Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Çarpanlar ve katlar konusunu öğreneceğiz.
Bütün doğal sayıları, iki tane doğal sayının çarpımı şeklinde yazmak mümkündür. Bu iki sayı o doğal sayının “çarpanıdır”.
Bir sayının herhangi bir çarpanı o sayının ayı zamanda “bir bölenidir”.
***24 sayısının hangi doğal sayıların çarpımı olarak yazılabileceğini gösterelim.
Örnek: Aşağıdaki ifadeler doğru ise başına “D”, yanlış ise “Y” yazınız.
Çözüm:
a. 24 sayısının bölenleri; 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24 sayılarıdır. Yani bu ifade Doğrudur.
b. 5 sayısı 51’in bir çarpanı değildir. Çünkü 5 sayısı 51 sayısını tam bölemez. Yani bu ifade Yanlıştır.
c. 46 sayısı 23 sayısının katıdır. 46 sayısı 23’ün 2 katıdır. Yani bu ifade Doğrudur.
ç. 52 sayısı 2 sayısının bir çarpanı değildir. Tam tersine 2 sayısı 52 sayısının bir çarpanıdır. Yani bu ifade Yanlıştır.
Bölünebilme Kuralları
Bir doğal sayı, bir sayma sayısına bölündüğünde kalan 0 (sıfır) ise o doğal sayı, sayma sayısına tam bölünüyor demektir.
*** Birler basamağındaki rakamı çift (0,2,4,6,8) olan sayılar 2’ye kalansız bölünür.
*** 34 ve 45 sayılarının 2’ye kalansız bölünüp bölünmediğine bakalım.
*** Rakamlarının toplamı 3’ün katı olan doğal sayılar 3’e kalansız bölünür.
Örnek: 345m sayısının 3’e kalansız bölünebilmesi için m sayısının alabileceği değerler nelerdir?
Çözüm: Rakamlarının toplamı 3’ün katı olan doğal sayılar 3’e kalansız bölünür.
Bu nedenle 3+4+5+m sayısının toplamının 3’ün katı olmalıdır.
3+4+5+m = 12+m 3’ün katı olması için;
m = 0 , m = 3 , m = 6 ve m = 9 olmalıdır.
*** Son iki basamağı (birler ve onlar) “00” veya 4’ün katı olan doğal sayılar 4’e kalansız bölünür.
Örnek: 4m2 üç basamaklı doğal sayısının 4’e kalansız bölünebilmesi için m’nin alabileceği değerler nelerdir?
Çözüm:
4m2 sayısının son iki basamağı 4’ün katı olamalıdır. 4m2 sayısı; 412, 432, 452, 472, 492 olabilir.
m sayısı 1, 3, 5, 7, 9 sayıları olabilir.
*** Birler basamağında 0 veya 5 rakamının bulunduğu doğal sayılar 5’e kalansız bölünür.
Örnek: 60, 67, 85 sayılarının 5’e tam bölünüp bölünmediğini inceleyelim.
Çözüm:
60 = Birler basamağı 0 (sfır) olduğundan 60 sayısı 5’e kalansız olarak bölünebilir.
67 = Birler basamağı 0 (sıfır) veya 5 olmadığından 67 sayısı 5 ile kalansız olarak bölünemez.
85 = Birler basamağı 5 olduğu için 85 sayısı 5’e kalansız olarak bölünebilir.
*** Bir doğal sayının 6’ya kalansız bölünebilmesi için o sayı hem 2’ye hem de 3’e kalansız bölünebilmesi gerekmektedir.
Örnek: 66, 97, 374, 2865 sayılarından hangilerinin 6’ya kalansız olarak bölündüğünü bölme işlemi yapmadan bulunuz.
Çözüm:
66 = 2 ve 3’e kalansız bölündüğü için 6’ya kalansız bölünür.
97 = 2 ve 3’e kalansız bölünmediği için 6’ya kalansız bölünemez.
374 = 2’ye bölünüp 3’e bölünemediği için 6’ya kalansız bölünemez.
2865 = 3’e bölünüp 2’ye bölünemediği için 6’ya kalansız bölünemez.
*** Bir doğal sayının 9’a kalansız bölünebilmesi için o sayının rakamları toplamı 9’un katı olmalıdır.
Örnek: 54a6 sayısının 9’a kalansız bölünebilmesi için a yerine yazılabilecek sayılar nelerdir?
Çözüm:
54a6 sayısının 9’a kalansız bölünebilmesi için rakamları toplamının 9’un katı olmalıdır.
5+4+a+6 = 15+a
15+a ifadesinin 9’un katı olması için a = 3 olmalıdır.
*** Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10’a kalansız bölünür.
Örnek: 897 ve 910 sayılarının 10’a kalansız bölünüp bölünmediğini bulunuz.
Çözüm:
Asal Sayılar
Çarpanları sadece 1 ve kendisi olan sayılar “asal sayı” olarak adlandırılır.
Asal sayıların iki tane çarpanı olduğundan 1 sayısı asal sayı değildir.En küçük asal sayı 2’dir. 2 sayısı hem çift hem de asal olan tek sayıdır.
Örnek: 16 ve 17 sayılarının asal sayı olup olmadıklarını bulunuz.
Çözüm:
16’nın çarpanları 1, 2, 4, 8 ve 16’dır. 1’den ve kendisinden başka çarpanları olduğundan 16 sayısı asal değildir.
17’nin çarpanları sadece 1 ve 17’dir. O halde 17 sayısı asal sayıdır.
Örnek: Aşağıdaki ifadelerin yanına ifade doğru ise “D”, yanlış ise “Y” yazınız.
a) En küçük asal sayı 1’die.
b) Asal olan tek çift sayı 2’dir.
c) Asal sayıların çarpanlarından biri kendisidir.
ç) Asal sayıların hepsi aynı zamanda tek sayıdır.
Çözüm:
a. En küçük asal sayı 2’dir. Bu nedenle ifade Yanlıştır.
b. Asal olan tek çift sayı 2’dir. Bu nedenle ifade Doğrudur.
c. Asal sayıların çarpanları 1 ve kendisidir. Bu nedenle ifade Doğrudur.
ç. Asal sayıların hepsi tek sayı değildir. Çünkü 2 sayısı da asaldır ve çift sayıdır. Bu nedenle ifade Yanlıştır.
Asal Çarpanlar
Bir sayının asal çarpanları iki yöntemle bulunur;
1. Çarpan Ağacı
2. Bölen Listesi
*** 42 sayısının asal sayıların çarpımı olacak şekilde bulalım.
1. Yol
Çarpan ağacı ile bulunabilir.
2. Yol
Bölen listesi ile bulunabilir.
*** Çarpan ağacında “en alt sırada” olan sayılar, o sayının asal çarpanlarıdır.
*** Bölen listesi yöntemi kullanılırken sadece “asal sayılara”bölerek ilerlenir.
Örnek: Aşağıda verilen bölen listesine göre 
ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm:
Problemi çözmeye yukarıdan aşağı doğru başlamamız gerekir.
E sayısı 5’e bölündükten sonra sonra çarpanlara ayırma işlemi tamamlanmış.O halde E = 5’tir.
D sayısı 3’e bölündükten sonra bölüm olan E sayısı elde edilmiş. O halde D = 3×5 = 15’tir.
C sayısı 3’e bölündükten sonra bölüm olan D sayısı elde edilmiş. O halde C = 15×3 = 45’tir.
B sayısı 2’ye bölündükten sonra bölüm olan C sayısı elde edilmiş. O halde B = 45×2 = 90’dır.
A sayısı 2’ye bölündükten sonra bölüm olan B sayısı elde edilmiş. O halde A = 90×2 = 180’dir.
O zaman bizden istenen ifadesini bulalım.
(A+B)-(C+D) = (180+90)-(45+15) = 210
E = 5
120/5 = 24 sonucuna ulaşılacaktır.
Ortak Bölenler ve Ortak Katlar
Bir sayının “çarpanları” aynı zamanda o sayının “bölenleridir”.
*** 36 ve 24 sayılarının bölenlerini yazarak ortak olanları tespit edelim.
36’nın bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
24’ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Ortak olan bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 12
*** 12 ve 18 sayılarının ortak olan katlarından 3 tanesini bulalım.
12’nin katları: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, …
18’in katları: 18, 36, 54, 72, 90, 108, …
Ortak olan katlar: 36, 72, 108, …
Örnek: 18 beyaz giysili öğrenci, 24 kırmızı giysili öğrenciye bir tören için birbirine karışmamak şartıyla törene kaçar kişilik gruplar halinde katılabilir?
Çözüm:
Gruptaki kişi sayılarının eşit olabilmesi için bu sayı hem 18 hem de 24’ün böleni olmalıdır.
18 ve 24’ün bölenlerini bulup ortak olanları belirleyelim.
18’in bölenleri : 1, 2, 3, 6, 9, 18
24’ün bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Ortak olan bölenler : 1, 2, 3 ve 6 olduğundan bu gruplar 1, 2, 3 ve 6’şar kişilik olabilir.
Örnek: 8 ve 24 sayılarının 100’den küçük ortak katlarının toplamı kaçtır?
Çözüm:
8 ve 24 sayılarının 100’den küçük katlarını bulalım.
8’in katları : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96
24’ün katları : 24, 48, 72, 96
8 ve 24’ün 100’den küçük ortak katlarının toplamı : 24 + 48 + 72 + 96 = 240 olacaktır.
Örnek: Bir limana 6 günde bir araba vapuru, 8 günde bir yolcu vapuru ve 9 günde bir yük gemisi yanaşmaktadır. 3 vapur aynı gün limana yanaştıktan kaç gün sonra tekrar birlikte limana yanaşır?
Çözüm:
Üç farklı gemi 6, 8 ve 9 günde bir limana yanaştıklarına göre bir sonraki beraber limana yanaşma günün bulmak için günlerin ortak katlarını bulmamız gerekmektedir.
6’nın katları : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72,78, …
8’in katları : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, …
9’un katları: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, …
Bu üç sayınında ortak katı olan 72. günde 3 gemide limana tekrar beraber yanaşır.
Örnek: Banu’nun 35 tane cevizi var. Banu en az kaç tane daha ceviz alırsa cevizlerini hem altışarlı hem de yedişerli ayırabilir?
Çözüm:
Banu’nun cevizlerini hem altışarlı hem de yedişerli ayırabilmesi için ceviz sayısı hem 6’ya hem de 7’ye tam bölünmelidir. O halde 6 ve 7’nin ortak katını bulursak Banu’nun ceviz sayısını da bulabiliriz.
6’nın katları : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, …
7’nin katları : 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, …
Banu’nun en az 42 tane cevizi olursa cevizlerini hem altışarlı hem de yedişerli ayırabilir. O halde Banu 42-35 = 7 tane daha ceviz almalıdır.
Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.