2.Sınıf Matematik Konuları

2.Sınıf Matematik konuları 2017 – 2018 güncel tam liste.

  • Doğal Sayılar
  • Uzamsal İlişkiler
  • Doğal Sayılarda Toplama İşlemi
  • Doğal Sayılarda Çıkarma İşlemi
  • Paralarımızı Tanıyalım
  • Veri Ölçme
  • Sıvı Ölçme / Sıvı Ölçüleri
  • Tartma ve Ağırlık Ölçüleri
  • Doğal Sayılarda Çarpma İşlemi
  • Doğal Sayılarda Bölme İşlemi
  • Kesirler
  • Geometrik Cisimler
  • Cebirsel İşlemler

2.Sınıf matematik konularına dilerseniz sitemiz üzerindeki detaylı ve bol örnekli konu anlatımları ve test soruları ile çalışabilirsiniz.

4.Sınıf Matematik Konuları

2017-2018 dönemi güncel 4.sınıf matematik konularının tam listesi.

  • 4.Sınıf Açıların Özellikleri
  • 4.Sınıf Açı Ölçü Birimleri
  • 4.Sınıf Açıların Çizim ve Ölçümü
  • 4.Sınıf Ölçülerine Göre Açı Çeşitleri
  • 4.Sınıf Dikdörthen Kare ve Üçgen
  • 4.Sınıf Köşegenin Belirlenmesi
  • 4.Sınıf Açılarına Göre Üçgenler
  • 4.Sınıf Kare ve Dikdörtgenin Kenar ve Açı Özellikleri
  • 4.Sınıf Dik Üçgen Kare ve Dikdörtgen Çizimi
  • 4.Sınıf Simetri
  • 4.Sınıf Örüntü ve Süslemeler
  • 4.Sınıf Sayılarla Örüntü
  • 4.Sınıf Sütun Grafiği
  • 4.Sınıf 4,5,6 Basamaklı Doğal Sayılar
  • 4.Sınıf Doğal Sayılarda Çözümleme
  • 4.Sınıf Doğal Sayıların Sıralanması
  • 4.Sınıf Doğal Sayılarda Toplama
  • 4.Sınıf Doğal Sayılarda Toplama Problemleri
  • 4.Sınıf Doğal Sayılarda Çıkarma
  • 4.Sınıf Doğal Sayılarda Çıkarma Problemleri
  • 4.Sınıf Doğal Sayılarda Çarpma
  • 4.Sınıf Çarpma İşleminde Verilmeyenleri Bulma
  • 4.Sınıf 10,100 ve 1000 ile Zihinden Çarpma İşlemi
  • 4.Sınıf İki Doğal Sayının Çarpımını Tahmin Etme
  • 4.Sınıf Doğal Sayılarla Bölme İşlemi
  • 4.Sınıf Bölümün Tahmini ve Basamak Sayısı

4.Sınıf matematik 2017 – 2018 konularının tam listesi güncel konu anlatımlarımıza göz atarak bu konuların tamamına çalışabilirsiniz.

9.Sınıf Mantık Ve Önermeler Konu Anlatımı

Değerli öğrencilerimiz bu dersimizde 9.sınıf matematik mantık ve önermeler konusunu örnekler ve basit açıklamalı konu anlatımı ile sizlerle paylaşacağız.

Mantık Nedir?

Mantık, doğru düşünme biçimini araştıran bir araştırma alanıdır. Günlük hayattaki mantık terimi de benzer anlamdadır. Birşeyin mantıklı olup olmaması kişilere ve durumlara göre değişebilir.

Önerme Nedir?

Doğru veya yanlış şeklinde kesin hükümde bulunabileceğimiz yargılara önerme adı verilmektedir. Matematikte önermeleri p, q, r, s, t gibi küçük harflerle göstermekteyiz.

Örnek: Türkiye’nin başkenti ANKARA’dır ifadesi bir önerme midir?

Çözüm: Bu bir önermedir, çünkü önermeler doğru ve yanlışlığı belirlenebilir yargılardır. Türkiye’nin başkenti ANKARA dır, bunu biliyoruz. Bu durumda yukarıdaki ifade bir önermedir, ayrıca bu önerme doğrudur.

Örnek: “Bir ay otuzaltı gündür.” Yargısı bir önerme midir, doğruluk durumunu inceleyiniz.

Çözüm: Bu yargı bir önermedir, çünkü doğruluğunu veya yanlışlığını kolayca sınayabiliriz. Diğer taraftan bu önerme yanlıştır, çünkü bir ay otuzaltı gün değildir. Bir ay bazen 30 bazen 31 bazen de 28 gün olabilir.

Örnek: “En güzel renk kırmızıdır.” Yargısı bir önerme midir? Doğruluk durumunu inceleyin.

Çözüm: Değerli arkadaşlar bu ifade bir önerme değildir. Çünkü en güzel renk kırmızıdır ifadesi kişiye göre değişebilir, bana göre en güzel renk sarı iken size göre eflatun olabilir. Dolayısıyla bu ifade kesinlikle bir önerme değildir.

Örnek: “Hayırlı akşamlar” ifadesi bir önerme midir? İnceleyiniz.

Çözüm: Bu ifade hiç bir yargı belirtmemektedir, bu nedenle önerme olamaz.


Bir önermenin doğru veya yanlış olmasına o önermenin doğruluk değeridenmektedir. Eğer önerme DOĞRU ise doğruluk değeri D harfi ile veya 1 rakamı ile, eğer önerme YANLIŞ ise doğruluk değeri Y harfi ile veya 0 rakamı ile gösterilir.

Elimizde bir p önermesi olsun, eğer bu p önermesinin değeri 1 ise p ≡ 1şeklinde ifade ederiz, eğer değeri 0 ise de p ≡ 0 şeklinde ifade ederiz.

Örnek: p: “9 tek sayıdır” önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Çözüm: 9 gerçekten de bir tek sayıdır, değil mi arkadaşlar.. Sizin de bildiğiniz gibi 2 ye tam bölünen sayılar çift sayı, 2 ye bölündüğünde 1 kalanını veren sayılar ise tek sayıdır. Şu durumda 9, 2 ye bölündüğünde 1 kalanını vereceğinden bir tek sayıdır. O halde önermemiz doğrudur.

Bunu nasıl göstermeliyiz? p ≡ 1 şeklinde göstermeliyiz. Yani p önermesi denktir 1 veya p önermesinin değeri 1 dir şeklinde okunur.

Örnek: q: “Üçgenin iç açıları toplamı 450 derecedir” önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Çözüm: Üçgenin iç açıları toplamı 450 derece değil 180 derecedir. Bu önerme yanlıştır bu nedenle değeri 0 olmalıdır. q ≡ 0 diyebiliriz.

Bu şekilde örnekleri çoğaltabiliriz, sanırım önermelerin mantığını az çok anladınız. Aslında gayet basit bir konu, sadece bu önermeler ve mantık ders notunu okuyarak bile işi çözebilirsiniz.

ÖNEMLİ NOT: Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye denk önermeler denir. p önermesi q önermesine denk ise p ≡ q, p önermesi q önermesine denk değil ise “p ≢ q” ile gösterilir.

Önermelerin Doğruluk Tablosunda Gösterilmesi

Önermelerin doğruluk değerleri bir tablo yardımıyla daha güzel bir şekilde gösterilebilir. Bu şekilde hazırlanan tablolara doğruluk tablosu denir.

Örnek: p önermesinin doğruluk tablosunu yapalım.

Yukarıdaki doğruluk tablosuna göre p önermesinin iki durumu vardır. p önermesi doğru olabilir, p önermesi yanlış olabilir.

Örnek: p ve q önermelerinin doğruluk tablosunu yapalım.

p önermesinin 2, q önermesinin 2 farklı doğruluk değeri olduğundan p ve q önermelerinin 2 . 2 = 2^2 = 4 farklı doğruluk durumu vardır.

Doğruluk tablosu aşağıdaki gibi olacaktır.

Yukarıdaki doğruluk tablosunun açıklamasını yapalım.

  • p  1 iken q 1 olabilir
  • p 1 iken q 0 olabilir
  • p 0 iken q 1 olabilir
  • p 0 iken q 0 olabilir

Örnek: p, q ve r önermeleri için doğruluk tablosu oluşturalım.

Değerli arkadaşlar burada 3 farklı önerme olduğundan tablomuz 2x2x2 = 2^3 (iki üzeri üç) = 8 li olmalıdır.

Örnek: 5 farklı önermenin birbirine karşı kaç farklı durumu olduğunu bulalım.

Çözüm: 5 farklı önermeden 2 üzeri 5 ile yani 2^5 = 32 adet farklı durum meydana gelecektir bu nedenle doğruluk tablosunda 5 sütun 32 satır bulunmalıdır.

Bir Önermenin Değilini Bulmak (Önermenin Olumsuzunu Yapmak)

Önermelerin değilini yapmak çok kolaydır, önermenin mevcut değeri ne olursa olsun bunu tam tersiyle değiştirerek değilini kolayca oluşturabiliriz.

Örneğin bir p önermesinin değili p’ ile gösterilir, p önermesinin değeri 1 olsun bu durumda

p ≡ 1 olacaktır, eğer p nin değilini alırsak bu durumda p’ ≡ 0olacaktır. Yani p’nin değeri 1 ise 0 , 0 ise 1 olur.  Aslında oldukça basit bir mantığı var değil mi?

Bir diğer karşınıza çıkacak nokta ise önermenin değilinin değilini almaktır, bu durumda önermenin son hali elde edilecektir. Yani, p önermesinin değeri 1 olsun, eğer değilini alırsak değeri 0 olur, tekrar değilini alırsak 1 olur, böylece başlangıçtaki duruma dönmüş, yeniden p önermesini elde etmiş oluruz, değil mi?

(p’)’ ≡ p

Yukarıdaki ifadede p nin değili olan p’ nün tekrar değili alınarak yeniden p elde edilmiştir. Şimdi dilerseniz bunun da doğruluk tablosuna bir bakalım.

Bileşik Önermeler

Birden fazla önermenin ve, veya, ancak ve ancak, ya da, ise gibi bağlaçlar yardımıyla birleştirilmesine bileşik önerme adı verilmektedir. Bileşik önermeleri anlamak ve üzerinde işlem yapmak da oldukça kolaydır.

1) VE Bağlacı ile Yapılan Bileşik Önermeler

Sevgili arkadaşlar, VE bağlacı ile bağlanan iki önerme şu şekilde gösterilir p ∧ q  ve bu ifade p ve q diye okunur.

Eğer her iki önermenin değeri de 1 ise p ∧ q değeri 1 dir, diğer tüm durumlarda p ∧ q değeri 0 olacaktır.

Yani anlayacağınız şekilde açıklamam gerekirse, p ∧ q nun değerinin 1 olması için hem p hem de q nun değerinin 1 olması şarttır. p veya q dan biri bile sıfır olsa bu durumda p ∧ q değeri de 0 olacaktır.

Aşağıdaki doğruluk tablosuna bakarak bunu net bir şekilde okuyabilirsiniz.

1. VE Bağlacının Tek Kuvvet Özelliği

Her p önermesi için  p ∧ p ≡  p dir. Yani bir p önermesinin kendisi ile VE lenmesi sonucunda değer p nin başlangıç değeri olmaktadır. Aşağıdaki doğruluk tablosuna bakarak bunu daha net bir şekilde görebiliriz.

Yukarıdaki tablodan da görebileceğiniz üzere p nin değeri 1 ise p ∧ p nin değeri 1 yani yine p ye eşit, eğer p nin değeri 0 ise p ∧ p nin değeri 0 a eşittir.

2. VE Bağlacının Değişme Özelliği Vardır

Her p ∧ q ≡ q ∧ p şeklinde bir değişme özelliği söz konusudur. Sıralamanın değişmesi sonucu değiştirmez.

3. VE Bağlacının Birleşme Özelliği de Vardır

Aşağıdaki doğruluk tablosunu incelediğinizde VE bağlacının birleşme özelliğini görebilirsiniz.

VEYA Bağlacı ile Oluşturulan Bileşik Önermeler

İki farklı önermemiz olsun bunlar da p ve q olsun. Bu önermelerden herhangi birinin değerinin 1 olması halinde p veya q nun değeri 1 olacaktır. VEYA bağlacının sonucunun 1 olması için önermelerden sadece 1 inin doğru olması yeterlidir. Gösterimi p ∨ q şeklindedir, burada ∨ veya bağlacı olacak bilinir. Aşağıdaki doğruluk tablosuna bakalım.

Gerçekten de yukarıdaki tabloda dikkat ediniz, p ve q dan en az birinin değeri 1 olduğunda p ∨ q değeri 1 e eşit, diğer durum olan her ikisinin de sıfır olması durumunda ise 0 a eşittir.

VEYA Bağlacının Özelliklerine Göz Atalım,

1) Veya Bağlacının Tek Kuvvet Özelliği

Veya bağlacı için p ∨ p ≡ p dir.

2) VEYA Bağlacının Değişme Özelliği

Veya bağlacında önermelerin yerinin değişmesi sonucu değiştirmez.

3) VEYA Bağlacının Birleşme Özelliği

Veya bağlacında birleşme özelliği de mevcuttur, aşağıdaki tablodan bunu görebilirsiniz.

De Morgan Kuralları

De organ kurallarını kullanarak sınavlarda ve yazılı sorularında karşımıza çıkan sadeleştirme ve kısaltma sorularını hızla çözebiliriz. De Morgan kuralları aşağıdaki gibidir.

Ya Da Bağlacı ile Oluşturulan Bileşik Önermeler

p ile q önermelerinin ya da bağlacı ile bağlanmasından oluşan bileşik önermeye, p ya da q bileşik önermesi denir ve p ⊻ q biçiminde gösterilir. p ⊻ q bileşik önermesi; p ile q önermelerinden yalnız biri doğru iken doğru, diğer tüm durumlarda yanlıştır. p ve q önermeleri için p ⊻ q önermesinin doğruluk değerleri tablosu aşağıdaki gibidir.

Ya Da bağlacı için de değişme ve birleşme özellikleri vardır fakat kuvvet özelliği yoktur.

İSE Bağlacı ile Oluşturulan Bileşik Önermeler

p ile q önermelerinin ‘‘ise’’ bağlacı ile bağlanmasından oluşan bileşik önermeye koşullu önerme denir ve p ⇒ q biçiminde gösterilir. p ⇒ qönermesi p doğru, q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur. p ve q önermeleri için p ⇒ q önermesinin doğruluk tablosu aşagıdaki gibi olacaktır,

Ayrıca,

Bunu doğruluk tablosunda gösterelim,

Bir Önermenin Karşıtı, Tersi ve Karşıt Tersi

“Ancak ve Ancak” Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermeler

Sevgili arkadaşlar 9.sınıf mantık ve önermeler konu anlatımımızın sonunda geldik bir sonraki 9.sınıf matematik dersimizde görüşmek dileğiyle.

8. Sınıf Basit Olayların Olma Olasılığı Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Basit olayların olma olasılığı konusunu öğreneceğiz.

Olası durumlar, mevcut ihtimallerden bir veya birkaçının gerçekleşme durumudur.

5A sınıfında 15 erkek ve 13 kız öğrenci vardır. Sınıf listesinden rastgele seçilen bir öğrenci, başkan olarak görev yapacaktır. Seçilecek öğrencinin kız olma olasılığı ile erkek olma olasılığını karşılaştıralım.

Sınıfta 15 erkek ve 13 kız öğrenci vardır. Erkeklerin sayısı kızların sayısından daha fazla olduğu için seçilecek başkanın erkek olma olasılığı daha fazladır.

 

Örnek: Bir sınıftaki 28 öğrenciden 14’ü basketbol geri kalanlar ise voleybol kursuna gitmektedir. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kurslara gitme olasılıklarını karşılaştıralım.

Çözüm:

28 öğrenciden 14’ü basketbola gidiyorsa, 28 – 14 = 14’ü de voleybola gidiyordur. O halde sınıfta basketbol ve voleybol kursuna giden öğrenci sayıları eşittir. Rastgele seçilen öğrencinin basketbol veya voleybol kursuna gidiyor olma olasılıkları eşittir.


Olay ve Bu Olayın Olma Olasılığı

Eşit şansa sahip olaylarda her bir çıktı eş olasılıklıdır ve bu değer 1/n’dir. Buradaki “n” olası durum sayısını temsil etmektedir.

1’den 15’e kadar olan sayıların yazılı olduğu kâğıtlar torbaya konur ve bir çekiliş yapılırsa her bir sayının gelme olasılığını inceleyelim.

Torbadan bir kâğıt çekildiğinde olası durumlar 1’den 15’e kadar olan sayılardır. Yani olası durum sayısı 15’tir. Torbadan her bir kâğıdın çekilmesi olayı eşit şansa sahip olaylardır. O hâlde her bir çıktı eş olasılıklıdır.
Torbadan her bir sayının çıkma olasılığı 1/15 ’tir.

 

Bir olayın olma olasılığı: İstenilen olayın çıktı sayısı/olayın durum sayısı
Bir olayın olma olasılığı 0 ile 1 (dahil) arasında değer alır.
Bir olay her zaman gerçekleşiyorsa bu olaya kesin olay denir. Olasılık değeri 1’dir.
Bir olay hiçbir zaman gerçekleşmiyorsa bu olaya “imkânsız olay” denir. Olasılık değeri 0’dır.

Aşağıdaki renkli sayı çarkı döndürüldüğünde okun aşağıda istenen sayı ve renkte durma olasılığını bulalım.


a) Pembe renkte durma olasılığı
b) Sarı renkte durma olasılığı
c) Beyaz renkte durma olasılığı
ç) Tek sayıda durma olasılığı
d) Çift sayıda durma olasılığı
e) Mavi renkte durma olasılığı
f) Pembe, sarı veya beyaz renkte durma olasılığı

a. Okun pembe renkte durma olasılığı: = 5/10 = 0,5 = % 50

b. Okun sarı renkte durma olasılığı: =2/10 = 0,2 = % 20

c. Okun beyaz renkte durmama olasılığı: = 3/10 = 0,3 = % 30

ç. Okun tek sayıda durma olasılığı: = 5/10 = 0,5 = % 50

d. Okun çift sayıda durma olasılığı: = 5/10 = 0,5 = % 50

e. Okun mavi renkte durma olasılığı: = 0/10 = 0 = % 0

f. Okun pembe, sarı veya beyaz renkte durma olasılığı: = 10/10 = 1 = % 100

 

Örnek: Bir torbada 1’den 8’e kadar numaralandırılmış 8 özdeş top vardır. Torbadan bir top çekilecektir. Buna göre aşağıdaki olayların olasılıklarını hesaplayalım.

a) 3 numaralı topun çekilme olasılığı
b) Tek numaralı top çekilme olasılığı
c) 3’ten küçük numaralı top çekilme olasılığı
ç) Top çekilme olasılığı
d) Bilye çekilme olasılığı

Çözüm:

a. 3 numaralı topun çekilme olasılığı: 1/8
b. Tek numaralı top çekilme olasılığı: 4/8
c. 3’ten küçük numaralı top çekilme olasılığı: = 2/8 = 1/4
ç. Top çekilme olasılığı: = 8/8 = 1 (kesin olay)
d. Bilye çekilme olasılığı: = 0/8 = 0 (imkânsız olay)

 

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

8. Sınıf Kareköklü İfadeler Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Kareköklü ifadelerkonusunu öğreneceğiz.

1, 4, 9, 16 gibi sayılara “tam kare doğal sayılar” adı verilir. Çünkü bu sayı kadar noktalardan bir kare elde edilebilir.

Asal sayılar, tam kare doğal sayı değillerdir.

Aşağıdaki sayılardan hangilerinin tam kare doğal sayı olduğunu bulalım.
25, 31, 49, 56, 64, 90, 121, 144, 169

 

*** Karesi alınmış bir doğal sayı verildiğinde bu doğal sayının karesi alınmadan önceki hâlini bulmak için sayının karekökü alınır. Karekök sembolüyle gösterilir.
Karekökleri tam sayı olan doğal sayılara “tam kare sayılar” denir.

Bir paket lastiğiyle geometri tahtasında, alanı 16 br² olan bir kare oluşturalım. Oluşturduğumuz karenin bir kenarının uzunluğunu bulalım.

Bu kareyi oluşturmak için karenin bir kenarının uzunluğunu bulmalıyız.
“Hangi sayının kendisiyle çarpımı 16 olur?” diye düşünmeliyiz.
4 • 4 = 16 ve (-4) • (-4) = 16 olur.
Uzunluk ölçütleri negatif olamayacağından 16 = 4 • 4’tür.


Tam Kare Olmayan Sayıların Kareköklerinin Tahmin Edilmesi

Tam kare olmayan sayıların karekökleri tahmin edilirken bilinen tam kare sayılarının kareköklerinden yararlanılabilir. Bunun için şu adımlar izlenebilir:
• Karekökü tahmin edilecek sayıya (x) en yakın tam kare sayılar bulunur. Bunlara a ve b diyelim.
Bu sayıdan büyük ve küçük olacak şekildeki en yakın sayılar: a 
• Bu üç sayı küçükten büyüğe doğru sembol kullanılarak sıralanır.
• a 
• Aynı sıralama karekökleri için yapılır: a 
• Sonucun hangi tam sayılar arasında bir sayı olacağı tahmin edilir.
• En yakın onda birliğe kadar tahmin etmek için karekökü tahmin edilecek sayının (x’in) a ve b sayılarına olan uzaklığı bulunur. Buna göre x hangi sayıya daha yakın ise ona göre bir tahmin yapılır.
• Tam kare olmayan sayıların karekökleri irrasyonal sayılardır. Çünkü bu sayıların karekök değerleri tam olarak hesaplanamaz. Yaklaşık olarak hesaplanır.

31 sayısının karekökünü en yakın onda birliğine kadar tahmin edelim.

31’e en yakın olan 31’den küçük ve büyük tam kare sayılar 25 ve 36’dır

Bu nedenle karekök 31 yaklaşık olarak 5,6 olarak tahmin edilebilir.


Gerçek Sayılar

Devirli ondalık gösterimler rasyonel sayıya çevrilirken aşağıda verilen kısa yöntem de kullanılabilir.
Devirli ondalık gösterimde, virgül yok kabul edilerek sayıdan devreden sayıya kadar olan bölüm çıkarılır ve paya yazılır. Paydaya, virgülden sonra devreden sayının basamak sayısı kadar “9”, devretmeyen sayının basamak sayısı kadar da “0” yazılır.

Yukarıdaki sayılardan hangilerinin rasyonel sayı olmadığını bulalım.

 

*** Rasyonel sayılar, a ve b tam sayı ve b ≠ 0 olmak üzere a/b şeklinde yazılabilir. Her rasyonel sayının ondalık gösterimi vardır. Buna karşılık her ondalık gösterim, bir rasyonel sayı olarak yazılamaz. Rasyonel sayı olarak yazılamayan sayılara “irrasyonel sayılar” denir.

 kareköklü sayılarından hangilerinin irrasyonel sayı olduğunu bulalım.

 

*** Rasyonel sayılarla irrasyonel sayılardan meydana gelen sayılara “gerçek sayılar” denir. Gerçek sayılar R ile gösterilir.
Gerçek sayılar, sayı doğrusunu tam olarak doldurur.

Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşiminden oluşan gerçek sayılar, sayı doğrusunu hiçbir nokta açıkta kalmayacak şekilde doldurulur. Her gerçek sayının sayı doğrusu üzerinde bir görüntüsü vardır. – 4 ile + 4 tam sayıları arasındaki bazı gerçek sayıları gösterelim.


Kareköklü Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri

Kareköklü iki sayının çarpma işleminde çarpımı bulmak için kat sayılar birbirleriyle çarpılarak kat sayıya, kök içindeki sayılar da aynı kök içinde birbirleriyle çarpılarak kök içine yazılır.

Alanı 450  m² olan dikdörtgen şeklindeki bir okul bahçesinin uzun kenar uzunluğu 25  m’dir. Bahçenin kısa kenarının uzunluğunu bulalım.

Bahçenin kısa kenar uzunluğu 18 m’dir.

 

*** Kareköklü iki sayı bölünürken sayıların bölümü ortak kök içine yazılabildiği
gibi (payda sıfırdan farklı olmak üzere) aynı kök içinde bulunan bir kesrin pay
ve paydası ayrı ayrı kökler şeklinde de yazılabilir. Bu nedenle a ve b pozitif reel
sayı olmak üzere;

şeklinde ifade edilebilir.


Kareköklü Bir Sayının  Şeklinde İfade Edilmesi ve Şeklindeki İfadenin Katsayısının Kök İçine Alınması

Karekök içindeki bir sayıyı  biçimde yazmak için sayı, çarpanlarına ayrılır. Tam kar olan çarpanlar, karekökü alınarak kök dışına çıkarılır ve kök içinde kalan sayıyla çarpım şeklinde yazılır.

Alanları 55 m² ve 91 m² olan karesel bölgelerin bir kenar uzunluğunun kaç metre olduğunu bulalım.

Alanı 55 m² olan karesel bölgenin bir kenar uzunluğu 55 metredir. 55 sayısını asal çarpanlarına
ayıralım:

55 = 5 • 11
55 sayısının çarpanlarından hiçbiri tam kare sayı olmadığı için 55’in karekökü  şeklinde
gösterilir. Karenin bir kenar uzunluğu  metredir.

Alanı 91 m² olan karesel bölgenin bir kenar uzunluğu  metredir. 91 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

91 = 7 • 13
91 sayısının çarpanlarından hiçbiri tam kare sayı olmadığı için 91’in karekökü  şeklinde
gösterilir. Karenin bir kenar uzunluğu  metredir.

 

*** biçimdeki bir ifadede katsayıyı karekök içine alırken önce katsayının karesi alınır. Daha sonra bu sayı, karekök içinde bulunan sayıyla çarpılarak kök içine alınır.

 

*** Paydasında kareköklü sayı bulunan bir kesrin paydasını rasyonel sayı yapmak için kesrin paydası eşleniği ile çarpılarak genişletilir. Kareköklü sayı ile eşleniğinin çarpımı rasyonel bir sayıdır. Buna göre;
a ≥ 0 olmak üzere,
  sayısının eşleniği kendisidir.

 

Örnek:  nin hangi sayılarla çarpımının bir doğal sayı olduğunu bulalım.

Çözüm:


Kareköklü Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Kök içleri aynı olan kareköklü sayılar toplanıp çıkarılırken önce katsayılar toplanır ve çıkarılır. Sonra işlem sonucu ortak kareköke katsayı olarak yazılır.

Kök içleri aynı olmayan sayılar toplanır ve çıkarılırken önce kök içleri eşitlenir. Sonra toplama ve çıkarma işlemleri yapılır.

Çiftçi Mehmet Bey, alanı 320 m² olan karesel bölge şeklindeki tarlasının çevresine tel çekecektir. Mehmet Bey’in kaç metrelik tele ihtiyacı olduğunu bulalım.


Ondalık İfadelerin Karekökü

Ondalık gösterimlerin kareköklerini belirlemek için ondalık gösterim, öncelikle kesir olarak ifade edilir. Daha sonra pay ve paydanın karekökleri ayrı ayrı alınarak işlem tamamlanır.

Alanı 12,96 m² olan karesel bölgenin bir kenar uzunluğunu bulalım.

 

*** Aşağıdaki tabloyu inceleyelim. Sayıların ondalık gösterimlerini, ondalık gösterimin kesir olarak ifade edilmesi, karekök olarak ifade edilmesi ve sonuçları görelim.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

8.Sınıf Dik Üçgen Ve Pisagor Bağıntısı Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Dik üçgen ve pisagor bağıntısı konusunu öğreneceğiz.

Bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. Bu bağıntıya “Pisagor bağıntısı” denir.

Yukarıdaki bağıntıdan da anlaşılacağı gibi, iki dik kenarın karelerinin toplamı(a ve b kenarlarının karesi) hipotenüsün karesine (c kenarının karesi) eşittir.

Aşağıdaki ABC üçgeninde verilenler yardımıyla |AC| nu hesaplayalım.

ABC üçgeninde Pisagor bağıntısına göre,
|AC|² = |AB|² + |BC|² dir.
|AC|² = 3² + 4²
|AC|² = 9 + 16
|AC|² = 25 (Her iki tarafın karekökünü alırsak)
|AC| = 5 cm’dir.

Örnek: Aşağıda, açılıp kapanabilir bir sandıklı yatağın açık durumdaki görünümü verilmiştir. Verilen bilgilere göre sandık açık olduğunda kapağının yerden yüksekliğinin kaç cm olduğunu bulalım.

Çözüm: Sandık kapağı açıldığında dik üçgen oluşmaktadır. Oluşan dik üçgende hipotenüs uzunluğu verilmiştir. Dik kenarlardan biri de x ile belirtilen uzunluktur.


x = 200 – 40 = 160 cm
Dik üçgendeki diğer dik kenarı, Pisagor bağıntısından yararlanarak bulalım.

y2 + 1602 = 2002

y2 = 40 000 – 25 600

y2 = 14 400

y = 120’dir.

Kapağın yerden yüksekliğini bulmak için sandığın yüksekliğini de dikkate almalıyız.
120 + 50 = 170 cm’dir.

 

Örnek: Koordinat düzleminde A(0, 5), B(6, 3) ve C(0, –5) noktalarının yerlerini belirleyerek A ile B ve B ile C noktaları arasındaki uzaklıkları bulalım.

Çözüm: Koordinat düzleminde verilen noktaları ve bu noktalar arasındaki uzaklıkları gösterelim.

B noktasından y eksenine dikme inerek iki dik üçgen oluşturalım.
ADB dik üçgeninde A ile B noktası arasındaki uzaklığı bulalım.
|AB|² = |AD|² + |BD|²
|AD| = 5 – 3 = 2
|DB| = 6 – 0 = 6
|AB|² = 2² + 6² = 4 + 36 = 40

BDC dik üçgeninde B ile C noktası arasındaki uzaklığı bulalım.
|BC|² = |DB|² + |DC|²
|DC| = |DO| + |CO| = 3 + 5 = 8
|BC|² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
|BC|² = 100
|BC| = 10 br

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

8. Sınıf Matematik Üçgenler Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Üçgenler konusunu öğreneceğiz.

Üçgende Yardımcı Elemanlar (Kenarortay, Açıortay, Yükseklik)

Bir üçgende bir kenarın orta noktasını, karşısındaki köşeye birleştiren doğru parçasına, o kenara ait kenarortay denir. Bir üçgende üç kenarortay vardır. Kenarortaylar aynı noktada kesişir.
Bu noktaya üçgenin “ağırlık merkezi” denir ve “G” harfiyle gösterilir. Üçgenin ağırlık merkezi ve kenarortayları üçgenin iç bölgesinde kalır.

 

Aşağıda verilen ABC üçgeninin açıortaylarını çizelim.

ABC üçgeninde A köşesinin açısı 60°’dir. Açıortay, A açısını 30°’lik iki eş parçaya ayırır. Açıölçerimizi kullanarak A köşesinin açıortayını aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi çizeriz.

B köşesinin açısı 40° olduğundan, B açısını, 20°’lik iki eş parçaya ayırır. Açıölçerimizi kullanarak B açısının açıortayını aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi çizeriz.

C köşesinin açısı 80° olduğundan açıortay C köşesini 40°’lik iki eş parçaya ayırır. Açıölçerimizi kullanarak C köşesinin açıortayını aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi çizeriz.
Böylece ABC üçgenin açıortaylarını çizmiş oluruz.

 

*** Bir üçgenin bir iç açısını ortalayan ışının, iç açı karşısındaki kenarı kestiği noktayla açının köşesi arasında kalan doğru parçasına, o açıya ait “açıortay” denir. Bir üçgende tüm iç açıların açıortayları bir noktada kesişir. Bu nokta ve açıortaylar üçgenin iç bölgesinde kalır.

 

*** Dik üçgende dik kenarlar aynı zamanda yüksekliktir.

Geniş açılı bir üçgen çizelim ve bu üçgene ait yüksekliklerin kesiştikleri noktayı bulalım.

ABC üçgeni, geniş açılı bir üçgendir. Çizilen üçgende a ve b kenarlarına ait yükseklikler, üçgenin dışındadır. Bu nedenle yüksekliklerin kesiştiği nokta, üçgenin dışında bulunan K noktasıdır.

 

*** Bir üçgenin herhangi bir köşesinden karşı kenara çizilen dik doğru parçasına o kenara ait yükseklik denir. Yükseklik, köşenin karşı kenara olan uzaklığı olarak da ifade edilebilir.
Paralel doğruların, eş uzaklıklı doğrular olduğunu hatırlayınız. Bu durumda üçgenin bir köşesinden geçen ve karşı kenara paralel olan doğrunun üzerindeki herhangi bir noktadan inen dikmeye ya da dikmenin uzunluğuna da yükseklik denilebileceğini unutmayınız. Ancak üçgen
geniş açılı ise köşelerden çizilen yüksekliklerin ikisi üçgenin
dışında kalır. 
Bir üçgende üç yükseklik aynı noktada kesişir.
Üçgen, dar açılı ise üçgen kenarına ait yükseklikler, üçgenin içinde kesişir.
Üçgen, dik açılı üçgen ise yükseklikler, dik açının köşesinde kesişir.
Üçgen, geniş açılı üçgen ise yükseklikler, üçgenin dışında kesişir.

Aşağıda verilen ABC ikizkenar üçgeninde eş açıların açıortaylarını, kenarortaylarını ve yüksekliklerini karşılaştıralım ve aradaki ilişkiyi belirleyelim.

 

 

*** İkizkenar üçgenlerde eşit açılardan çizilen; kenarortay, açıortay ve yükseklikler kendi aralarında eşittir.

Aşağıda verilen ABC ikizkenar dik üçgeninde a kenarına ait yüksekliği, kenarortayı ve A açısına ait açıortayı çizelim ve bu uzunluklar arasında nasıl bir ilişki olduğunu bulalım.

ABC üçgenine ait ha yüksekliği, üçgenin aynı zamanda açıortayı ve kenarortayıdır.

ABC ikizkenar üçgeninde, tepe açısına ait açıortay, tabana ait kenarortay ve tabana ait yükseklik, çakışıktır.

 

*** İkizkenar üçgende farklı olan açıdan (tepe açısı) çizilen yükseklik ile açıortay, kenarortay doğruları eş, uzunlukları eşittir.

Aşağıdaki DEF eşkenar üçgeninde her bir kenarına ait yüksekliği, kenarortayı ve her bir iç açısına ait açıortayı çizelim ve bu uzunluklar arasında nasıl bir ilişki olduğunu bulalım.

DEF üçgenine ait hd yüksekliği üçgenin aynı zamanda d kenarına ait kenarortayı ve D açısının açıortayıdır.
hd = Vd = nD
DEF üçgenine ait he yüksekliği üçgenin aynı zamanda e kenarına ait kenarortayı ve E kenarının açıortayıdır.
he = Ve = nE
DEF üçgenine ait hf yüksekliği üçgenin aynı zamanda f kenarına ait kenarortayı ve F açısının açıortayıdır.

hf = Vf = nF

DEF eşkenar üçgeninde açıortay, yükseklik ve kenarortay uzunlukları birbirine eşittir.

 

*** Eşkenar üçgende açının açıortayı ile açının karşısındaki kenarın kenarortayı ve yüksekliği aynı doğru parçasıdır.
Eşkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yüksekliğin uzunlukları eşittir.


Üçgenin Kenarları Arasındaki Bağıntılar

Üçgende bir kenarın uzunluğu; diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür. Bu bağıntıya üçgen eşitsizliği denir.
|a – b|

Kenar uzunlukları a = 5 cm, b = 12 cm, c = 13 cm olan bir üçgen oluşturabilir. Kenar uzunluklarının üçgen eşitsizliklerini sağladığını gösterelim.

 

Örnek: Aşağıdaki üçgene ait verilere göre |KM| =x’in alabileceği tam sayı değerlerini bulalım.

|KN| = 8 cm
|NM| = 3 cm
|LM| = 6 cm
|KL| = 5 cm

Çözüm:

KLM üçgeninde üçgen eşitsizliğini kullanırsak;
|5 – 6| KMN üçgeninde üçgen eşitsizliğini kullanırsak;
|3 – 8| |KM| = x değeri her iki eşitsizliği de sağlamalıdır. O halde;
1 5 5 ile 11 arasındaki tam sayılar 6, 7, 8, 9, 10 olur.


Üçgenin Kenarları ve Açıları Arasındaki İlişki

Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar ve eş açıların karşısında eş kenarlar bulunur. Bu kuralın tersi de doğrudur.

Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denildiğini biliyorsunuz. Dik üçgende 90° lik açıyı oluşturan kenarlara dik kenarlar denir. 90° nin karşısındaki kenara da “hipotenüs” (dik üçgende en uzun kenar) adı verilir.

Dik üçgende en büyük açı dik açıdır. Dik açının karşısında bulunan hipotenüs de en uzun kenardır.

Aşağıdaki şekilde verilen açı ölçülerinden yararlanarak şeklin en uzun kenarını bulalım.


Üçgen Çizimleri

Bir kenar uzunluğu ile bu kenarın uçlarındaki iki iç açısının ölçüsü verilen bir üçgen her zaman çizilebilir.

Üç kenarının uzunluğu verilen bir üçgenin çizilebilmesi için iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük ve iki kenarının uzunluklarının mutlak değeri farkı, üçüncü kenarın uzunluğundan küçük olmalıdır (üçgen eşitsizliği). Bu koşullara uygun olarak üç kenarının uzunluğu verilen bir üçgen, her zaman çizilebilir.

Kenar uzunlukları a = 3,5 cm, b = 3 cm ve c = 4 cm olan ABC üçgenini çizelim.

Önce taslak üçgeni çizelim ve verilenleri taslak üçgen üzerinde gösterelim. Daha sonra 1, 2, 3 ve 4. adımları takip ederek ABC üçgenini çizelim.

1. |BC| = a = 3,5 cm’lik BC doğru parçasını çizelim.
2. B merkezli ve |BA| = c = 4 cm yarıçaplı çember yayını çizelim.
3. C merkezli ve |CA| = b = 3 cm yarıçaplı çember yayını çizelim. Çizdiğimiz
yayların kesim noktası, üçgenin A köşesidir.

4. A noktasını C noktasıyla birleştirerek b kenarını çizelim. Böylece verilen ölçülere uygun ABC üçgenini elde ederiz.

 

*** Üç kenarının uzunluğu verilen bir üçgenin çizilebilmesi için iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük ve iki kenarının uzunluklarının mutlak değeri farkı, üçüncü kenarın uzunluğundan küçük olmalıdır (üçgen eşitsizliği). Bu koşullara uygun olarak üç kenarının uzunluğu verilen bir üçgen, her zaman çizilebilir.

 *** İki kenar uzunluğu ile bu kenarlar arasındaki açısının ölçüsü verilen üçgen, her zaman çizilebilir.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

8. Sınıf Dik Üçgen Ve Pisagor Bağıntısı Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Dik üçgen ve pisagor bağıntısı konusunu öğreneceğiz.

Bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. Bu bağıntıya “Pisagor bağıntısı” denir.

Yukarıdaki bağıntıdan da anlaşılacağı gibi, iki dik kenarın karelerinin toplamı(a ve b kenarlarının karesi) hipotenüsün karesine (c kenarının karesi) eşittir.

Aşağıdaki ABC üçgeninde verilenler yardımıyla |AC| nu hesaplayalım.

ABC üçgeninde Pisagor bağıntısına göre,
|AC|² = |AB|² + |BC|² dir.
|AC|² = 3² + 4²
|AC|² = 9 + 16
|AC|² = 25 (Her iki tarafın karekökünü alırsak)
|AC| = 5 cm’dir.

 

Örnek: Aşağıda, açılıp kapanabilir bir sandıklı yatağın açık durumdaki görünümü verilmiştir. Verilen bilgilere göre sandık açık olduğunda kapağının yerden yüksekliğinin kaç cm olduğunu bulalım.

Çözüm:

Sandık kapağı açıldığında dik üçgen oluşmaktadır. Oluşan dik üçgende hipotenüs uzunluğu verilmiştir. Dik kenarlardan biri de x ile belirtilen uzunluktur.


x = 200 – 40 = 160 cm
Dik üçgendeki diğer dik kenarı, Pisagor bağıntısından yararlanarak bulalım.

y2 + 1602 = 2002

y2 = 40 000 – 25 600

y2 = 14 400

y = 120’dir.

Kapağın yerden yüksekliğini bulmak için sandığın yüksekliğini de dikkate almalıyız.
120 + 50 = 170 cm’dir.

 

Örnek: Koordinat düzleminde A(0, 5), B(6, 3) ve C(0, –5) noktalarının yerlerini belirleyerek A ile B ve B ile C noktaları arasındaki uzaklıkları bulalım.

Çözüm:

Koordinat düzleminde verilen noktaları ve bu noktalar arasındaki uzaklıkları gösterelim.

B noktasından y eksenine dikme inerek iki dik üçgen oluşturalım.
ADB dik üçgeninde A ile B noktası arasındaki uzaklığı bulalım.
|AB|² = |AD|² + |BD|²
|AD| = 5 – 3 = 2
|DB| = 6 – 0 = 6
|AB|² = 2² + 6² = 4 + 36 = 40

BDC dik üçgeninde B ile C noktası arasındaki uzaklığı bulalım.
|BC|² = |DB|² + |DC|²
|DC| = |DO| + |CO| = 3 + 5 = 8
|BC|² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
|BC|² = 100
|BC| = 10 br

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

8. Sınıf Dönüşüm Geometrisi Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Dönüşüm geometrisi konusunu öğreneceğiz.

Şekil hangi nokta etrafında dönderiliyorsa o noktaya “dönme merkezi” denir.
Dönme hareketi yapan cismin hangi yönde döndüğünü belirtmek için “saat yönü” veya “saat yönünün tersi” şeklinde ifadeler kullanılır.
Döndürülen şeklin ilk ve son görünümü arasında oluşan açıya“dönme açısı” denir.

Aşağıda verilen şekli A noktası etrafında saat yönünde 90º döndürüp şeklin görüntüsünü çizelim.

Verilen şekli A noktası etrafında saat yönünde döndürdüğümüzde yeni konumu yandaki gibidir. Şekil ve dönmeden sonra oluşan görüntüsü eştir. Dönme dönüşümünde şeklin üzerinde bulunan her bir nokta da aynı dönme açısı ile yer değiştirmektedir.

*** Şekil ve öteleme sonucunda oluşan görüntüsü eştir. Ötelemede şeklin yeri değişir.

Koordinatları A(0, 3), B(6, 3), C(2, 0) ve D(5, 0) olan bir yamuğu, x ekseninde 7 birim
sola, y ekseninde 5 birim aşağıya öteleme yaparak görüntülerini belirleyelim ve yamuğu çizelim.

Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi 1. adımda BCD yamuğu x ekseninde 7 birim sola ötelenmiş ve A’B’C’D’ yamuğu elde edilmiştir. 2. adımda A’B’C’D’ yamuğu y ekseninde 5 birim aşağıya ötelenmiş ve A”B”C”D” yamuğu elde edilmiştir.

*** Herhangi bir doğru boyunca ötelemede şeklin ve görüntüsünün doğruya uzaklığı eşittir.

*** A(x , y) noktasının x ekseninde a birim, y ekseninde b birim öteleme sonucundaki görüntüsünün koordinatları A”(x + a, y + b) olur.
Doğruya göre öteleme yapılırken x ve y eksenleri boyunca belirtilen yönde ve belirtilen birim kadar bütün noktalar paralel ötelenir.

Koordinatları A(1, 0), B(7, 0) ve C(4, 3) olan bir üçgeni x ekseninde 3 birim sağa, y
ekseninde 4 birim aşağıya öteleme yapalım ve görüntüleri belirleyerek çizelim.

*** A(x , y) noktasının x ekseninde yansıması A'(x, – y) olur. x eksenine göre yansıma alınırken x değişmez, y’nin ise işareti değişir.
A(x, y) noktasının y eksenine göre yansıması A”(– x, y) olur. y eksenine göre yansıma alınırken y değişmez, x’in ise işareti değişir.

Koordinat düzleminde, koordinatları A(– 6, – 1), B(– 1, – 1), C(– 1, – 3), D(– 3, – 3), E(– 3, – 5), F(– 4 – 5), G(– 4 – 3), K(– 6, – 3) olarak verilen çokgenin x eksenine göre yansıma altındaki görüntüsünü çizelim. Koordinatlar arasındaki ilişkiyi belirleyelim.

*** Saatin tersi yönde 270° lik dönme ile saat yönünde 90° lik dönme aynı harekettir. Bunun sebebi her iki açının toplamının 360° ye tamamlanmasıdır.

*** Saat yönünde 270° lik dönme ile saatin tersi yönde 90° lik dönme aynı harekettir.

Koordinatları O(0, 0), A(– 1, 3), B(– 3, 0) olan üçgenin orijin etrafında iki defa saat yönünde 90° lik dönme altındaki görüntülerini bulalım. Oluşan şekillerin koordinatları arasındaki ilişkiyi belirleyelim.

ilk dönmede (90° lik dönmede) koordinatlar:

İkinci dönmede (180° lik dönmede) koordinatlar:

 

*** Koordinatlarından biri (x, y) olan bir şekil, orijin etrafında saat yönünde 90° döndürüldüğünde koordinatı (y, –x), 180° döndürüldüğünde koordinatı (– x, – y), 270° döndürüldüğünde koordinatı (–y, x) olur. 360° döndürüldüğünde ise (x, y) koordinatı değişmez.

Koordinatları O(0, 0), P(3, 0), R(5, 4), S(2, 4) olan paralelkenarın orijin etrafında saat yönünün tersinde 270° lik dönme altındaki görüntüsü olan OP’R’S’ paralelkenarını çizelim ve koordinatları arasındaki ilişkiyi bulalım.


Ardışık Öteleme, Yansıma ve Dönme

Ötelemeli yansımada nokta ve yansıma doğrusundan başka hiçbir doğru sabit kalmaz.
Bir şeklin bir doğru boyunca yansımasından sonra ötelenmesiyle ötelenmesinden sonra yansıması aynıdır.

Yukarıdaki şekilde, üçgenin doğru boyunca yansımasından sonra ötelenmesi çizilmiştir.

Yukarıdaki şekilde, üçgenin doğru boyunca ötelenmesinden sonra yansıması çizilmiştir.

Yukarıdaki şekilde, yukarıdaki şekillerde verilen üçgenin yansımasından sonra ötelenmesi ile ötelenmesinden sonra yansımasının aynı olduğu görülmektedir

 

Örnek: Aşağıdaki koordinat sisteminde I numaralı şekle, çeşitli öteleme ve yansımalar uygulanarak II, III ve IV. şekiller elde edilmiştir. Bu şekillerin I. şekilden nasıl elde edildiğini bulunuz.

Çözüm:

I nolu şeklin y eksenine göre yansıması alınarak II nolu şekil elde edilmiştir.
II nolu şekil, y eksenine göre 5 birim aşağıya ötelenerek III nolu şekil elde edilmiştir.
III nolu şekil, orijin etrafında 270º döndürülerek IV nolu şekil elde edilmiştir.

 

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

8.Sınıf Cebirsel İfadeler Ve Özdeşlikler Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde 8.sınıf matematik Cebirsel ifadeler ve özdeşlikler konusunu öğreneceğiz.

En az bir bilinmeyen ve işlem içeren ifadelere “cebirsel ifadeler”denir. Cebirsel ifadelerde bir
veya birden fazla sayıyı temsil eden harflere “değişken” ya da “bilinmeyen” denir.
Bir cebirsel ifadede bir sayı ile bir veya birden fazla değişkenin çarpımına terim denir.
Bir terimin çarpım durumunda bulunduğu sayıya “katsayı” denir.
Bir cebirsel ifadede değişkeni olmayan terime “sabit terim” denir. Sabit terim de bir katsayıdır.
Örneğin,

Terimler birbirlerinden “+” ve “–” sembolleriyle ayrılırlar.

Nisa’nın yaşı 4x, kardeşinin yaşı 3x’dir. Babasının yaşı Nisa’nın yaşı ile kardeşinin yaşlarının çarpımına eşittir. Nisa’nın babasının yaşını bulalım.

Nisa’nın yaşını kardeşinin yaşı ile çarparsak babalarının yaşını buluruz. O halde;
Babanın yaşı: 4x . 3x = 4 . 3 . x . x = 12 . x² dir.

 

Örnek: Aşağıdaki dikdörtgenin uzun kenarını 3 birim, kısa kenarını 2 birim azaltınca oluşan yeni dikdörtgenin alanını cebirsel olarak ifade edelim.

Çözüm:

Dikdörtgenin uzun kenarı x + 6 , yeni oluşan dikdörtgenin uzun kenarı;
2x + 6 – 3 = 2x + 3 birimdir.
Dikdörtgenin kısa kenarı x + 4, yeni oluşan dikdörtgenin kısa kenarı;
x + 4 – 2 = x + 2 birimdir.

Dikdörtgenin alanı: (2x + 3) . (x + 2) = 2x . x + 2x . 2 + 3 . x + 3 . 2
= 2x² + 4x + 3x + 6
= 2x² + 7x + 6’ dır.


Özdeşlikler

Bilinmeyenin her değeri için doğru olan cebirsel ifadelere “özdeşlik”denir.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
özdeşliğini modelleyerek gösterelim.

Bir kenar uzunluğu a + b olan bir kare alalım.
Kareyi yanda görüldüğü gibi parçalara ayıralım.
Karenin alanını hem karenin alan formülünden hem de içindeki parçaların
alanları toplamından bulalım.
Karenin alanı: (a + b)²
Karenin içindeki parçaların alanları toplamı:

a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² dir.
O halde, (a + b)² = a² + 2ab + b² dir.

 

*** İki terimin toplamının karesi özdeşliği; (a + b)² = a² + 2ab + b² dir.
İki terimin toplamının karesi alınırken birinci terimin karesi, birinci terimle ikinci terimin çarpımlarının iki katı ve ikinci terimin karesi toplanır.

 

*** İki terimin farkının karesi özdeşliği, (a – b)² = a² – 2ab + b² dir.
İki terimin farkının karesi alınırken birinci terimin karesi, birinci terimle ikinci
terimin çarpımlarının eksi iki katı ve ikinci terimin karesi toplanır.

Aşağıdaki cebirsel ifadelere eşit cebirsel ifadeleri iki terimin farkının karesi özdeşliğinden yararlanarak bulalım.
a) (x – 4)²

b) (5 – y)²

c) (2x – 4y)²

a. (x – 4)² = x² – 2 . x . 4 + (– 4)² = x² – 8x + 16
b. (5 – y)² = 5² – 2 . 5 . y + y² = 25 – 10y + y²
c. (2x – 3y)² = (2x)² – 2 . (2x) • (3y) + (– 3y)²
= 4x² – 12yx + 9y²

 

*** İki kare farkı özdeşliği; a² – b² = (a – b) . (a + b)
İki terimin kareleri farkı, iki terimin farkı ile toplamının çarpımına eşittir.

Aşağıda verilen işlemleri iki kare farkı özdeşliğinden yararlanarak yapalım.
a) 105² – 52

b) 85² – 15²

İki kare farkı özdeşliği a² – b² = (a – b) . (a + b)’dir. O halde;
a. 105² – 5² = (105 – 5) . (105 + 5) = 100 . 110 = 11 000
b. 85² – 15² = (85 – 15) . (85 + 15) = 70 . 100 = 7 000’dir.


Cebirsel İfadeleri Çarpanlarına Ayırma

Bir cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırmak, çarpanları o cebirsel ifadeyi veren çarpanların çarpımı olarak yazmaktır.

Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırmaya ortak çarpan parantezine alma yöntemi denir.

3x² + 2x cebirsel ifadesinin çarpanlarını iki farklı yöntemle bulalım.

1. Yol

3x² + 2x cebirsel ifadesinin çarpanlarını modelleme yaparak bulalım.
Önce 3x² + 2x cebirsel ifadesini cebir karolarımızı kullanarak modelleyelim.

3x² + 2x cebirsel ifadesini modellediğimiz parçaları kullanarak bir dikdörtgensel bölge oluşturalım:

Dikdörtgensel bölgenin kenar uzunlukları 3x² + 2x cebirsel ifadesinin çarpanlarıdır.
Çünkü dikdörtgensel bölgenin kenar uzunluklarının çarpımı ve parçalarının alanları-
nın toplamı dikdörtgensel bölgenin alanına eşittir. O halde,
3x² + 2x = x . (3x + 2)’dir.

2. Yol

3x² + 2x cebirsel ifadesinin terimlerin en büyük ortak böleni x’tir. Buna göre;
3x² + 2x = x . 3x + x . 2
= x . (3x + 2)
Ortak çarpan parantezine alma özelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırdık.

 

*** Üç terimli ifadelerde, birinci terimin karekökü ile üçüncü terimin karekökünün çarpımının eksi iki katı ortanca terimine eşit olan cebirsel ifadeler; birinci terimin karekökü ile ikinci terimin karekökünün farkının karesine eşittir.

Aşağıdaki cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayıralım.
a) x² + 14x + 49

b) x² – 12x + 36

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.