Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Kesirlerle işlemler konusunu öğreneceğiz.
“Paydası eşit” olan kesirler de “payı büyük” olan kesir daha büyüktür.
“Payları eşit” olan kesirlerde ise “paydası küçük” olan kesir daha büyüktür.
*** 3/8 ve 5/9 kesirlerini karşılaştıralım. Bunun için farklı yöntemler uygulayabiliriz.
1. Yol
3/8 ve 5/9 kesirlerini model yardımıyla karşılaştıralım.
Modeller incelendiğinde 5/9 kesrinın 3/8 kesrinden daha büyük olduğu görülecektir.
2. Yol
3/8 ve 5/9 kesirlerinin paydalarını eşitleyerek karşılaştırabiliriz. Bu iki kesrin paydasını 72’de eşitleyebiliriz.
3/8 = 3×9/8×9 = 27/72 , 5/8 = 5×8/9×8 = 40/72
27/72
3. Yol
3/8 ve 5/9 kesirlerinin paylarını eşitleyerek karşılaştırabiliriz. Bu iki kesrin payını 15’de eşitleyebiliriz.
3/8 = 3×5/8×5 = 15/40 , 5/9 = 5×3/9×3 = 15/27
15/40
4. Yol
3/8 ve 5/9 kesirlerinden bütüne daha yakın olan 5/9 kesridir. Dolayısıyla 5/9 kesri 3/8 kesrinden büyüktür.
5. Yol
3/8 ve 5/9 kesirlerini yarımla karşılaştırarak sıralayalım. 3/8 kesri yarımdan küçük, 5/9 kesri ise yarımdan büyüktür. Dolayısıyla 5/9 kesri 3/8 kesrinden büyüktür.
*** 2/5 kesri demek, 5 parçaya ayrılmış bir bütünün 2 parçasını temsil ettiği için 0 ile 1 arasını 5 parçaya ayırıp 2.parçasını 2/5 olarak ifade ettik.
Örnek: 3/5, 2/6 ve 4/7 kesirlerini sayı doğrusu üzerinde ayrı ayrı gösteriniz.
Çözüm:
3/5, 2/6 ve 4/7 kesirleri basit kesirdir. Bu durumda 0 ile 1 arasında 1’e en yakın olan en büyük olacağından;
olur. 3/5 > 4/7 > 2/6 şeklinde olur.
*** Payı paydasından büyük veya eşit kesirler “bileşik kesir”, payı paydasından küçük kesirler “basit kesir” olarak adlandırılır.
*** Bileşik kesir, tam sayılı kesre çevrilirken kesrin payı paydasına bölünür. “Bölüm, tam kısma”, “kalan paya”, “bölen paydaya” yazılır.
Örnek: 
kesirlerini sayı doğrusunda göstererek sıralama yapınız.
Çözüm:
tam sayılı kesri 2 ile 3 arasındadır. 7/5 bileşik kesrini tam sayılı kesre çevirelim.
3/4 basit kesri 0 ile 1 arasındadır.
Tam sayılı kesirlerde tam kısmı büyük olan kesir daha büyüktür. Basit kesirler daima 0 ile 1 arasındadır. O halde sıralamamız sayı doğrusundan da anlaşılacağı üzere 
olur.
*** Payı 1 olan kesirler “birim kesir” olarak adlandırılır.
Örnek: 
sıralamasında 
yerine gelebilecek sayıları bulunuz.
Çözüm:
yerine gelebilecek sayıları bulabilmek için öncelikle paydaları eşitlememiz gerekir. Üç kesrinde paydaları 16’da eşitlenebilir.
İlk kesrimizin paydası 16 olduğu için bir işlem yapmıyoruz.
/4 = x4/4×4 = x4/16
7/8 = 7×2/8×2 = 14/16
Paydalar eşitlendikten sonra yeni sıralamamızı şu şekilde yazabiliriz;
10
Bundan sonra yerine gelebilecek sayıları tek tek denememiz gerekmektedir.
= 1 için 10
= 2 için 10
= 3 için 10
= 4 için 10
O halde yerine gelebilecek sayı 3’tür.
Kesirlerde Toplama ve Çıkarma İşlemi
Kesirlerde toplama ve çıkarma işlemi yaparken paydalar eşit değilse önce “paydalar eşitlenir”. “Paylar toplanır/çıkarılır”, paya yazılır.“Payda aynen kalır”.
*** 1 tam = 2/2, 3/3, 4/4, ….
Örnek: Bir bahçenin 2/3’üne domates, 1/4’üne biber ekiliyor. Kalan kısımlara soğan ekildiğine göre ekili alanın tüm alanın kaçta kaçı olduğunu bulunuz.
Çözüm:
Domates ekili kısım ile biber ekişi kısmı toplayıp 1 tamdan çıkarınca soğan ekili kısmı buluruz.
2/3 + 1/4 işlemini yapmak için paydaları eşitleyelim.
domates ve soğan ekili alanı bulduk.
1 tam = 12/12 olduğundan 12/12’den 11/122yi çıkarmamız gerekmektedir.
12/12 — 11/12 = 1/12 olur.
Soğan ekili alan tüm alanın 1/12’sidir.
*** Bütün doğal sayılar “paydası 1 olan” kesirlerdir.
Örnek: Aşağıdaki toplama ve çıkarma işlemlerini yapınız.
Çözüm:
Öncelikle tamsayılı kesri bileşik kesre çevirip ardından da paydaları eşitledikten sonra işlemlere başlamamız gerekmektedir.
a. 2×3+1/3 = 7/3
7/3 ve 1/5 kesirlerinin paydaları 15’de eşitlenir.
7×5/3×5 = 35/15 , 1×3/5×3 = 3/15
35/15 — 3/15 = 33/15 olacaktır.
b. 7/8 ve 1/4 kesirlerinin paydaları 8’de eşitlenir.
1/4 = 1×2/4×2 = 2/8
7/8 — 2/8 = 5/8 olacaktır.
c. 3×2+1/2 0 7/2
7/2 ve 2/5 kesirlerinin paydaları 10’da eşitlenir.
7/2 = 7×5/2×5 = 35/10
2/5 = 2×2/5×2 = 4/10
35/10 + 4/10 = 31/10 olcaktır.
Kesirlerde Çarpma İşlemi
İki veya daha fazla kesri çarparken paylar kendi arasında paydalar da kendi arasında çarpılır ve “payların çarpımı pay bölümüne”, “payda çarpımı payda bölümüne yazılır”.
Eğer çarpa işleminde pay ve paydalar arasında sadeleştirme imkanı varsa sadeleştirme yapılır.
Örnek: Bir yarışma programında, final oyununu kazanan kişi, ağırlığının 5/3’ü kadar cumhuriyet altını kazanmaktadır. Ağrılığı 75 kg olan bir yarışmacının, final oyununu kazandığında kaç tane cumhuriyet altını kazanacağını bulunuz.
Çözüm:
Ağırlığı 75 kg olan yarışmacının kazanacağı altın sayısını bulmak için 75’in 5/3’ünü bulalım.
125 tane cumhuriyet altını kazanır.
*** Bir doğal sayı 1’den büyük bir kesirle çarpıldığında sonuç o doğal sayıdan büyük olur.
*** Bir doğal sayı 1’den küçük bir kesirle çarpıldığında sonuç o doğal sayıdan küçük olur.
Örnek: Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını tahmin edelim.
Çözüm:
a. 4 x 9/5 işleminde 9/5 2’ye çok yakındır. Dolayısıyla 4×2 = 8 olduğundan işlem sonucu yaklaşık 8’dir, diyebiliriz.
4 x 9/5 = 36/5 = 7 tam 1/5 olur.
b. 12 x 4/9 işleminde 4/9 kesri yaklaşık yarıma eşittir. 12’nin yarısı 6 olduğundan 12×4/9 işleminin sonucu yaklaşık 6’dır, diyebiliriz.
12 x 4/9 = 48/9 = 5 tam 3/9 olur.
c. 13 x 6/7 işleminde 6/7 kesri yaklaşık 1’dir. Dolayısıyla 13×6/7 işleminin sonucu 13’e yakındır. 6/7 kesri 1’den küçük olduğundan 13×6/7 işleminin sonucu 13’ten biraz küçük olur. Sonuç yaklaşık 12’dir, diyebiliriz.
13 x 6/7 = 78/7 = 11 tam 1/7 olur.
*** İki kesrin çarpımı, bir kesrin diğer kesir kadarını bulma işlemidir.
*** İki kesir çarpılırken paydaların çarpımı payda, payların çarpımı paya yazılır.
*** Tam sayılı kesirlerle çarpma işlemi yapılırken tam sayılı kesir bileşik kesre çevrilir.
Örnek: Aşağıda verilen çarpma işlemlerinin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Kesirlerle Bölme İşlemi
Kesirlerde bölme işlemi yapılırken kesirlerin paydaları eşitlenir; sonra birinci kesrin payı ikinci kesrin payına bölünür veya birinci kesir aynen alınıp ikinci kesir ters çevrilip birinci kesirle çarpılır.
Örnek: 6 litre portakal suyu 2/3 litrelik şişelere doldurulacaktır. Bunun için kaç tane şişe gerektiğini bulunuz.
Çözüm:
6 litrelik protakal suyunu 2/3 litrelik kaç tane şişeye doldurulacağını bulmak için 6’yı 2/3’e bölelim.
1. Yol
6 : 2/3 işlemini payda eşitleyerek bulalım.
2. Yol
Bölünen sayıyı aynen alıp bölen sayıyı ters çevirerek çarpalım.
*** Bir kesri başka bir kesre bölme işlemi, birinci kesrin içinde ikinci kesirden kaç tane olduğunu bulma işlemidir.
Kesirlerle Yapılan İşlemlerin Sonucunu Tahmin Etme
Örnek: 3/5 x 16 işleminin sonucunu tahmin edelim.
Çözüm:
3/5 sayısı yarımdan biraz fazladır. 16’nın yarısından biraz fazlası bu işlemin sonucu için iyi bir tahmin olur.
16 : 2 = 8 olduğundan, 3/5 x 16 ≈ 9 diyebiliriz.
Örnek: Aşağıda verilen işlemin sonucunu tahmin ediniz.
Çözüm:
3 tam 2/5 kesri 3’ten büyük, 4’ten küçük olduğundan işlemin sonucu;
24 : 3 = 8
24 : 4 = 6
8 ve 6 arasında bir değer olacaktır. Dolayısıyla sonucu 7 olarak tahmin edebiliriz.
Kesir Problemlerini Çözme
Örnek: Hüseyin Bey sahip olduğu 600 m² arsanın 1/3’ünü eşi Ayşe Hanım’a, kalanın 1/2’sini oğlu Mustafa’ya, geri kalanını ise kızı Bengü’ye devretmiştir. Hüseyin Bey’in en fazla arsayı kime verdiğini bulunuz.
Çözüm:
Önce 600 m²’nin 1/3’ünü, sonra kalanın 1/2’sini ve kalanı bulup karşılaştıralım.
Ayşe Hanım’a: 600 x 1/3 = 600/1 x 1/3 = 600/3 = 200 m²
Kalan 600 — 200 = 400 m²’dir.
Mustafa’ya = 400 : 2 = 200 m²
400 — 200 = 200 m² Bengü’ye devredilmiştir. O halde hepsi eşit miktarda arsa devralmıştır.
Örnek: 42 yolcunun bulunduğu bir otobüste yolcuların 5/6’sı iner, 7 yolcu binerse son durumda otobüste kaç yolcu bulunur.
Çözüm:
Öncelikle inen yolcu sayısını bulalım.
42 x 5/6 = 42*5/6 = 210/6 = 35 yolcu inmiştir.
Kalan yolcu sayısı ise 42- 35 = 7 yolcudur.
7 yolcuda otobüse bindiğine göre;
7 + 7 = 14 , otobüste 14 yolcu bulunmaktadır.
Örnek: Utkunun 60, Ömerin 72 tane bilyesi bulunmaktadır. Utku bilyelerinin 2/3’ünü, Ömer bilyelerinin 1/6’sını Yiğit’e verdiğine göre hiç bilyesi olmayan Yiğit’in kaç tane bilyesi olur?
Çözüm:
Utku’nun Yiğit’e verdiği bilye sayısı:
60 x 2/3 = 60×2/3 = 120/3 = 40
Utku Yiğit’e 40 tane bilye vermiştir.
Ömer’in Yiğit’e verdiği bilye sayısı:
72 x 1/6 = 72×1/6 = 72/6 = 12
Ömer Yiğit’e 12 tane bilye vermiştir.
O halde Yiğit’in verilen bilyelerle 40+12 = 52 tane bilyesi olmuştur.
Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.