8. Sınıf Eşlik Ve Benzerlik Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde 8.Sınıf Matematik Eşlik ve benzerlik konusunu öğreneceğiz.

Eş şekillerde, karşılık gelen kenar uzunlukları ve açı ölçüleri eşittir. Eş şekiller “≅” sembolü ile gösterilir.
Benzer şekillerde karşılık gelen açı ölçüleri eşit fakat kenar uzunlukları orantılıdır. Benzer şekiller “≈”  sembolü ile gösterilir.

Aşağıdaki geometri tahtasında oluşturulmuş şekilleri inceleyelim. Şekiller eş mi yoksa benzer mi belirleyelim.

Her iki şekil de paralelkenardır. Paralelkenarların açı ölçüleri ve kenar uzunlukları eşittir. Bu iki şekil eştir. Bu iki şekil eş olduğundan aynı zamanda benzer şekillerdir.

*** Eş şekiller aynı zamanda benzer şekillerdir. Ancak benzer şekiller eş olmak zorunda değildir.

Aşağıda ABC üçgeni verilmiştir. Aşağıdaki üçgenlerden hangisinin verilen ABC üçgenine
eş, hangisinin benzer olduğunu bulalım.

a) ABC ve DEF eşkenar üçgenlerdir. Bu durumda;
ABC ve DEF eşkenar üçgenlerinin her bir iç açısının ölçüsü 60º dir.
ABC ve DEF üçgenlerinin karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşittir.

ABC ve DEF eşkenar üçgenlerinin karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır.

|AB| = 2 br, |DE| = 4 br

|BC| = 2 br, |EF| = 4 br

|AC| = 2 br, |DF| = 4 br

ABC ve DEF eşkenar üçgenlerinden kenar uzunlukları arasında 2 kat ilişkisi vardır. ABC üçgeni DEF üçgenine benzerdir.

b) ABC ve GHK eşkenar üçgenlerdir. Bu durumda;
ABC ve DEF eşkenar üçgenlerinin her bir iç açısının ölçüsü 60º dir.
ABC ve DEF üçgenlerinin karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşittir.


ABC ve GHK eşkenar üçgenlerinin karşılıklı kenar uzunlukları ikişer birimdir. Bu durumda,

|AB| = |GH| = 1 br

|BC| = |HK| = 1 br

|AC| = |GK| = 1 br

ABC üçgeni DEF üçgenine benzerdir. ABC üçgeni GHK üçgeni ile eştir.

*** Benzer şekillerde karşılıklı kenar uzunlukları oranı birbirine eşittir. Bu orana “benzerlik oranı” denir. Eş şekillerde benzerlik oranı 1’dir.

Aşağıda üçgensel kağıtta (eşkenar üçgenlerden oluşan kağıt) verilen üçgenler
benzerdir. Üçgenlerin benzerlik oranını bulalım.

ABC üçgeni ve KLM üçgeni eşkenar üçgenlerdir. ABC üçgeninin kenar uzunlukları üçer birim, KLM üçgeninin kenar uzunlukları ikişer birimdir.

 

*** Çokgenlerin eşliğini veya benzerliğini yazarken ortak açıyı gösteren harfler ve orantılı kenarlar aynı sırayla yazılmalıdır.

Aşağıda verilen üçgenler benzerdir ve üçgenlerde aynı renkte verilen açı ölçüleri eşittir. Buna
göre, üçgenlerin benzerlik oranını bulalım.

ABC ve EFD üçgenleri benzerdir. Çünkü ortak açıyı gösteren harfler ve orantılı kenarlar aynı sırayla yazılmalıdır.

 

Örnek: Fotokopi kelimesinin Türk Dil Kurumu sözlüğündeki anlamı “tıpkıçekim”dir. Günlük yaşamımızda işimizi oldukça kolaylaştıran fotokopi makineleri bir belgeyi bire bir aynı şekilde kopyaladığı gibi istenilen oranda büyüterek ve küçülterek de çoğaltabilir.
Boyutları 12 cm ve 16 cm olan bir resmi, fotokopi makinasında %50 oranında
büyüterek çoğalttığımızda, resmin yeni boyutlarını ve benzerlik oranını
bulalım.

Çözüm:

Resmin bulunduğu kağıdın boyutlarını kareli kağıdımız da çizerek modelleyelim.
Resmin %50 oranında büyütülmesi her bir kenar uzunluğunun %50 oranında artırılması demektir. O halde kısa kenar uzunluğundaki artış;
12 . (50/100) = 6 cm
uzun kenar uzunluğundaki artış;
16 .(50/100) = 8 cm olur.
Resmin %50 büyümesinden sonraki boyutları:
kısa kenar, 12 + 6 = 18 cm ve uzun kenar 16 + 8 = 24 cm’dir.

Resmi yeni boyutlarına göre kareli kağıdımıza çizerek modelleyelim. Benzerlik oranını bulalım.
Karşılıklı kenarlar arasındaki oran;
uzun kenarlar arasındaki oran: 16/24 = 2/3
kısa kenarlar arasındaki oran: 12/18 =2/3 ’tür.
Öyleyse benzerlik oranı 2/3’tür.

 

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

8. Sınıf Doğrusal Denklemler Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Doğrusal denklemler konusunu öğreneceğiz.

y = 2x – 1 doğrusal denkleminin grafiğini çizelim. Denklemin belirttiği grafiği çizmek için önce bir tablo
oluşturalım. Tabloda x değişkenine farklı değerler vererek y değişkeninin alacağı değerleri bulalım. Bulduğumuz
noktaları koordinat sisteminde gösterelim ve bu noktalardan geçen doğru grafiğini çizelim. (Doğrusal
denklemlerin grafiğini çizerken en az iki nokta bulunması yeterlidir. Çünkü iki noktadan yalnız bir doğru geçer.
Aşağıda, grafik çiziminin daha iyi anlaşılması için ikiden fazla nokta bulunacak şekilde değerler verildi.)

Doğrusal denklemlerin grafikleri bir doğru belirtir.

Mehmet Bey bilgisayar malzemeleri satmak için bir mağaza açmıştır. Mehmet Bey ilk üç ay sırası ile 12 000, 8000 ve 4000 TL zarar etmiştir.

Dördüncü ayda ne kar ne de zarar etmiştir. Beşinci aydan itibaren sıra ile 4000, 8 000 ve 16 000 TL kar etmiştir. Mağazanın kar-zarar durumunu aylara göre gösteren bir tablo düzenleyelim. Tablodan yararlanarak grafik ve denklemi oluşturalım ve yorumlayalım.

Tablodaki örüntüyü incelediğimizde kar-zarar durumunu y ile gösterirsek bu sayı ile geçen süre olan x arasındaki ilişkinin y = 4x – 16 şeklinde olduğunu görürüz.

Pozitif ve negatif değerlerimiz olduğu için grafik, 1 ve 4. bölgede çizilmiştir. x değişkenine (süreye bağlı olarak) y’nin değeri (kar-zarar durumu) değişmektedir. Buna göre x bağımsız, y bağımlı değişkendir. Grafiğin x eksenini kestiği nokta olan (4, 0) da mağaza ne kar ne de zarar etmektedir. 1. bölgede mağaza karda, 2. bölgede ise zarardadır. Grafiğe göre mağaza her ay bir önceki aya göre 4000 TL daha fazla kazanmaktadır. Grafik y eksenini kesmemektedir. Çünkü 0. ayda mağaza açılmadığı için mağazanın ne kâr ne de zarar durumu söz konusudur.

(0, 0) noktası denklemi sağlıyorsa yani x = 0 için y = 0 oluyorsa bu doğru orijinden geçer. Orijinden geçen doğru denklemlerinde sabit terim yoktur.

y = 3x denkleminin grafiğini çizelim ve yorumlayalım.

y = 3x denkleminde x’in alacağı farklı değerler için y’nin alacağı değerleri bulalım. Yani x’i bağımsız, y’yi bağımlı değişken olarak alalım.

 

 x = a biçimindeki doğrular, y eksenine paraleldir. Bu doğrular, x eksenini (a, 0) noktasında keser.

y = a biçimindeki doğrular, x eksenine paraleldir. Bu doğrular, y eksenini (0, a) noktasında keser.

Aşağıda verilen denklemlerin grafiklerini çizelim ve yorumlayalım.

a) x = 4 ve x = -2

b) y = 3 ve y = -4

Verilen denklemler birer doğru belirtir.
a. x = 4 ve x = – 2 doğrularında x sabit bir değerdir. Doğrular y eksenine paraleldir.
x = 4 doğrusu x eksenini (4, 0) noktasında keser.

x = – 2 doğrusu x eksenini (– 2, 0) noktasında keser

b) y = 3 ve y = – 4 doğrularında y sabit bir değerdir. Doğrular x eksenine paraleldir.
y = 3 doğrusu x eksenini (0, 3) noktasında keser.
y = – 4 doğrusu x eksenini (0, – 4) noktasında keser

y = ax + b biçiminde sabit terimi olan doğrusal denklemlerin grafikleri x ve y eksenlerini keser.

y = 2x + 4 denkleminin grafiğini çizelim ve yorumlayalım.

y = 2x + 4 denkleminde sabit terim vardır. O halde grafiğin x ve y eksenini kestiği noktaları belirleyerek çizim yapılabilir. Bunun için x ve y yerine 0 yazılır. Doğrunun eksenleri kestiği noktalar dışında diğer noktaları da tabloda vererek grafiğimizi çizelim.


Doğrusal Eğim

Bir yüzey ya da doğru üzerinde, birim uzaklıktaki iki nokta arasındaki yükselme ya da alçalma değerine “eğim” denir.
Eğim m harfiyle gösterilir

m = Dikey uzunluk/Yatay uzunluk

Bir tren önce 1. demir yolunda bir süre devam etmiş daha sonra 2. demir yoluna geçmiştir. Tren 1. demir yolundan 2. demir yoluna geçtiğinde eğimde nasıl bir değişiklik olduğunu bulalım.

1. demir yolundaki eğim:

m = dikey uzunluk/yatay uzunluk

m = 3/4 = 75/100 = %75

2. demir yolundaki eğim:

m = dikey uzunluk/yatay uzunluk

m = 5/12 = 40/96 ≈ 40/100 = %40

Birinci yoldaki eğim %75, ikinci yoldaki eğim %40’tır. O halde eğim, birinci yoldan ikinci yola geçerken azalmıştır.

 

*** Doğrunun eğimi pozitif veya negatif olabilir. Eğimi pozitif olan doğrular, sağa doğru; eğimi negatif olan doğrular, sola doğru eğimlidirler.

*** y = mx + b biçimindeki bir denklemde x’in katsayısı olan m sayısına, “doğrunun eğimi” denir.

y = x + 2 doğrusunun grafiğini çizerek eğimini bulalım.

y = x + 2 denkleminde, x değişkenine verilen değerlere bağlı olarak y değişkeninin aldığı değerleri bir tabloya sıralı ikililer halinde yazalım:

y = x + 2 doğrusu sağa doğru eğimli olduğu için eğimi pozitif değer alır.
m = dikey uzunluk/yatay uzunluk
m = 3/3 = 1’dir.

y = x + 2 doğrusunun eğimini grafik çizmeden bulalım.

*** x eksenine paralel olan doğruların eğimi sıfırdır.

*** y eksenine paralel olan doğruların eğimi sonsuzdur.

*** Doğruların eğimlerini karşılaştırırken eğimi veren değerlerin mutlak değeri alınarak karşılaştırma yapılır.

x – 3y + 6 = 0 doğrusunun eğimini bulalım.

x – 3y + 6 = 0 doğrusal denkleminde y değişkenini x değişkeni cinsinden düzenleyelim.
3y = x + 6

O halde y = (1/3) . x + 2 ise m = 1/3’tür.


Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

Bir denklemde eşitliğin her iki tarafını aynı sayıyla toplamak, çıkarmak, çarpmak ya da bölmek denklemdeki eşitliği bozmaz.

Ali’nin yaşının iki katının üçte biri 18’dir. Ali kaç yaşındadır?

Ali’nin yaşına x dersek, Ali’nin yaşının iki katının üçte biri 2/3.x olur.
Ali’nin yaşının iki katının üçte biri 18’e eşit ise 2/3.x = 18’dir.
Denklemi çözelim:

*** Paydayı “0” yapan değerler, bilinmeyen değer olarak alınmaz.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

8.Sınıf Matematik Denklem Sistemleri Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Denklem sistemleri konusunu öğreneceğiz.

a, b, c ∈ R , a ≠ 0, b ≠ 0 olmak üzere ax + by = c eşitliği bir denklemdir. x ve y bilinmeyenlerinin her ikisinin üssü de 1 olduğundan bu denklem birinci derecedendir. Ayrıca denklemde, x ve y gibi iki bilinmeyen bulunduğundan denklem iki bilinmeyenlidir.

Bu tür denklemlere “birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler”denir. İki bilinmeyenli denklemde bilinmeyen
değerleri bulabilmek için iki denkleme ihtiyaç vardır. Bu iki denkleme “iki bilinmeyenli denklem sistemi” denir.

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için kullanılan yollardan biri “yok etme metodu”dur. Yok etme metodu, bilinmeyenlerin, bilinmeyenlerden birinin yok edilmesiyle bulunmasıdır.
1. Bir eşitliğin iki yanı aynı gerçek sayıyla çarpılırsa ya da bölünürse eşitlik bozulmaz.
2. İki eşitlik taraf tarafa toplanırsa yeni bir eşitlik elde edilir.
Yukarıdaki düzenlemeler bilinmeyenlerden biri yok edilecek şekilde yapılmalıdır.
Bu iki özellikten yararlanılarak birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin ortak çözümü bulunur.

2x + y = 2
x – y = 4

Denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisini bulalım.

Denklemleri taraf tarafa toplarsak x’e göre bir bilinmeyenli bir denklem elde edilir.

x’in değerini, verilen denklemlerden birinde yerine yazarsak diğer bilinmeyeni de bulabiliriz.
x = 2 değerini 2x + y = 2 denkleminde yerine yazalım:
2 . 2 + y = 2
4 + y = 2
y = – 2 olur.

 

*** İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için kullanılan yollardan biri de “yerine koyma metodu”dur. Bu metotta önce bilinmeyenlerden biri, diğeri cinsiden bulunur ve diğer denklemde yerine koyularak birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem elde edilir. Bu denklem çözülür sonra diğer bilinmeyen bulunur.

2x + y = 16
-3x + y = -9

denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisini yerine koyma metodundan yararlanarak
bulalım.

2x + y = 16 denkleminde y’yi çekelim, 2. denklemde yerine yazalım.
2x + y = 16 ise y = 16 – 2x’dir.
– 3x + y = – 9 (ikinci denklem)
– 3x + (16 – 2x) = – 9
– 5x + 16 = – 9 ise – 5x = – 25 ve x = 5’tir.
Birinci denklemde x değerini yerine yazarak y değerini bulalım.
2x + y = 16
2 . 5 + y = 16 ise y = 6’dır. Denklem sistemini (5, 6) sıralı ikilisi sağlar.


Doğrusal Denklem Sistemlerini Grafik Kullanarak Çözme

Doğrusal denklem sistemini oluşturan doğruların grafiklerinin kesim noktası, denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisini yani denklemin çözümünü verir.

x – y = 5
x + y = 1
denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisini cebirsel yöntemle ve grafik kullanarak
bulalım.

(x, y) sıralı ikilisini cebirsel yöntemlerden yok etme metodu ile bulalım;

x değerini (1) denkleminde yerine yazarsak;

3 – y = 5

y = 3 – 5

y = -2 bulunur. Sistemi sağlayan (x,y) sıralı ikilisi (3,-2)’dir. Denklemleri verilen doğruları, aynı koordinat sisteminde çizelim;

(1) x – y = 5 denkleminde,

x = 0 için y = -5

y = 0 için x = 5 olur.

(2)

x + y = 1 denkleminde,

x = 0 için y = 1

y = 0 için x = 1 olur.

(1) ve (2) denklemleriyle verilen doğruların kesim noktası olan A’dan koordinat eksenlerine dikmeler inerek A noktasının apsisinin 3 ve ordinatının – 2 olduğunu buluruz.
A(3, – 2) olur.
Verilen iki bilinmeyenli denklem sistemini sağlayan x ve y değerleri x = 3 ve y = – 2’dir.
x Denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisi (3, – 2)’dir

 

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

8. Sınıf Eşitsizlikler Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde 8.sınıf matematik Eşitsizlikler konusunu öğreneceğiz.

Dengede olma durumu “eşitlik” olarak ifade edilir. Eşitlik “=” sembolü kullanılarak gösterilir.
Dengede olmama durumu “eşitsizlik” olarak ifade edilir. Eşitsizlik “, ≤, ≥” sembollerinden biri kullanılarak gösterilir.

a > b (a büyüktür b), a≥b (a büyüktür ya da eşittir b) şeklinde yazılan bağıntılara eşitsizlik denir.

Uçaklarda yolculara, uçağın kargo bölümünde ücretsiz taşınabilecek belli bir bagaj hakkı verilmektedir. Yolcunun, bagaj hakkı üzerinde bagajı varsa ayrıca bir ücret ödenmektedir. Ücretsiz bagaj hakkı yaklaşık olarak kişi başına en fazla 20 kg’dır. Uçaklarda yolculuk yapan bir kişinin fazla bagaj ücreti ödememesi için kargo bölümüne vermesi gereken bagaj ağırlığını
gösteren eşitsizliği yazalım.

Yolcunun bagaj ağırlığını “x” ile gösterelim. O halde ifadeye uygun eşitsizlik, x ≤ 20’dir.


Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenirse eşitsizlik değişmez.
Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayıyla çarpılırsa ya da pozitif bir sayıya bölünürse eşitsizlik yön değiştirmez.
Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılır ya da negatif bir sayıya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.

– 5x

x > – 5 olur.

Örnek: Aşağıdaki tabloda, 8A sınıfındaki bazı öğrencilerinin matematik dersinden aldıkları 1. sınav notları verilmiştir.

8A sınıfı matematik öğretmeni Meltem
Hanım, öğrencilerine, derste başarılı sayılabilmeleri için 1 ve 2. sınav notlarının toplamlarının 89 olması gerektiğini söylemiştir.

Buna göre öğrencilerin
2. sınavdan almaları gereken notları eşitsizliklerle ifade edelim ve çözümünü bulalım. 

Çözüm:

8A sınıfı öğrencilerinin ikinci sınavdan almaları gereken notları hesaplarken eşitsizliklerden yararlanabiliriz. Bunun için her bir öğrencinin 2. sınav notunu bilinmeyenlerle ifade edelim, eşitsizliği yazalım ve çözelim.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

8. Sınıf Geometrik Cisimler Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Geometrik cisimler konusunu öğreneceğiz.

Prizmalar

Prizma tabanları, karşılıklı iki yüzü paralel ve eş olan çokgenlerdir.
Dik prizmada, tabanlarının karşılıklı köşelerini birleştiren ayrıtlar tabana diktir.
Dik prizmalar karşılıklı paralel yüz çiftlerine (tabanlarına) göre isimlendirilir. Örneğin, prizma dik ve tabanları düzgün altıgen ise prizma, “düzgün altıgen dik prizma” olarak adlandırılır.

Üçgen prizmanın tabanları eşkenar üçgenlerden oluşuyorsa prizma, “eşkenar üçgen prizma” adını alır.
Prizmaların yüksekliği, tabanla arasındaki uzaklıktır. “Yükseklik”, tabanlardan birinin bir noktasından diğer tabana inilen dikme şeklinde de ifade edilir.

Aşağıdaki üçgen dik prizma modelinin temel elemanlarını belirleyelim ve
üçgen dik prizmanın yüzey açınımını çizelim.

Üçgen dik prizmanın temel elemanları; taban, yan yüz, ayrıt, köşe ve yüksekliktir.

ABC ve A’B’C’ üçgensel bölgeleri prizmamızın tabanlarıdır.
A’ACC’, B’BCC’ ve A’ABB’ dikdörtgensel bölgeleri prizmamızın yan yüzleridir.

[AA’], [AB], [AC], [BC], [BB’], [CC’], [C’B’], [C’A’] ve [B’A’] prizmamızın ayrıtlarıdır.

A, B, C, A’, B’ ve C’ prizmamızın köşeleridir.
[AA’], [CC’] ve [BB’] ayrıtları da dik prizmamızın yüksekliğidir.
Üçgen prizmanın açınımı, aşağıdaki gibidir.


Dik Dairesel Silindir

Dik dairesel silindirde birbirine eş ve paralel iki daireden oluşan tabanlar ve yan yüz vardır. Taban yarıçapı silindirin yarıçapıdır.

Dik dairesel silindirde, tabanları oluşturan dairelerin merkezlerini birleştiren doğru parçasına “eksen” denir.

Dik dairesel silindirde tabanların karşılıklı iki noktasını birleştiren tabanlara dik ve eksene paralel olan doğrulara “ana doğrular” denir. Eksen de bir ana doğrudur.

Tabanlardan birinin bir noktasından diğer tabana inilen dikmeye “silindirin yüksekliği” denir. Yükseklik de bir ana doğrudur.

Aşağıda verilen dik dairesel silindirin yüzey açınımını çizerek silindiri oluşturan
geometrik şekilleri belirleyelim.

Bir silindirin açık şekli, açınımı olarak adlandırılır. Dik dairesel silindirin açınımını çizelim.

Dik dairesel silindir, tabanları oluşturan paralel ve birbirine eş iki daire ve bir dikdörtgensel bölgeden oluşmaktadır.
Dikdörtgensel bölgenin kenar uzunlukları, tabanı oluşturan dairenin çevre uzunluğu ve silindirin yüksekliğine eşittir.


Dik Dairesel Silindirin Yüzey Alanı

Dik dairesel silindirin alanı, alt ve üst tabanların alanları ve yan yüz alanı toplamına eşittir.
Yüzey alanı: Alt ve üst taban alanları toplamı + yan yüz alanı
Alan: 2 π r² + 2 π r . h

Aşağıda verilen dik dairesel silindirin yüzey alanını bulalım (π = 3).

Dik dairesel silindirin yüzey alanı: Taban alanları toplamı + Yan yüz alanı
Alan = 2 π r²+ 2 π r . h
= 2 • 3 • 102
+ 2 • 3 • 10 • 6
= 6 • 100 + 6 • 60 • 6 = 600 + 360
= 960 cm² olur.


Dik Dairesel Silindirin Hacmi

Yarıçapı r, yüksekliği h olan dik dairesel silindirin hacmi, silindirin taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir. O halde,
V = π r² . h’dir.

A ve B tencereleri dik dairesel silindir şeklinde eşit hacimli iki tenceredir. A tenceresinin taban yarıçapı 8 cm, yüksekliği 25 cm’dir. B tenceresinin yarıçapı 10 cm ise yüksekliği kaç cm’dir?

A tenceresinin yarıçapını yuvarlama yaparak 10 cm ve yüksekliğini 25 cm olarak alalım.
A tenceresinin hacmi Va = π • 10² • 25 • π

Va = 2500π

B tenceresinin yarıçapı 10’dur. Yüksekliğine h diyelim.

B tenceresinin hacmi Vb = 10² • hπ = 100πh

Her iki tencerenin hacmi eşit olduğu için 2500π = 100πh

Her iki tencerenin hacmi eşit olduğu için h = 25 cm’dir.

İşlem yaparak sonucu bulalım:
A tenceresinin hacmi: Va = π • r² • h = π • 8² • 25 = 1600π
B tenceresinin hacmi: VA = π • r² • h = π • 10² • h = 100πh
Her iki tencerenin hacimlerinin eşitliğinden;
Va = Vb
1600π = 100πh
h = 16 cm’dir


Dik Piramid, Temel Elemanları ve Açınımı

Bir çokgensel bölgenin her noktasını, bu çokgenden geçen düzlemin dışındaki T noktasına birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu cisme “piramit” denir.

Piramidin temel elemanları, tepe noktası, tabanı, yan yüzleri, ayrıtları ve yüksekliğidir.
Çokgensel bölgeye “piramidin tabanı”, dışındaki noktaya “piramidin tepesi” denir.
Tepe noktasından taban düzlemine inen dikmeye (ya da dikmenin uzunluğuna) piramidin yüksekliği denir. Piramitte yükseklik, aynı zamanda tepenin taban düzlemine olan uzaklığıdır.
• Bir köşesi piramidin tepesi olan üçgensel bölgelere, dik piramidin “yanal yüzleri” denir. Yanal yüzler, ortak bir tepe noktası olan ikizkenar üçgenlerdir. Yanal ayrıt uzunlukları birbirine eşittir.
• Yanal yüzlerden birine ait yükseklik, piramidin “yan yüksekliği”dir.

Aşağıdaki şekil üzerinde, kare piramidin tepe, ayrıt, köşe, cisim yüksekliği ve yan yüz yüksekliğini inceleyelim.

*** Piramitler, taban çokgenlere göre adlandırılır. Tabanı üçgen olan piramide “üçgen piramit”, tabanı dörtgen olan piramide “dörtgen piramit”, tabanı beşgen olan piramide “beşgen piramit”denir.

Tabanı düzgün çokgen, yan ayrıtları eş olan ve cisim yükseklikleri tabanın merkezinden geçen piramitlere “düzgün piramit” denir. Tabanı eşkenar üçgen olan düzgün piramide “eşkenar üçgen düzgün piramit” denir. Tabanı kare olan düzgün piramide “düzgün kare piramit” denir.

Aşağıdaki piramit çeşitlerini inceleyelim.


Dik Koni, Temel Elemanları ve Açınımı

Merkezi “O” olan bir daireyle daire düzlemine “O” noktasında dik olan doğru
üzerinde ve daire dışında bir T noktası veriliyor. Dairenin her noktasını, T noktasına birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu cisme “dik koni” denir.

 

*** Koninin temel elemanları, taban, tepe noktası, eksen, yanal yüzey ve ana doğru (doğuran)dır.
Aşağıda verilen dik dairesel konide;
• “O” merkezli daire, koninin tabanıdır.
• TO doğru parçası, koninin cisim yüksekliğidir.
• T, koninin tepe noktasıdır.
• Taban dairesinin çemberi üzerindeki noktaları tepe noktasına birleştiren TA ve TC gibi doğru parçalarına koninin ana doğruları denir.
• Tepe noktası ve taban merkezinden geçen doğruya koninin ekseni denir. Koninin yüksekliği koni ekseni üzerindedir.
• Tepeden geçen ve tabanının kenarı olan çembere dayanan doğrunun süpürdüğü yüzeye yanal yüzey denir.

 

*** Ekseni tabana dik olan koniye “dik koni” ya da “dönel koni”denir.
Dik koniler eksen etrafındaki dönmelerde “dönme simetrisi”ne sahiptirler. Eksen etrafındaki dönmelerde koni değişmez.

Evet arkadaşlar bir  matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

8. Sınıf Veri Analizi Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Veri analizi konusunu öğreneceğiz.

Histogram

Bir veri dizisindeki değişikliklerin sınıflandırılması ve bunların dağılımının çubuklar ile gösterilmesine “histogram” denir.
Histogram, sayısal tabloda gözlenemeyen gruplaşmaların daha kolay anlaşılmasını sağlar.

Histogram oluşturulurken verilerin kaç gruba ayrılacağı belirlenir. Veri grubunun açıklığı, seçilen grup sayısına bölünür ve aşağıdaki eşitsizlik dikkate alınarak grup genişliği için en küçük doğal sayı değeri belirlenir.

Açıklık/Grup sayısı

Veriler grup genişliğine göre gruplara ayrılır. Gruplar ve gruplardaki veri sayıları tablo hâlinde düzenlenir. Tablodan yararlanılarak histogram çizilir.

Tablodaki verileri kullanarak ve grup genişliğini dikkate alarak grafiği oluşturalım.

Grafiğe göre aşağıdaki soruları cevaplayalım.
• Yatay eksende neden “zikzak” kullanılmıştır?
0 – 47 aralığında hiç veri olmadığı için grafikte yatay eksende zikzak kullanılmıştır.
• En yüksek puan aralığında kaç kişi vardır?
En yüksek puan aralığında 5 kişi vardır.
• En düşük puan aralığında kaç kişi vardır?
En düşük puan aralığında 3 kişi vardır.
• Hangi grup aralığında kişi sayısı fazladır?
53 – 58 grup aralığında kişi sayısı fazladır.
• 65 – 70 grup aralığında kaç kişi vardır?
65 – 70 grup aralığında 8 kişi vardır.


Tablo ve Grafikler

Farklı cinsten verileri karşılaştırırken sütun grafiğini tercih ederiz.

Emel, Sosyal Bilgiler dersinde Türkiye’de kadınların milletvekili seçilme hakkını 5 Aralık 1934 yılında kazandıklarını öğreniyor. Bunun üzerine Türkiye’deki kadın ve erkek milletvekili
sayılarını araştırmaya karar veriyor. TÜİK resmî internet sitesinden aşağıda verilen tablodaki bilgilere ulaşıyor. Emel’in ulaştığı bilgilerin sütun grafiğini çizelim ve grafiği inceleyelim.

Tablodaki verileri sütun grafiğinde gösterelim.

Grafiği incelediğimizde kadın milletvekili sayısının her geçen yıl arttığını görüyoruz.

*** Grafiği incelediğimizde kadın milletvekili sayısının her geçen yıl arttığını görüyoruz.

Türkiye’de çıkan orman yangınlarının %92’sinin insan kaynaklı olduğunu öğrenen Bahadır, bunun üzerine orman yangınlarının çıkış nedenlerini araştırmaya karar veriyor. Orman Genel Müdürlüğünün resmî internet sitesinden aşağıdaki tabloya ulaşıyor. Aşağıdaki tabloyu inceleyelim. Tablodaki verilerin daire grafiğini çizelim

2009 yılında meydana gelen orman yangınlarının sayısını bulalım.
100 + 1000 + 300 + 400 = 1800
2009 yılında toplam 1800 orman yangını meydana gelmiştir.
Orman yangınlarının çıkış nedenlerinin her birinin daire diliminde kaç derecelik açılara karşılık geldiğini bulalım.
Bunun için 360º yi 1800’e böleriz.
360º : 1800 = 0,2º (her bir yangın için)
Kasıt: 100 • 0,2º = 20º
İhmal ve Dikkatsizlik: 1000 • 0,2º = 200º
Yıldırımlar: 300 • 0,2º = 60º
Nedeni Bilinmeyen: 400 • 0,2º = 80º
Daire çizerek her bir yangın nedeni için belirlediğimiz derece kadar yer belirleyelim.

 

*** Çizgi grafiği artış ve düşüşleri vurgulamada en güçlü temsil yöntemidir.

Aşağıdaki tabloda bir ilde nisan ayında bir hafta içinde gözlemlenen günlük ortalama sıcaklık değerleri verilmiştir. Tabloya göre grafiği oluşturalım.

Havadaki sıcaklık artış ve azalışını göstermek için en uygun grafik, çizgi grafiğidir.

 

*** Veri sayısı fazlaysa ve tekrarlı sayılardan oluşuyorsa gruplandırılmış bir veri dağılımının grafikle gösterilmesi için histogram kullanmak diğer grafiklere göre daha iyi bir yöntemdir.

Bir günde kahvaltı için kaç dakika ayrıldığını belirlemek amacıyla yapılan anket sonucunda oluşturulan tablo aşağıda verilmiştir. Tabloya göre grafik çizelim.

Bir günde kahvaltı için kaç dakika ayrıldığını histogram çizerek gösterelim.

 

Evet arkadaşlar bir  matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

7.Sınıf Matematik Konuları

2017 – 2018 7.Sınıf matematik konuları tam listesi aşağıdadır, ünitelere göre düzenlenmiş konu listesi ise sayfanın en altına yer almaktadır.

  • Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemi
  • Rasyonel Sayılar
  • Rasyonel Sayılarla İşlemler
  • Eşitlik ve Denklem
  • Doğrusal Denklemler
  • Oran Orantı
  • Yüzdeler
  • Doğrular ve Açılar
  • Çember ve Daire
  • Veri İşleme
  • Çokgenler
  • Dönüşüm Geometrisi
  • Cisimlerin Farklı Yönlerden Görünümleri

7. Sınıf Tam Sayılarla Çarpma Ve Bölme İşlemi Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Tam sayılarla çarpma ve bölme işlemi konusunu öğreneceğiz.

Tam sayılarla çarpma işlemi toplama işleminin kısa yoludur. Aynı tam sayının tekrarlı toplamının kısa yoldan yapılmasına “çarpma işlemi” denir. “x” veya “.” sembolü ile gösterilir.

İki tam sayının çarpımında 1. çarpan kaç grup olduğunu 2. çarpan ise her grupta kaç sayı olduğunu gösterir.

Örneğin (+4)x(+2) gösterimi 4 grup ve her grupta 2 sayı olduğunu (+2)x(+4) gösterimi 2 grup ve her grupta 4 sayı olduğunu gösterir.

*** Tam sayıların çarpımı sayma pulları veya sayı doğrusu kullanılarak modellenebilir.

(+4) . (-3) işleminin sonucunu negatif sayma pulları ile modelleyelim.

(+4) . (-3) gösterimi 4 grup ve her grupta 3 negatif sayma pulu olacağını gösterir.

 

*** Tam sayılarda çarpma işlemini sayma pulları kullanmadan daha pratik olarak yapmak istediğimizde izlenecek yol şu şekildedir; 

  • ilk olarak tam sayıların işaretlerine bakılmaksızın tam sayılar çarpılır.
  • Ardından da tam sayıların işaretleri çarpılır.

Tam sayıların işaretleri çarpılırken de şu yol izlenir; aynı işaretlerin çarpımı her zaman pozitif, zıt işaretlerin çarpımı her zaman negatif sonuç vermektedir. Yani;

  • (-) x (-) = (+)
  • (+) x (+) = (+)
  • (-) x (+) = (-)
  • (+) x (-) = (-)

(-8) x (+3) ve (-4) x (-7) işlemlerinin sonucunu bulalım.

İlk olarak işaretlere bakmaksızın çarpma işlemi yapılır.

8 x  3 = 24 ardından da (-) x (+) işlemi yapılır. Zıt işaretler olduğu için cevap (-) olacaktır. O halde sonuç -24’tür.

İkinci işlemde de 4 x 7 = 24 yapar. (-) x (-) işleminde aynı işaretli olduğu için cevap (+) olacaktır. O halde sonuç +24’tür.

 

*** 0 ile bir tam sayının çarpımının 0’a eşit olduğuna dikkat ediniz. Çünkü 0 sayısı çarpma işleminde yutan elemandır.

*** Bir tam sayının 1 ile çarpımı kendisine eşittir. 1 çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.

 

Örnek: Aşağıda verilen işlemleri yapalım.

a) 2 . 6

b) 5 . (-3)

c) (-3) . 5

ç) (-4) . (-9)

Çözüm:

a. 2 . 6 = 12 , her iki tam sayıda (+) işaretli olduğu için (+) . (+) = (+) sonucunu vereceğinden cevap +12’dir.

b. 5 . 3 = 15 , tam sayıların işaretleri (+) . (-) olduğu için sonuç (-) olacaktır ve cevap -15’tir.

c. 3 . 5 = 15 , tam sayıların işaretleri (+) . (-) olduğu için sonuç (-) olacaktır ve cevap -15’tir.

ç. 4 . 9 = 36 , tam sayıların işaretleri (-) . (-) olduğu için sonuç (+) olacaktır ve cevap +36’dır.

*** Yukarıdaki örnekte de görüldüğü üzere çarpma işleminin değişme özelliği vardır. Yani; 5 . (-3) = (-3) . 5’e eşittir.


Tam Sayılarda Bölme İşlemi

Tam sayılarda bölme işlemi yaparken hem sayı pulları ile hem de kısa yoldan bölme işlemi yapmamız mümkündür. 

(+8) : (+4) işleminin sonucunu sayma pulları kullanarak bulalım.

 

*** Bölme işleminde de kısa yol kullanılırken çarpma işlemindeki yol izlenir. Yani;

  • Öncelikle tam sayıları işaretlerine bakmaksızın bölme işlemi yaparız.
  • Ardından da tam sayıların işaretlerini bölme işlemine tabi tutarız ki bu işlem çarpma işleminin aynısıdır.

Tam sayıların işaretleri birbiriyle bölünürken;

  • (-) : (-) = (+)
  • (+) : (+) = (+)
  • (-) : (+) = (-)
  • (+) : (-) = (-)

Örnek: (-9) : (+3) işleminin sonucunu hem sayma pulları ile modelleyerek hem kısa yoldan yaparak bulalım.

Çözüm:

1. Yol

2. Yol

(-9) : (+3) sayılarının işaretlerini çıkararak bölme işlemi yapılır.

9 : 3 = 3

Ardından da işaretlerin bölmesi yapılır. (-) : (+) = (-) olacağından sonuç -3’tür. 

 

*** Sıfırdan farklı bir tam sayının 1’e bölümü kendisine, -1’e bölümü ise bu sayının zıt işaretlisine eşittir. 

*** 0 hariç bir tam sayının kendisine bölümü 1’e eşittir.

Örnek: Aşağıda verilen eşitliklerde boş kutucuklara doğru sayları yazınız.

Çözüm:

a. 20 : 4 = 5 , tam sayıların işaretleri (+) : (+) = (+) olacaktır. O halde sonuç +5’tir.

b. 20 sayısını hangi sayıya bölersek sonuç 5 çıkar? Tabii ki de 4’e bölersek sonuç 5 kalır. Şimdide 4 sayısının işaretini bulmamız gerekir. 20 sayısının işareti (-) ve sonuç (+) işaretli olduğu için 4 sayısının da işareti (-) olamalıdır. Ancak bu şekilde (-) : (-) = (+) yapacaktır.

c. Hangi sayısı 4’e bölersek 5 kalır? Tabii ki de 20 sayısını 4’e bölersek 5 kalır. Şimdide 20 sayısının işaretini bulmamız gerekir. Bunun için şöyle bir eşitlik yazabiliriz; (?) : (-) = (-).

Soru işaretinin yerine gelecek işareti ise (+)’dır. O halde sonuç +20’dir.

ç. 0’ı herhangi bir sayıya böldüğümüzde sonuç yine 0 çıkacaktır.

d. Hangi sayıyı 2’ye bölersek 0 sonucuna ulaşırız. Tabii ki 0 sayısını 2’ye bölersek 0 sonucuna varırız.

e. 0 hariç her sayının kendisine bölümü 1’e eşittir. O halde sonuç 1’dir.


Tam Sayılarda Problem Çözme

Örnek: Bir oteldeki görevli zeminin 3 kat altındaki otoparktan aldığı bavullar asansörle 9. kata taşıdıktan sonra tekrar asansörle otoparka inecektir. Bavulların ağırlığı asansörün taşıma kapasitesini aşmayacak şekilde bavullar birkaç sefer yaparak asansörle taşıyan görevli toplam 48 kat yer değiştirdiğine göre kaç sefer yapmıştır?

Çözüm:

Asansörün zeminin 3 kat altından (–3) 9. kata çıkması için 3 + 9 = 12 kat hareket etmesi gerekir.
Asansör tekrar aşağı indiğinde yine 12 kat hareket eder. Buna göre asansör bir seferde 2 x 12 = 24 kat hareket eder.

Asansör 48 kat yer değişikliğinin sonucunda tekrar otoparka geldiğinden oda görevlisi 48 ÷ 24 = 2 sefer yapmıştır.

Örnek: Yeni evli bir çift kendi evlerinde oturmak için bir ev almaya karar vermiştir. Beğendikleri evin fiyatı 180 000 TL’dir. Yeterli paraları olmadığı için bir bankadan konut kredisi çekmek istemektedirler.

Bankaya başvuran bu çifte banka yetkilileri evin fiyatının 45 000 TL’sinin peşin ödenmesi gerektiğini ve geriye kalan kısmı 5 yıl boyunca aylık eşit taksitlerle ödemeleri halinde 148 500 TL daha ödemeleri gerektiğini söylemiştir. Buna göre bu teklifi kabul etmeleri hâlinde bu çiftin kaç lira peşin ödeyeceğini, aylık taksit miktarını ve evin toplam kaç liraya mal olduğunu bulunuz.

Çözüm:

Peşinat 45 000 TL,
5 yıl = 5·12 ay = 60 aydır. Aylık taksitler 148500 : 60 = 2475 TL’dir.
Eve peşinat için 45 000 TL ve geri kalan kısmı için 148 500 TL ödeneceği için evin toplam maliyeti
45000 + 148500 = 193500 TL’dir.

 

Örnek: Deniz seviyesinden yükseklere çıkıldıkça atmosferin kalınlığı ve yoğunluğu azalır. Ayrıca yükseklere doğru çıkıldıkça her 200 m’de sıcaklık 1°C azalır. Bir dağcı deniz seviyesinde ve 23°C sıcaklıktaki bir yerden 1000 m yükseltideki dağın zirvesine çıkmak istiyor. Dağın zirvesindeki sıcaklık kaç °C olur?

Çözüm: Sıcaklık her 200 m’de 1°C azaldığından 1000 m’de 1000 ÷ 200 = 5°C azalır. Öyleyse dağın zirvesinde sıcaklık 23°C – 5°C = 18°C olur.

Örnek: 100 kg ağırlığındaki Aytaç Bey, kilo vermeye karar vermiş ve bir diyetisyen eşliğinde diyete başlamıştır. Yaptığı diyet ile her ay 2 kg vermeyi başaran Aytaç Bey 10 ay sonunda kaç kilogram olur?

Çözüm: Aytaç Bey, 1 ayda 2 kg verdiýinden 10 ay sonunda 10 x 2 = 20 kg zayflar. 10 ay sonunda
Aytaç Bey 100 – 20 = 80 kg olur.


Üslü Nicelikler

a sıfırdan farklı bir tam say ve n bir doğal sayı olmak üzere, n tane a tam sayısının çarpımı
olan aifadesine a’nn n’inci kuvveti denir.

aifadesinde a taban, n ise kuvvet (üs) olarak adlandırılır.  

  • 4 tam sayısının 1, 2 ve 3. kuvvetlerini hesaplayalım.
  • 4¹ = 4
  • 4² = 4 .4 = 16
  • 4³ = 4 . 4 . 4 = 64

Bir sayının 2. kuvvetine o sayının karesi, 3. kuvvetine o sayının küpü denir.

10 ve -8 sayılarının karelerini,  15 ile -7 sayılarının küplerini bulalım.

10’un karesi 10² = 10 . 10 = 100

-9’un karesi (-9)² = (-9) . (-9) = 81

15’in küpü = 15³ = 15 . 15 . 15 = 3375

-7’nin küpü = (-7)³ = (-7) . (-7) . (-7) = -147

*** 1’in tüm doğal sayı kuvvetleri 1’e eşittir.

Örneğin 1 = 1¹ = 110 = 123             

(-1)’in tek doğal sayı kuvvetleri -1’e, çift doğal sayı kuvvetleri 1’e eşittir.

Örneğin  -1 = (-1)³ = (-1)5 = (-1)11

                   1  = 12 = 1= 110

*** (-3)2 = 32  , (-3)4 = 34 , (-2)6 = 26 olduğuna dikkat ediniz.

Örnek: Aşağıdaki ifadeler ile sonuçlarını eşleştiriniz.

Çözüm:

a. (-10)² = (-10) . (-10) = +100

b. (-1)= (-1) . (-1) . (-1) . (-1) . (-1) = (-1)

c. 1= 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1

ç. (-2)³ = (-2) . (-2) . (-2) = -8

d. 2³ = 2 . 2 . 2 = 8

Örnek: Aşağıdaki çarpımları bir tam sayının kuvveti şeklinde yazınız.
a) (–9)·(–9)
b) (–10)·(–10)·(–10)·(–10)
c) (–7)·(–7)·(–7)·(–7)·(–7)·(–7)

Çözüm: 

a. (-9) . (-9) = (-9)²

b. (-10) · (-10) · (-10) · (-10) = (-10)4

c.  (-7) · (-7) · (-7) · (-7) · (-7) · (-7) = (-7)6

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

7. Rasyonel Sayılarla İşlemler Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde 7.Sınıf Matematik Rasyonel sayılarla işlemler konusunu öğreneceğiz.

Paydaları aynı olan rasyonel sayılarla toplama işlemi yapılırken bu sayıların payları toplanarak paya, ortak payda ise paydaya yazılır. Yapılabilecek sadeleştirmeler varsa bu sadeleştirmeler yapılarak işlemin en sade hâli elde edilir.
a, b, c tam saylar ve c ≠ 0 olmak üzere;

Toplama işlemi yapılacak rasyonel sayıların paydaları farklı ise bu sayıların paydaları eşitlenir ve yukarıda belirtilen işlemler yapılır.
a, b, c, d tam saylar ve c ≠ 0, d ≠ 0 olmak üzere; 

Örnek: Aşağıda verilen toplama işlemlerini yapalım.

Çözüm: 

a, b, c, d tam saylar c ≠ 0, d ≠ 0 olmak üzere;

  ve 

  olduğundan rasyonel sayılarla toplama işleminin
“değişme özelliği” vardır.

 

*** a, b, c, d tam saylar b ≠0, d ≠ 0, f ≠ 0 olmak üzere olduğundan rasyonel sayılarla toplama işleminin “birleşme özelliği” vardır.

 

*** a, b tam saylar b ≠ 0 olmak üzere olduğundan 0, rasyonel sayılarla toplama işleminin “etkisiz elemanıdır”.

 

*** Toplamları 0 olan iki rasyonel sayı toplama işlemine göre birbirinin tersidir.
a, b tam saylar b ≠ 0 olmak üzere  olduğundan a/b rasyonel sayısının toplama işlemine göre tersi -a/b’dir.


Rasyonel Sayılarla Çıkarma İşlemi

Paydaları aynı olan iki rasyonel sayı ile çıkarma işlemi yapılırken bu sayıların paylarının farkı paya, ortak payda ise paydaya yazılır. Yapılabilecek sadeleştirmeler varsa bu sadeleştirmeler yapılarak işlemin en sade hâli elde edilir.
a, b, c tam sayılar. c ≠ 0 olmak üzere

Çıkarma işlemi yapılacak rasyonel sayıların paydaları farklı ise bu sayıların paydaları eşitlenir ve yukarıda belirtilen işlemler yapılır.
a, b, c, d tam sayılar ve c ≠ 0, d ≠ 0 olmak üzere

5/3 + 8/3 – 1/3 işleminin sonucunu bulalım.

 

Örnek: Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

a. Önce 1/2 – 1/3 işleminin sonucunu bulalım. Bu işlemin sonucuyla 5/6 kesrini toplayalım.

b. Önce 1/5 + 1/4 işleminin sonucunu bulalım. Bu işlemin sonucundan 1/10 kesrini çıkaralım.

c. Önce 5/4 – 1/3 işleminin sonucunu bulalım. Bu işlemin sonucundan 5/12 kesrini çıkaralım.


Rasyonel Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemi

İki ya da daha fazla rasyonel sayı çarpılırken paylar çarpımı paya, paydalar çarpımı paydaya yazılır. Varsa gerekli sadeleştirmeler yapılır. Çarpımın en sade halî yazılır.
a, b, c, d tam sayılar b ≠ 0, d ≠ 0 olmak üzere

5/3 . 2/7 ve 2/7 . 5/3 işlemlerini yapalım. İşlemlerin sonuçlarını karşılaştıralım.

 

*** a, b, c, d tam saylar b ≠ 0, d ≠ 0 olmak üzere  olduğundan rasyonel sayılarla çarpma işleminin “değişme özelliği” vardır.

1/2 . (3/5 . 7/4) ve (1/2 . 3/5) . 7/4 işlemlerini yapalım. İşlemlerin sonuçlarını karşılaştıralım.

***a, b, c, d, e, f tam sayılar b ≠ 0, d ≠ 0, f ≠ 0 olmak üzere

 olduğundan rasyonel sayılarla çarpma işleminin “birleşme özelliği” vardır.

*** a, b tam sayılar b ≠ 0 olmak üzere

a/b . 1 = 1 . a/b = a/b olduğundan 1, rasyonel sayılarla çarpma işleminin “etkisiz elemanıdır”. 

***  a, b tam sayılar b ≠ 0 olmak üzere

a/b . 0 = 0 . a/b = 0 olduğundan 0, rasyonel sayılarla çarpma işleminin “yutan elemanıdır”. 

Örnek: 1/2 . (3/4 + 1/8) işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:

Rasyonel sayılarla çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
a, b, c, d, e, f tam saylar b ≠ 0, d ≠ 0, f ≠ 0 olmak üzere

1/5 . (7/10 + 3/20) işleminin sonucunu bulalım.

1. Yol

2. Yol

*** Rasyonel sayılarla çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
a, b, c, d, e, f tam saylar b ≠ 0, d ≠ 0, f ≠ 0 olmak üzere

*** Rasyonel sayılarla çarpma işleminin ters eleman özelliği vardır.
a, b tam sayılar a ≠ 0, b ≠ 0 olmak üzere a/b rasyonel sayısının çarpma işlemine göre tersi b/a’dır.
Bir rasyonel sayının çarpmaya göre tersiyle çarpımı etkisiz elemana yani 1’e eşittir.

a/b . b/a =1’dir.

*** Bir rasyonel sayı başka bir rasyonel sayıya bölünürken bölünen rasyonel sayı ile bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi çarpılır.

a, b, c, d sıfırdan farklı tam saylar olmak üzere a/b : c/d = a/b . d/c’dir.

3/4 : 5/7 işleminin sonucunu bulalım.

3/4 ile 5/7’nin çarpmaya göre tersi 7/5’in çarpmını bulalım.


Rasyonel Sayıların Karesinin ve Küpünün Hesaplanması

Bir rasyonel sayının karesi hesaplanırken bu sayı kendisiyle çarpılır.
a, b sıfırdan farklı tam sayılar olmak üzere

0 hariç tüm rasyonel sayıların karesi pozitif rasyonel sayıdır.

Aşağıdaki rasyonel sayıların küpünü bulalım.
a) 2/3

b) 3/2

c) -2/3

ç) -3/2

*** Bir rasyonel sayının küpü hesaplanırken bu sayı kendisiyle iki kez çarpılır.

a, b sıfırdan farklı tam sayılar olmak üzere

*** Pozitif rasyonel sayıların küpü pozitif, negatif rasyonel sayıların küpü ise negatif rasyonel sayıdır.

Örnek: Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.

a) (-5/2)² + (-1/2)³

b) (-3/5)² – (-1/5)³

c) (3/4)² . (2/3)³

Çözüm:


Rasyonel Sayılarla Çok Adımlı İşlemler

Rasyonel sayılarla iki ya da daha fazla işlem içeren ifadelere “çok adımlı işlemler” denir.
Bu işlemlerde hangi adımın daha önce yapılacağı “( )”, “[ ]” gibi ayraçlarla belirtilir.

  işleminin sonucunu işlem önceliğine dikkat etmeden soldan sağa doğru
işlem yaparak hesaplayalım. Daha sonra bu işlemi işlem önceliğine göre ayraçlarla ayırarak sonucu hesaplayalım. Bulduğumuz sonuçlar karşılaştıralım.

Ayraçlarla belirlenmemiş işlemlerde işlem önceliğinin soldan sağa doğru önce çarpma veya bölme, sonra toplama veya çıkarma olduğunu biliyoruz. işlem önceliğine göre verilen işlemi parantezlerle belirleyelim ve işlemin sonucunu hesaplayalım.

İşlem önceliğine dikkat etmeden bulduğumuz sonuç ile işlem önceliğine göre bulduğumuz sonuç farklıdır. Bu sonuçların farklı olmasının nedeni, ayraç kullandığımız işlemde, işlem önceliğine dikkat edilmesidir.

*** Kesir çizgisi kullanılarak verilen işlemlerde, işlem önceliği en uzun çizgi olan kesir çizgisine göre belirlenir. Kesir çizgisinin belirttiği bölme işlemi yapılmadan önce pay ve paydadaki işlemler yapılır.

 işleminin sonucunu bulalım.

Çok adımlı bu tür işlemlerde ilk önce en üstteki işlem yapılır. Büyük kesir çizgisine doğru gidilerek işlemlere devam edilir.


Rasyonel Sayılarla İşlem Yapmayı Gerektiren Problemler

Örnek: Bir oteldeki turistlerin 2/5’i Avrupa ülkelerinden, 1/6’sı diğer ülkelerden gelmiştir. Geri kalanlar yerli turisttir. Yerli turistlerin sayısı 78 olduğuna göre bu otelde konaklayan turistlerin sayısını bulunuz.

Çözüm: 2/5 ile 1/6’nın toplamı yabancı turistlerin oranına eşittir.

Öyleyse yabancı turistlerin oranı 17/30’dur. Toplam oran 1 olduğundan yerli turistlerin oranı    1 – 17/30 = 13/30’dur.

13/30’u 78 olan sayıyı bulalım.

13/30’u 78 olan sayı 78 : 13/30 = 180

Örnek: Ders yılı sonunda öğrencilerinden okudukları kitapları okulun kütüphanesine bağışlamalarını söyleyen Betül Öğretmen, bu kitapların 2/5’ini sekizinci sınıf, 1/3’ünü yedinci sınıf öğrencilerinin verdiğini, kendisinin de 8 kitap verdiğini söylemiştir.
Buna göre kütüphaneye kaç kitap bağışlanmıştır?

Çözüm: Kitapların 2/5’ini sekizinci sınıf, 1/3’ünü yedinci sınıflar verdiğine göre geri kalan kitapları da Betül öğretmen vermiştir.

Yani 2/5 + 1/3 toplamından geriye kalan kısmı Betül öğretmen vermiştir.

  • 2/5 (x3) = 6/15
  • 1/3 (x5) = 5/15
  • 6/15 + 5/15 = 11/15
  • 1 – 11/15 = 4/15

Yani kitapların 4/15’ini Betül öğretmen vermiştir. Bu nedenle 4/15’i 8 eden sayıyı bulmamız gerekir.

8 : 4/15 = 30 eder.

Örnek: 5000 m²’lik bir arsanın 1/4’ü binalar, 1/20’si sosyal tesisler, 1/25’i çocuk parkı, 3/10’u yüzme havuzu ve geri kalan kısmı yeşil alan için ayrılmıştır. Yeşil alan için kaç metrekare yer
ayrıldığını bulunuz.

Çözüm:

  • Binalar için 5000 . 1/4 = 1250 m²
  • Sosyal tesisler için 5000 . 1/20 = 250 m²
  • Çocuk parkı için 5000 . 1/25 = 200 m²
  • yüzme havuzu için 5000 . 3/10 = 1500 m² olmak üzere toplam
  • 1250 + 250 + 200 + 1500 = 3200 m² alan ayrılmıştır. Öyleyse yeşil alan için ayrılan kısım
    5000 – 3200 = 1800 m²’dir.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

7. Sınıf Matematik Eşitlik Ve Denklem Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde 7.Sınıf Matematik Eşitlik ve denklem konusunu öğreneceğiz.

Bir sayının değerinin bilinmediği durumlarda bu sayıyı temsil eden bir bilinmeyen (değişken) seçilir. Bu bilinmeyen yerine herhangi bir harf ya da sembol kullanılır.

Bir sayı ile bir bilinmeyenin çarpımı ifade edilirken genellikle işlem sembolü kullanılmaz. Örneğin; 5 x a veya 5·a ifadeleri 5a şeklinde gösterilir.

“Aşağıdaki terazi denge durumunda olduğuna göre 1 limon kaç gramdır?”
Bu soruyu çözmek için gerekli denklemi kuralım.

Eş kütleli limonların her biri x gram olsun. Terazinin sol kefesindeki ağırlık 5x + 100 g ve sağ
kefesindeki ağırlık 4x + 200 g’dr.

Terazi dengede olduğuna göre terazinin sol kefesindeki ağırlık, sağ kefesindeki ağırlığa eşit olmalıdır.

Öyleyse denklem 5x + 100 = 4x + 200 şeklindedir.

Bilinmeyen içeren eşitliklere denklem denir. Eşitlik “=” sembolü ile gösterilir. Eşitliğin solunda ve sağında bulunan ifadeler birbirine eşittir.

İçinde bir bilinmeyen (değişken) bulunan ve bu bilinmeyenin kuvvetinin (üs) 1 olduğu denklemlere “birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem” denir.

Genel olarak a, b, c tam sayı ve a ≠ 0 olmak üzere ax + b = c şeklinde gösterilen denklemler birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.

Örneğin 3x + 1 = 7 ifadesi birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. Bu denklemde bilinmeyen x’tir.

Örnek: “Talat, kardeşi Selin’e 20 TL, diğer kardeşi Ege’ye 30 TL verdiğinde üçünün de paraları eşit oluyor. Üçünün paraları toplam 210 TL olduğuna göre Ege’nin başlangıçta kaç lirası vardır?” Bu soruyu çözmek için gerekli denklemi kuralım.

Çözüm: Talat, Selin’e 20 TL ve Ege’ye 30 TL verdiğinde üçünün de paraları eşit olduğundan en az parası olan Ege’dir. Ege’nin parası x TL olsun. Selin’in parası x + 10 TL olur.
Talat, Ege’ye 30 TL verince Ege’nin parası x + 30 TL,
Selin’e 20 TL verince Selin’in parası da x + 10 + 20 = x + 30 TL olur.

Talat, kardeşlerine 20 + 30 = 50 TL verince geriye x + 30 lirası kalacağı için Talat’ın başlangıçta x + 30 + 50 = x + 80 lirası olması gerekir. Üçünün paraları toplam x + (x + 10) + (x + 80) = x + x + 10 + x + 80 = 3x + 90 liradır. Öyleyse denklem 3x + 90 = 210 şeklindedir.


Denklemlerde Eşitliğin Korunumu

Bir denklemde eşitliğin her iki tarafı sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılırsa eşitlik bozulmaz.
Bir denklemde eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenirse eşitlik bozulmaz.

Bir denklemde eşitliğin her iki tarafından aynı sayı çıkarılırsa eşitlik bozulmaz.
7 + 11 = X + 3 eşitliğini sağlayan X yerine gelecek sayıyı bulalım.

7 + 11 = X + 3

18 = X + 3

18 – 3 = X + 3 – 3

15 = X

Öyleyse X yerine gelecek sayı 15’tir.

Örnek: 5x + 1 = 21 – 5 eşitliğinin bozulmaması için x = ………………. olmalıdır.
Çözüm:

  • 5x +1 = 21 – 5
  • 5x +1 = 16
  • 5x + 1 – 1 = 16 – 1     (Eşitliğin her iki tarafından 1 çıkarılır.)
  • 5x = 15    (Eşitliğin her iki tarafı 5’e bölünür.)
  • x = 5    olmalıdır.

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü

Bir denklemde bilinmeyeni bulmaya denklemi çözme, bu denklemi doğru yapan bilinmeyenin değerine denklemin çözümü denir.

Bir denklemde eşitliğin her iki tarafı sıfırdan farklı aynı sayı ile bölünürse eşitlik bozulmaz.

Denklemin çözümünde eşitliğin bozulmaması için eşitliğin her iki tarafında da aynı işlemin yapıldığına dikkat ediniz.

Örnek: –2a + 3 = 11 – 2 eşitliğini sağlayan a değerini bulalım.

–2a + 3 = 11 – 2
–2a + 3 = 9
–2a + 3 – 3 = 9 – 3 (Eşitliğin her iki tarafından 3 çıkardık.)
–2a = 6   (Eşitliğin her iki tarafını da 2’ye böleriz.)
a = –3
Öyleyse eşitliği sağlayan a değeri –3’tür.

Örnek: 2x – 1 = 4 + 3 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

Çözüm:  

  • 2x – 1 = 4 + 3   ,   
  • 2x – 1 = 7
  • 2x – 1 + 1 =  7 + 1   
  • 2x = 8 (Her iki tarafta ikiye bölünür.)
  • x = 4

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.