Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Cebirsel ifadeler konusunu öğreneceğiz.
Bir örüntünün bütün adımları arasında ortak bir kural vardır. Buna genel kural denir ve genel terim ile ifade edilir.
Örüntülerde genel kuralı ifade ederken “n” harfi kullanılır. “n”, örüntünün adım sıra sayısını belirtir.
Örüntüde artış miktarı aynıysa artış miktarını belirten sayı “n” harfinin çarpanıdır.
4, 8, 12, 16, … şeklinde devam eden sayı örüntüsünün genel kuralını bulalım.
Örüntüdeki sayılar dörder dörder artmıştır.
4+4 = 8
8+4 = 12
12+4 = 16 O halde yukarıdaki sayı örüntüsünün genel kuralı 4n şeklinde ifade edilir.
Örnek: Aşağıda verilen şekil örüntüsünün genel kuralını bulunuz.
Çözüm:
Yukarıda verilen şekil örüntüsüne 1 üçgenle başlanmış ve her adımda bir önceki adımdan 3 tane üçgen fazla kullanılmıştır.
Örüntü üçer üçer arttığından genel terimde 3n vardır. Ancak n yerine 1 yazdığımızda 1. adımdaki şekil sayısı bulunamıyor. Bu yüzden 1. adımda 1 tane üçgen olduğundan genel terim 3n-2 şeklinde ifade edilir.
3n-2 için;
*** Artış miktarı tek başına örüntünün genel kuralını ifade edemeyebilir. Bu durumda 1. adım artış miktarının ne kadar eksiği ya da fazlası ise genel terime eklenir veya çıkartılır.
8, 11, 14, 17, … sayı örüntüsünün genel kuralını bulalım.
Örüntüde ifade edilen sayılar üçer üçer artmaktadır.
1. adımdaki sayı, artış miktarından 5 fazla olduğundan genel kural 3n+5 şeklinde ifade edilir.
*** Sorularda n sayısına “temsilci sayısı” veya “genel sayı” da denildiğini unutmayalım.
Genel kuralı 5n+3 olan sayı örüntüsünün 12. adımını bulalım.
Genel kuralda n yerine 12 sayı yazıldığında 12. adım bulunur.
n=12 için; 5 x 12 + 3 = 63 olduğundan bu örüntünün 12. adımı 63’tür.
Örnek: Aşağıda bir şekil örüntüsünün ilk üç adımı verilmiştir. Kaçıncı adımda 24 top olduğunu bulunuz.
Çözüm:
Örüntünün ilk üç adımı;
1. adım: 3 top
2. adım: 6 top
3. adım: 9 top şeklindedir. Sayılar üçer üçer artmıştır. O halde 24 sayısını bulana dek üçer üçer artırırsak 24 sayının kaçıncı adım olduğunu buluruz.
3 — 6 — 9 — 12 — 15 — 18 — 21 – 24 – 27
24 sayısı baştan 8. sırada olduğundan 8. adımda 24 tane top vardır.
Cebire Giriş
En az bir değişken ve işlem içeren ifadeler cebirsel ifadeler olarak adlandırılır.
Bir sayının 4 katının 5 eksiğini cebirsel ifade olarak yazalım.
İstenilen sayı bilindiğinden k olsun. k sayısının 4 katının 5 eksiği;
4 x k — 5 şeklinde ifade edilir.
*** Cebirsel ifadelerde toplama veya çıkarma işlemlerinden sonra çarpma veya bölme işlemi belirtilirse çarpma veya bölme işlemi hem değişkeni hem de toplama çıkarma işlemlerini etkiler.
Bir sayının 8 eksiğinin üçte birini cebirsel olarak ifade edelim.
Sayı x olsun. 8 eksiği çıkarma işlemini, üçte biri bölme işlemini belirtir. Çıkarma işlemi, bölme işleminden önce belirtildiğinden cebirsel ifade;
(x-8)/3 şeklinde ifade edilir.
*** Cebirsel ifadelerde bilinmeyen sayıya “değişken” adı verilir.
Cebirsel İfadelerin Değerini Hesaplama
Cebirsel ifadelerin sonucu değişkene göre değişir.
Örnek: Bir mimar yüzey alanını 4(x+10) ifadesini kullanarak hesaplamaktadır. x=25 m² ve x=30 m² için yapılan yüzey alanlarının sayısal değerlerini bulunuz.
Çözüm:
x değişkeninin yerine 25 ve 30 sayıları yazılıp işlemler yapıldığında yapıların yüzey alanları bulunur.
x = 25 için; 4(x+10) = 4(25+10) = 140 m²
x = 30 için; 4(x+10) = 4(30+10)= 160 m²
Yapılar 140 m² ve 160 m²’dir.
Modellemeler
modelini cebirsel olarak ifade olarak gösterelim.
şeklinden 3 tane, 
şeklinden 6 tane olduğundan cebirsel ifade 3x+6 olarak belirtilir.
*** Cebirsel ifadelerde değişkenler negatif de olabilir.
olmak üzere aşağıda verilen modelleri cebirsel ifade olarak yazalım.
a. Sarı kare modelinden 3 tane, üçgen modelinden 2 tane olduğundan;
y+y+y+3+3 = 3y + 6 şeklinde yazılır.
b. Kırmızı kare modelinden 2 tane, üçgen modelinden 3 tane olduğundan;
-y-y+3+3+3 = -2y + 9 şeklinde yazılır.
c. Kırmızı kare modelinden 3 tane, sarı kare modelinden 1 tane ve üçgen modelinden 1 tane olduğundan;
-y-y-y+y+3 = -3y + y + 3 şeklinde yazılır.
Cebirsel İfadelerle İşlemler
Bir cebirsel ifadede “+” veya “-“lerle ayrılan kısımların her birine terim, değişkenin önüne çarpan şeklinde yazılan sayıya da “katsayı”denir. Değişken içermeyen terime ise “sabit terim” adı verilir.
4x — 2xy + 8 verilen cebirsel ifadenin terimlerini, katsayılarını ve sabit terimlerini bulalım.
4x — 2xy + 8 cebirsel ifadesinin terimleri 4x- 2xy, 8 şeklinde ifade edilir. 4x teriminin katsayısı 4, -2xy teriminin katsayısı -2 ve değişkeni olmayan +8 teriminin katsayısı kendisidir. Aynı zamanda bu terim değişkeni olmadığından sabit terimdir. Daha açık ifade edilirse;
Terimler: 4x, -2xy, +8
Katsayılar: 4, -2, 8
Sabit terim: +8 olur.
*** Bir cebirsel ifadede değişkenleri ve bu değişkenlerinin üsleri aynı olan terimlere “benzer terim” denir.
6x + 7xy + 2x -xy + 9 ifadesini en sade şekliyle yazalım.
Cebirsel ifadeleri en sade şekliyle yazmak için benzer terimlerin toplanması veya çıkarılması gerekir.
6x + 7xy + 2x -xy + 9 ifadesindeki benzer terimler aynı renge boyanmıştır. Daha sonra benzer terimleri toplayalım.
6x + 2x = 8x
7xy — xy = 6xy
Yani en sade şekilde 8x + 6xy + 9 olur.
*** Cebirsel ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri benzer terimlerin toplanıp çıkarılması ve sabit terimlerin toplanıp çıkarılması olarak ifade edilir.
Örnek: 
olmak üzere gösterilen toplama ve çıkarma işlemlerini yapınız.
Çözüm:
a. Modelde 1. toplanandan kırmızı dikdörtgen modelinden 5 tane, kırmızı kare modelinden 5 tane olduğundan 1. toplanan 5x+5, 2. toplanandan sarı dikdörtgen modelinden 1 tane, sarı kare modelinden 4 tane olduğundan 2. toplanan -x-4 sonuçta kırmızı dikdörtgen modelinden 4 tane, kırmızı kare modelinden 1 tane olduğundan 4x+1 şeklinde ifade edilir. ifadelerin toplamı;
(5x + 5) + (-x — 4) = 4x + 1 şeklinde ifade edilir.
b. Modelde eksilen sayıda sarı dikdörtgen modelinden 4 tane, kırmızı kare modelinden 4 tane olduğundan -4x+4, çıkanda kırmızı dikdörtgen modelinden 3 tane, kırmızı kare modelinden 2 tane olduğundan 3x+2 ve sonuçta sarı dikdörtgen modelinden 7 tane, kırmızı kare modelinden 2 tane olduğundan -7x+2 şeklinde ifade edilir. Cebirsel ifadelerin farkı;
(-4x + 4) — (3x + 2) = -4x + 4 — 3x — 2 = -4x — 3x + 4 — 2 = -7x +2 şeklinde ifade edilir.
Bir Doğal Sayıyı Bir Cebirsel İfade İle Çarpma
Bir doğal sayı ile bir cebirsel ifade çarpılırken doğal sayı ile cebirsel ifadenin bütün terimleri çarpılır.
3 doğal sayısı ile (5x-7) cebirsel ifadesini çarpalım.
Bu durumda çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğini kullanalım.
Yani 3 sayısını hem 5x ile hem de -7 ile çarparız.
3 . 5x = 15x
3 . (-7) = 21 , 15x — 21 olur.
Örnek: Bir bisikletli (x+15) km/sa hızla giderken bir araba bisikletlinin 5 katı hızla gitmektedir. Arabanın hızını cebirsel olarak olarak ifade ediniz.
Çözüm:
Araba (x+15) km/sa hızın 5 katı hızla gidiyorsa, (x+15) ile 5’i çarpmamız gerekir.
5 . (x+15) işleminde çarpma işleminin toplama üzerinde dağılma özelliğini kullanmamız gerekir.
5 . x = 5x
5 . 15 = 75 olduğuna göre sonuç; 5x+75’tir.
Örnek: Aşağıda verilen toplama ve çıkarma işlemlerini yapınız.
a) (4x — 12) + (3x + 28)
b) (3b — 6) — (2b — 3)
c) (-2k + 6) + (4 + 3k)
Çözüm:
Yukarıda verilen işlemlerde benzer ifadeler kendi arasında toplamamız gerekmektedir.
a. (4x — 12) + (3x + 28) = 4x + 3x — 12 +28 = 7x + 16 şeklinde ifade edilir.
b. (3b — 6) — (2b — 3) = 3b — 2b -6 + 3 = b — 3 şeklinde ifade edilir.
c. (-2k + 6) + (4 + 3k) = -2k + 3k +6 +4 = k + 10 şeklinde ifade edilir.
Örnek: Asağıda verilen işlemleri yapınız.
a) 3 . (2m + 4p — 3)
b) 6 . (2ab — 4c)
c) 5 . (4k — 3m — 2)
Çözüm:
Çarpma işlemlerini parantez içindeki her bir cebirsel ifadeyle ayrı ayrı yapmamız gerekmektedir.
a. 3 . 2m = 6m
3. 4p = 8p
3 . (-3) = -9
O halde ifade 6m + 8p — 9 şeklinde gösterilir.
b. 6 . (2ab) = 12ab
6 . (-4c) = -24c
O halde ifade 12ab — 24c şeklinde gösterilir.
c. 5 . 4k = 20k
5 . (-3m) = -15m
5 . (-2) = -10
O halde ifade 20k — 15m — 10 şeklinde gösterilir.
Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.