayılardır.
“0” sayısının işareti yoktur. Bu nedenle “0” sayısı ne negatif ne de poziftir.
*** “0” tam sayısını, pozitif tam sayıları ve negatif tam sayıları sayı doğrusunda gösterelim.
*** Sayıların önene konulan “+” ve “-” işaretler sayının yönünü belirtir.
Örnek: -2, -4, 0, 3, 5 tam sayılarını sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
Çözüm:
-2, -4, 0, 3, 5 tam sayılarını sayı doğrusunda göstermek için tam sayıların işaretlerine dikkat edelim. Negatif tam sayıları sıfırın soluna, pozitif tam sayıları ise sağına yazalım.
Mutlak Değer
Sayı doğrusunda bir tam sayının sıfıra olan uzaklığı “mutlak değer”olarak ifade edilir. Mutlak değer “| |” sembolüyle gösterilir.
Mutlak değer uzunluk belirttiği için her zaman pozitiftir.
*** -5, -16, 0, +3, +7 tam sayılarının mutlak değerlerini bulalım.
Mutlak değeri bulaşık makinesine benzetebiliriz. Kirli tabakları negatif (-), temiz çamaşırları pozitif (+) olarak kabul edelim. Bulaşık makinesine konan kirli ve temiz tabaklar yıkandıktan sonra makineden temiz çıkar. Mutlak değer içindeki ifade negatif de olsa pozitif de olsa mutlak değerin dışına pozitif olarak çıkar.
|-5| = +5 , |-16| = +16, |0| = 0, |+3| = +3, |+7| = +7
*** Mutlak değeri bilinen bir sayı mutlak değerin içinde pozitif ya da negatif olabilir.
*** Bir tam sayının önende “-” ve “+” işareti yoksa o sayı pozitif tam sayıdır.
Örnek: Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların yanına “D”, yanlış olanların yanına “Y” yazınız.
a) Mutlak değer uzaklık belirtir.
b) 40 sayısı sıfıra -41’den daha yakındır.
c) Bazı sayıların mutlak değeri negatiftir.
ç) -3 sayısı sıfıra -2’den daha uzaktır.
Çözüm:
a. Mutlak değer tam sayıların sıfıra olan uzaklığını belirtir. Yani bu ifade Doğrudur.
b. Sıfıra yakınlığı bulmak için sayıların mutlak değerine bakmamız gerekir.
|40| = +40 , |-41| = +41
O halde 40 sayısı 41 sayısında daha küçük olduğu için sıfıra daha yakındır. Yani bu ifade Doğrudur.
c. Tüm sayıların mutlak değeri pozitiftir. Çünkü mutlak değer uzaklık belirtir ve uzaklık negatif olamaz. Yani bu ifade Yanlıştır.
ç. Sıfıra yakınlığı bulmak için sayıların mutlak değerine bakmamız gerekir.
|-3| = +3 , |-2| = +2
O halde 2 sayısı 3 sayısında daha küçük olduğu için sıfıra daha yakındır. Yani bu ifade Doğrudur.
Tam Sayılar
Sıfır; pozitif tam sayılardan “küçük”, negatif tam sayılardan “büyüktür”.
Pozitif tam sayılardan mutlak değeri büyük olan sayı daha büyüktür.
Örnek: Kutuplardaki buzul parçalarından bir tanesinin su altında kalan kısmı deniz seviyesinin 4 metre aşağısında, diğerinin su altında kalan kısmı ise deniz seviyesinin 15 metre altındadır. Hangisinin alt kısmının deniz seviyesine daha yakın olduğunu bulunuz.
Çözüm:
4 metre derinliği ifade eden sayı aslında -4, 15 metre derinliği ifade eden sayı -15’dir. -4 deniz seviyesine daha yakın olduğundan -15 sayısından büyüktür. Yani -4 > -15 olarak ifade edilir.
*** Negatif tam sayılardan mutlak değeri “küçük” olan sayı daha “büyüktür”.
*** Negatif tam sayılardan “0” sayısına yakın olan sayı daha büyüktür. Pozitif tam sayılardan “0” sayısına yakın olan sayı daha küçüktür.
Örnek: -8 ve -5 tam sayılarını sayı doğrusunda gösterelim ve karşılaştırma yapınız.
Çözüm:
Negatif tam sayılarda sıfıra yakın olan sayı daha büyüktür. Buna göre -5, -8’den daha büyüktür. Bu nedenle -5 > -8’dir.
*** Sayı doğrusunda sağa gidildikçe daima sayılar büyür. Sola gidildikçe de sayılar daima küçülür. “En büyük negatif tam sayı da -1’dir”.“En küçük pozitif tam sayı da +1’dir”.
*** Sıralama ve karşılaştırma sorularında hangi sayı kümesinin sorulduğuna dikkat etmemiz gerekir.
Örnek: |-8| , 3 , -11 , 0 , |5| tam sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
Sıralama sorunlarında mutlak değer içeren ifadeler varsa önce mutlak değerlerini bulup daha sonra sırlamasını yaparız.
|-8| = +8 , |5| = +5 halini aldıktan sonra sayılarımız 8, 3, -11, 0, 5 olur. Sıralamayı şimdi yapmak daha kolaydır. Sıralama;
|-8| > |5| > 3 > 0 > -11 şeklinde olacaktır.
Tam Sayılarda İşlemler
Tam sayılarda toplama işlemi yaparken işaretler aynı ise sayılar toplanır ve sayıların ortak işareti toplamın önüne yazılır.
(-21) + (-7) işlemini yapalım.
Sayılardaki işaretler aynı olduğundan sayılar toplanır ve sonucu o işaretle birlikte yazılır. Yani;
(-12)+(-6) = (-18) şeklinde ifade edilir.
*** Tam sayılarda toplama işareti yapılırken sayıların işaretleri farklı ise mutlak değeri büyük olan tam sayıdan mutlak değeri küçük olan sayı çıkarılır ve mutlak değeri büyü olan sayının işareti sonucun önüne yazılır.
(+25) + (-11) işleminin sonucunu bulunuz.
Öncelikle mutlak değeri büyü olan tam sayıyı bulalım.
|25| = 25 , |-11| = +11 yani |25| > |-11| olduğundan;
25-11 = 14’tür ve 25 sayısının işareti pozitif olduğundan sonu +14’tür.
*** Tam sayılarda bir sayının toplama işlemine göre tersi, o sayının zıt işaretlisidir.
24 sayısının toplama işlemine göre tersi A ve -36 sayısının toplama işlemine göre tersi B’dir. Buna göre A+B işleminin sonucunu bulalım.
24 sayısının toplama işlemine göre tersi -24 ve -36 sayısının toplama işlemine göre tersi 36’dır. O halde;
A + B = (-24) + (+36) = +12 olur.
*** a ve b birer tam sayı olmak üzere “a-b” işlemi “(a)+(-b)” şeklinde ifade edilir.
*** Tam sayılarda çıkarma işlemi; çıkan sayının toplama işlemine göre tersiyle eksilen sayının toplanması şeklinde ifade edilir.
3 — 8 işleminin sonucunu bulalım.
3 — 8 işlemi 3 + (-8) şeklinde ifade edilir. Sonuç;
3 + (-8) = -5’tir.
Bu işlemde çıkan sayı 8’dir ve toplama işlemine göre tersi -8’dir.
Yani tam sayılarda çıkarma işlemi yaparken çıkan sayının toplama işlemine göre tersiyle eksilen toplanmıştır.
*** Tam sayılarda çıkarma işlemi yaparken aslında toplama işlemi kullanılmaktadır.
Toplama İşleminin Özellikleri
Tam sayılarda iki sayının toplama işlemi yapılırken sayıların yeri değişse de sonuç değişmez.
Tam sayılarda toplama işlemi yapılırken, tam sayılar ikişerli farklı gruplara ayrılarak toplanırsa sonuç değişmez.
“0” sayısı toplama işleminde sonucu etkilemeyen sayı olarak ifade edilir.
[(+4)+(-9)] + (+11) işlemiyle (+4)+[(-9)+(+11)] işleminin sonucunu karşılaştıralım.
[(+4)+(-9)] + (+11) = (-5) + (+11) = +6
(+4)+[(-9)+(+11)] = (+4)+(2) = +6 sonuçları elde edilir. İki işlemin sonucu aynıdır; fakat sayılar ikişerli gruplandırılarak toplanmıştır.
*** Tam sayılarda mutlak değerleri eşit, işaretleri zıt olan iki tam sayının toplama işlemine göre tersi birbirinin tersidir.
Örnek: Aşağıdaki ifadelerden doğru olanın yanına “D”, yanlış olanların yanına “Y” yazınız.
a) Tam sayılarda toplama işleminde toplananların yerleri değiştirildiğinde sonuç değişmez.
b) Tam sayılarda toplama işleminde 1 sayının sonuca etkisi yoktur.
c) Tam sayılarda toplama işleminde 0 sayısının sonucu etkisi yoktur.
ç) Tam sayılarda bir sayının toplama işlemine göre tersi aynı sayının ters işaretlisidir.
Çözüm:
a. Tam sayılarda işlem yaparken sayıların yerlerini değiştirdiğimizde işlemin sonucu değişmez. Yani bu ifade Doğrudur.
b. Tam sayılarda işlem yaparken 1’in değil 0 sayısının toplama işlemine etkisi yoktur. Yani bu ifade Yanlıştır.
c. Tam sayılarda toplama işlemi yaparken 0 sayısının toplamaya bir etkisi yoktur. Yani bu ifade Doğrudur.
ç. Tam sayılarda bir sayının toplama işlemine göre tersi çıkarmadır yani “-” negatif işaretlisidir. Yani bu ifade Doğrudur.
Örnek: Aşağıdaki toplama işlemlerindeki x, y ve z sayılarının toplamını bulunuz.
a) [(+3)+(+4)] — 1 = 3 + [(+4)+x]
b) 8 + [(-3)+(6)] = [y+(-3)]+6
c) (12+6) + (-7) = 12 + [6+z]
Çözüm:
Bu işlemlerde x, y ve z değerlerini bulmak için işlemleri çözmemiz gerekmektedir.
a. (+3)+(+4) = 7 , 7 — 1 = 6
(+4)+x = 4+x , 3 + (4+x) = 7 + x
6 = 7 + x olduğuna göre x = -1’dir.
b. (-3) + (6) = +3 , 8 + 3 = 11
y + (-3) = y-3 , (y-3) + 6 = y+6
11 = y+6 olduğuna göre y = 5’tir.
c. (12+6) = 18 , 18 + (-7) = 11
12 + (6+z) = 18+z
11 = 18+z olduğuna göre z = -7’dir.
O halde x+y+z = (-1) + (+5) + (-7) = -3 olacaktır.
Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.