8. Sınıf Basit Olayların Olma Olasılığı Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Basit olayların olma olasılığı konusunu öğreneceğiz.

Olası durumlar, mevcut ihtimallerden bir veya birkaçının gerçekleşme durumudur.

5A sınıfında 15 erkek ve 13 kız öğrenci vardır. Sınıf listesinden rastgele seçilen bir öğrenci, başkan olarak görev yapacaktır. Seçilecek öğrencinin kız olma olasılığı ile erkek olma olasılığını karşılaştıralım.

Sınıfta 15 erkek ve 13 kız öğrenci vardır. Erkeklerin sayısı kızların sayısından daha fazla olduğu için seçilecek başkanın erkek olma olasılığı daha fazladır.

 

Örnek: Bir sınıftaki 28 öğrenciden 14’ü basketbol geri kalanlar ise voleybol kursuna gitmektedir. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kurslara gitme olasılıklarını karşılaştıralım.

Çözüm:

28 öğrenciden 14’ü basketbola gidiyorsa, 28 – 14 = 14’ü de voleybola gidiyordur. O halde sınıfta basketbol ve voleybol kursuna giden öğrenci sayıları eşittir. Rastgele seçilen öğrencinin basketbol veya voleybol kursuna gidiyor olma olasılıkları eşittir.


Olay ve Bu Olayın Olma Olasılığı

Eşit şansa sahip olaylarda her bir çıktı eş olasılıklıdır ve bu değer 1/n’dir. Buradaki “n” olası durum sayısını temsil etmektedir.

1’den 15’e kadar olan sayıların yazılı olduğu kâğıtlar torbaya konur ve bir çekiliş yapılırsa her bir sayının gelme olasılığını inceleyelim.

Torbadan bir kâğıt çekildiğinde olası durumlar 1’den 15’e kadar olan sayılardır. Yani olası durum sayısı 15’tir. Torbadan her bir kâğıdın çekilmesi olayı eşit şansa sahip olaylardır. O hâlde her bir çıktı eş olasılıklıdır.
Torbadan her bir sayının çıkma olasılığı 1/15 ’tir.

 

Bir olayın olma olasılığı: İstenilen olayın çıktı sayısı/olayın durum sayısı
Bir olayın olma olasılığı 0 ile 1 (dahil) arasında değer alır.
Bir olay her zaman gerçekleşiyorsa bu olaya kesin olay denir. Olasılık değeri 1’dir.
Bir olay hiçbir zaman gerçekleşmiyorsa bu olaya “imkânsız olay” denir. Olasılık değeri 0’dır.

Aşağıdaki renkli sayı çarkı döndürüldüğünde okun aşağıda istenen sayı ve renkte durma olasılığını bulalım.


a) Pembe renkte durma olasılığı
b) Sarı renkte durma olasılığı
c) Beyaz renkte durma olasılığı
ç) Tek sayıda durma olasılığı
d) Çift sayıda durma olasılığı
e) Mavi renkte durma olasılığı
f) Pembe, sarı veya beyaz renkte durma olasılığı

a. Okun pembe renkte durma olasılığı: = 5/10 = 0,5 = % 50

b. Okun sarı renkte durma olasılığı: =2/10 = 0,2 = % 20

c. Okun beyaz renkte durmama olasılığı: = 3/10 = 0,3 = % 30

ç. Okun tek sayıda durma olasılığı: = 5/10 = 0,5 = % 50

d. Okun çift sayıda durma olasılığı: = 5/10 = 0,5 = % 50

e. Okun mavi renkte durma olasılığı: = 0/10 = 0 = % 0

f. Okun pembe, sarı veya beyaz renkte durma olasılığı: = 10/10 = 1 = % 100

 

Örnek: Bir torbada 1’den 8’e kadar numaralandırılmış 8 özdeş top vardır. Torbadan bir top çekilecektir. Buna göre aşağıdaki olayların olasılıklarını hesaplayalım.

a) 3 numaralı topun çekilme olasılığı
b) Tek numaralı top çekilme olasılığı
c) 3’ten küçük numaralı top çekilme olasılığı
ç) Top çekilme olasılığı
d) Bilye çekilme olasılığı

Çözüm:

a. 3 numaralı topun çekilme olasılığı: 1/8
b. Tek numaralı top çekilme olasılığı: 4/8
c. 3’ten küçük numaralı top çekilme olasılığı: = 2/8 = 1/4
ç. Top çekilme olasılığı: = 8/8 = 1 (kesin olay)
d. Bilye çekilme olasılığı: = 0/8 = 0 (imkânsız olay)

 

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

8. Sınıf Kareköklü İfadeler Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Kareköklü ifadelerkonusunu öğreneceğiz.

1, 4, 9, 16 gibi sayılara “tam kare doğal sayılar” adı verilir. Çünkü bu sayı kadar noktalardan bir kare elde edilebilir.

Asal sayılar, tam kare doğal sayı değillerdir.

Aşağıdaki sayılardan hangilerinin tam kare doğal sayı olduğunu bulalım.
25, 31, 49, 56, 64, 90, 121, 144, 169

 

*** Karesi alınmış bir doğal sayı verildiğinde bu doğal sayının karesi alınmadan önceki hâlini bulmak için sayının karekökü alınır. Karekök sembolüyle gösterilir.
Karekökleri tam sayı olan doğal sayılara “tam kare sayılar” denir.

Bir paket lastiğiyle geometri tahtasında, alanı 16 br² olan bir kare oluşturalım. Oluşturduğumuz karenin bir kenarının uzunluğunu bulalım.

Bu kareyi oluşturmak için karenin bir kenarının uzunluğunu bulmalıyız.
“Hangi sayının kendisiyle çarpımı 16 olur?” diye düşünmeliyiz.
4 • 4 = 16 ve (-4) • (-4) = 16 olur.
Uzunluk ölçütleri negatif olamayacağından 16 = 4 • 4’tür.


Tam Kare Olmayan Sayıların Kareköklerinin Tahmin Edilmesi

Tam kare olmayan sayıların karekökleri tahmin edilirken bilinen tam kare sayılarının kareköklerinden yararlanılabilir. Bunun için şu adımlar izlenebilir:
• Karekökü tahmin edilecek sayıya (x) en yakın tam kare sayılar bulunur. Bunlara a ve b diyelim.
Bu sayıdan büyük ve küçük olacak şekildeki en yakın sayılar: a 
• Bu üç sayı küçükten büyüğe doğru sembol kullanılarak sıralanır.
• a 
• Aynı sıralama karekökleri için yapılır: a 
• Sonucun hangi tam sayılar arasında bir sayı olacağı tahmin edilir.
• En yakın onda birliğe kadar tahmin etmek için karekökü tahmin edilecek sayının (x’in) a ve b sayılarına olan uzaklığı bulunur. Buna göre x hangi sayıya daha yakın ise ona göre bir tahmin yapılır.
• Tam kare olmayan sayıların karekökleri irrasyonal sayılardır. Çünkü bu sayıların karekök değerleri tam olarak hesaplanamaz. Yaklaşık olarak hesaplanır.

31 sayısının karekökünü en yakın onda birliğine kadar tahmin edelim.

31’e en yakın olan 31’den küçük ve büyük tam kare sayılar 25 ve 36’dır

Bu nedenle karekök 31 yaklaşık olarak 5,6 olarak tahmin edilebilir.


Gerçek Sayılar

Devirli ondalık gösterimler rasyonel sayıya çevrilirken aşağıda verilen kısa yöntem de kullanılabilir.
Devirli ondalık gösterimde, virgül yok kabul edilerek sayıdan devreden sayıya kadar olan bölüm çıkarılır ve paya yazılır. Paydaya, virgülden sonra devreden sayının basamak sayısı kadar “9”, devretmeyen sayının basamak sayısı kadar da “0” yazılır.

Yukarıdaki sayılardan hangilerinin rasyonel sayı olmadığını bulalım.

 

*** Rasyonel sayılar, a ve b tam sayı ve b ≠ 0 olmak üzere a/b şeklinde yazılabilir. Her rasyonel sayının ondalık gösterimi vardır. Buna karşılık her ondalık gösterim, bir rasyonel sayı olarak yazılamaz. Rasyonel sayı olarak yazılamayan sayılara “irrasyonel sayılar” denir.

 kareköklü sayılarından hangilerinin irrasyonel sayı olduğunu bulalım.

 

*** Rasyonel sayılarla irrasyonel sayılardan meydana gelen sayılara “gerçek sayılar” denir. Gerçek sayılar R ile gösterilir.
Gerçek sayılar, sayı doğrusunu tam olarak doldurur.

Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşiminden oluşan gerçek sayılar, sayı doğrusunu hiçbir nokta açıkta kalmayacak şekilde doldurulur. Her gerçek sayının sayı doğrusu üzerinde bir görüntüsü vardır. – 4 ile + 4 tam sayıları arasındaki bazı gerçek sayıları gösterelim.


Kareköklü Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri

Kareköklü iki sayının çarpma işleminde çarpımı bulmak için kat sayılar birbirleriyle çarpılarak kat sayıya, kök içindeki sayılar da aynı kök içinde birbirleriyle çarpılarak kök içine yazılır.

Alanı 450  m² olan dikdörtgen şeklindeki bir okul bahçesinin uzun kenar uzunluğu 25  m’dir. Bahçenin kısa kenarının uzunluğunu bulalım.

Bahçenin kısa kenar uzunluğu 18 m’dir.

 

*** Kareköklü iki sayı bölünürken sayıların bölümü ortak kök içine yazılabildiği
gibi (payda sıfırdan farklı olmak üzere) aynı kök içinde bulunan bir kesrin pay
ve paydası ayrı ayrı kökler şeklinde de yazılabilir. Bu nedenle a ve b pozitif reel
sayı olmak üzere;

şeklinde ifade edilebilir.


Kareköklü Bir Sayının  Şeklinde İfade Edilmesi ve Şeklindeki İfadenin Katsayısının Kök İçine Alınması

Karekök içindeki bir sayıyı  biçimde yazmak için sayı, çarpanlarına ayrılır. Tam kar olan çarpanlar, karekökü alınarak kök dışına çıkarılır ve kök içinde kalan sayıyla çarpım şeklinde yazılır.

Alanları 55 m² ve 91 m² olan karesel bölgelerin bir kenar uzunluğunun kaç metre olduğunu bulalım.

Alanı 55 m² olan karesel bölgenin bir kenar uzunluğu 55 metredir. 55 sayısını asal çarpanlarına
ayıralım:

55 = 5 • 11
55 sayısının çarpanlarından hiçbiri tam kare sayı olmadığı için 55’in karekökü  şeklinde
gösterilir. Karenin bir kenar uzunluğu  metredir.

Alanı 91 m² olan karesel bölgenin bir kenar uzunluğu  metredir. 91 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

91 = 7 • 13
91 sayısının çarpanlarından hiçbiri tam kare sayı olmadığı için 91’in karekökü  şeklinde
gösterilir. Karenin bir kenar uzunluğu  metredir.

 

*** biçimdeki bir ifadede katsayıyı karekök içine alırken önce katsayının karesi alınır. Daha sonra bu sayı, karekök içinde bulunan sayıyla çarpılarak kök içine alınır.

 

*** Paydasında kareköklü sayı bulunan bir kesrin paydasını rasyonel sayı yapmak için kesrin paydası eşleniği ile çarpılarak genişletilir. Kareköklü sayı ile eşleniğinin çarpımı rasyonel bir sayıdır. Buna göre;
a ≥ 0 olmak üzere,
  sayısının eşleniği kendisidir.

 

Örnek:  nin hangi sayılarla çarpımının bir doğal sayı olduğunu bulalım.

Çözüm:


Kareköklü Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Kök içleri aynı olan kareköklü sayılar toplanıp çıkarılırken önce katsayılar toplanır ve çıkarılır. Sonra işlem sonucu ortak kareköke katsayı olarak yazılır.

Kök içleri aynı olmayan sayılar toplanır ve çıkarılırken önce kök içleri eşitlenir. Sonra toplama ve çıkarma işlemleri yapılır.

Çiftçi Mehmet Bey, alanı 320 m² olan karesel bölge şeklindeki tarlasının çevresine tel çekecektir. Mehmet Bey’in kaç metrelik tele ihtiyacı olduğunu bulalım.


Ondalık İfadelerin Karekökü

Ondalık gösterimlerin kareköklerini belirlemek için ondalık gösterim, öncelikle kesir olarak ifade edilir. Daha sonra pay ve paydanın karekökleri ayrı ayrı alınarak işlem tamamlanır.

Alanı 12,96 m² olan karesel bölgenin bir kenar uzunluğunu bulalım.

 

*** Aşağıdaki tabloyu inceleyelim. Sayıların ondalık gösterimlerini, ondalık gösterimin kesir olarak ifade edilmesi, karekök olarak ifade edilmesi ve sonuçları görelim.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

8.Sınıf Dik Üçgen Ve Pisagor Bağıntısı Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Dik üçgen ve pisagor bağıntısı konusunu öğreneceğiz.

Bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. Bu bağıntıya “Pisagor bağıntısı” denir.

Yukarıdaki bağıntıdan da anlaşılacağı gibi, iki dik kenarın karelerinin toplamı(a ve b kenarlarının karesi) hipotenüsün karesine (c kenarının karesi) eşittir.

Aşağıdaki ABC üçgeninde verilenler yardımıyla |AC| nu hesaplayalım.

ABC üçgeninde Pisagor bağıntısına göre,
|AC|² = |AB|² + |BC|² dir.
|AC|² = 3² + 4²
|AC|² = 9 + 16
|AC|² = 25 (Her iki tarafın karekökünü alırsak)
|AC| = 5 cm’dir.

Örnek: Aşağıda, açılıp kapanabilir bir sandıklı yatağın açık durumdaki görünümü verilmiştir. Verilen bilgilere göre sandık açık olduğunda kapağının yerden yüksekliğinin kaç cm olduğunu bulalım.

Çözüm: Sandık kapağı açıldığında dik üçgen oluşmaktadır. Oluşan dik üçgende hipotenüs uzunluğu verilmiştir. Dik kenarlardan biri de x ile belirtilen uzunluktur.


x = 200 – 40 = 160 cm
Dik üçgendeki diğer dik kenarı, Pisagor bağıntısından yararlanarak bulalım.

y2 + 1602 = 2002

y2 = 40 000 – 25 600

y2 = 14 400

y = 120’dir.

Kapağın yerden yüksekliğini bulmak için sandığın yüksekliğini de dikkate almalıyız.
120 + 50 = 170 cm’dir.

 

Örnek: Koordinat düzleminde A(0, 5), B(6, 3) ve C(0, –5) noktalarının yerlerini belirleyerek A ile B ve B ile C noktaları arasındaki uzaklıkları bulalım.

Çözüm: Koordinat düzleminde verilen noktaları ve bu noktalar arasındaki uzaklıkları gösterelim.

B noktasından y eksenine dikme inerek iki dik üçgen oluşturalım.
ADB dik üçgeninde A ile B noktası arasındaki uzaklığı bulalım.
|AB|² = |AD|² + |BD|²
|AD| = 5 – 3 = 2
|DB| = 6 – 0 = 6
|AB|² = 2² + 6² = 4 + 36 = 40

BDC dik üçgeninde B ile C noktası arasındaki uzaklığı bulalım.
|BC|² = |DB|² + |DC|²
|DC| = |DO| + |CO| = 3 + 5 = 8
|BC|² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
|BC|² = 100
|BC| = 10 br

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

8. Sınıf Matematik Üçgenler Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Üçgenler konusunu öğreneceğiz.

Üçgende Yardımcı Elemanlar (Kenarortay, Açıortay, Yükseklik)

Bir üçgende bir kenarın orta noktasını, karşısındaki köşeye birleştiren doğru parçasına, o kenara ait kenarortay denir. Bir üçgende üç kenarortay vardır. Kenarortaylar aynı noktada kesişir.
Bu noktaya üçgenin “ağırlık merkezi” denir ve “G” harfiyle gösterilir. Üçgenin ağırlık merkezi ve kenarortayları üçgenin iç bölgesinde kalır.

 

Aşağıda verilen ABC üçgeninin açıortaylarını çizelim.

ABC üçgeninde A köşesinin açısı 60°’dir. Açıortay, A açısını 30°’lik iki eş parçaya ayırır. Açıölçerimizi kullanarak A köşesinin açıortayını aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi çizeriz.

B köşesinin açısı 40° olduğundan, B açısını, 20°’lik iki eş parçaya ayırır. Açıölçerimizi kullanarak B açısının açıortayını aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi çizeriz.

C köşesinin açısı 80° olduğundan açıortay C köşesini 40°’lik iki eş parçaya ayırır. Açıölçerimizi kullanarak C köşesinin açıortayını aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi çizeriz.
Böylece ABC üçgenin açıortaylarını çizmiş oluruz.

 

*** Bir üçgenin bir iç açısını ortalayan ışının, iç açı karşısındaki kenarı kestiği noktayla açının köşesi arasında kalan doğru parçasına, o açıya ait “açıortay” denir. Bir üçgende tüm iç açıların açıortayları bir noktada kesişir. Bu nokta ve açıortaylar üçgenin iç bölgesinde kalır.

 

*** Dik üçgende dik kenarlar aynı zamanda yüksekliktir.

Geniş açılı bir üçgen çizelim ve bu üçgene ait yüksekliklerin kesiştikleri noktayı bulalım.

ABC üçgeni, geniş açılı bir üçgendir. Çizilen üçgende a ve b kenarlarına ait yükseklikler, üçgenin dışındadır. Bu nedenle yüksekliklerin kesiştiği nokta, üçgenin dışında bulunan K noktasıdır.

 

*** Bir üçgenin herhangi bir köşesinden karşı kenara çizilen dik doğru parçasına o kenara ait yükseklik denir. Yükseklik, köşenin karşı kenara olan uzaklığı olarak da ifade edilebilir.
Paralel doğruların, eş uzaklıklı doğrular olduğunu hatırlayınız. Bu durumda üçgenin bir köşesinden geçen ve karşı kenara paralel olan doğrunun üzerindeki herhangi bir noktadan inen dikmeye ya da dikmenin uzunluğuna da yükseklik denilebileceğini unutmayınız. Ancak üçgen
geniş açılı ise köşelerden çizilen yüksekliklerin ikisi üçgenin
dışında kalır. 
Bir üçgende üç yükseklik aynı noktada kesişir.
Üçgen, dar açılı ise üçgen kenarına ait yükseklikler, üçgenin içinde kesişir.
Üçgen, dik açılı üçgen ise yükseklikler, dik açının köşesinde kesişir.
Üçgen, geniş açılı üçgen ise yükseklikler, üçgenin dışında kesişir.

Aşağıda verilen ABC ikizkenar üçgeninde eş açıların açıortaylarını, kenarortaylarını ve yüksekliklerini karşılaştıralım ve aradaki ilişkiyi belirleyelim.

 

 

*** İkizkenar üçgenlerde eşit açılardan çizilen; kenarortay, açıortay ve yükseklikler kendi aralarında eşittir.

Aşağıda verilen ABC ikizkenar dik üçgeninde a kenarına ait yüksekliği, kenarortayı ve A açısına ait açıortayı çizelim ve bu uzunluklar arasında nasıl bir ilişki olduğunu bulalım.

ABC üçgenine ait ha yüksekliği, üçgenin aynı zamanda açıortayı ve kenarortayıdır.

ABC ikizkenar üçgeninde, tepe açısına ait açıortay, tabana ait kenarortay ve tabana ait yükseklik, çakışıktır.

 

*** İkizkenar üçgende farklı olan açıdan (tepe açısı) çizilen yükseklik ile açıortay, kenarortay doğruları eş, uzunlukları eşittir.

Aşağıdaki DEF eşkenar üçgeninde her bir kenarına ait yüksekliği, kenarortayı ve her bir iç açısına ait açıortayı çizelim ve bu uzunluklar arasında nasıl bir ilişki olduğunu bulalım.

DEF üçgenine ait hd yüksekliği üçgenin aynı zamanda d kenarına ait kenarortayı ve D açısının açıortayıdır.
hd = Vd = nD
DEF üçgenine ait he yüksekliği üçgenin aynı zamanda e kenarına ait kenarortayı ve E kenarının açıortayıdır.
he = Ve = nE
DEF üçgenine ait hf yüksekliği üçgenin aynı zamanda f kenarına ait kenarortayı ve F açısının açıortayıdır.

hf = Vf = nF

DEF eşkenar üçgeninde açıortay, yükseklik ve kenarortay uzunlukları birbirine eşittir.

 

*** Eşkenar üçgende açının açıortayı ile açının karşısındaki kenarın kenarortayı ve yüksekliği aynı doğru parçasıdır.
Eşkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yüksekliğin uzunlukları eşittir.


Üçgenin Kenarları Arasındaki Bağıntılar

Üçgende bir kenarın uzunluğu; diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür. Bu bağıntıya üçgen eşitsizliği denir.
|a – b|

Kenar uzunlukları a = 5 cm, b = 12 cm, c = 13 cm olan bir üçgen oluşturabilir. Kenar uzunluklarının üçgen eşitsizliklerini sağladığını gösterelim.

 

Örnek: Aşağıdaki üçgene ait verilere göre |KM| =x’in alabileceği tam sayı değerlerini bulalım.

|KN| = 8 cm
|NM| = 3 cm
|LM| = 6 cm
|KL| = 5 cm

Çözüm:

KLM üçgeninde üçgen eşitsizliğini kullanırsak;
|5 – 6| KMN üçgeninde üçgen eşitsizliğini kullanırsak;
|3 – 8| |KM| = x değeri her iki eşitsizliği de sağlamalıdır. O halde;
1 5 5 ile 11 arasındaki tam sayılar 6, 7, 8, 9, 10 olur.


Üçgenin Kenarları ve Açıları Arasındaki İlişki

Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar ve eş açıların karşısında eş kenarlar bulunur. Bu kuralın tersi de doğrudur.

Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denildiğini biliyorsunuz. Dik üçgende 90° lik açıyı oluşturan kenarlara dik kenarlar denir. 90° nin karşısındaki kenara da “hipotenüs” (dik üçgende en uzun kenar) adı verilir.

Dik üçgende en büyük açı dik açıdır. Dik açının karşısında bulunan hipotenüs de en uzun kenardır.

Aşağıdaki şekilde verilen açı ölçülerinden yararlanarak şeklin en uzun kenarını bulalım.


Üçgen Çizimleri

Bir kenar uzunluğu ile bu kenarın uçlarındaki iki iç açısının ölçüsü verilen bir üçgen her zaman çizilebilir.

Üç kenarının uzunluğu verilen bir üçgenin çizilebilmesi için iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük ve iki kenarının uzunluklarının mutlak değeri farkı, üçüncü kenarın uzunluğundan küçük olmalıdır (üçgen eşitsizliği). Bu koşullara uygun olarak üç kenarının uzunluğu verilen bir üçgen, her zaman çizilebilir.

Kenar uzunlukları a = 3,5 cm, b = 3 cm ve c = 4 cm olan ABC üçgenini çizelim.

Önce taslak üçgeni çizelim ve verilenleri taslak üçgen üzerinde gösterelim. Daha sonra 1, 2, 3 ve 4. adımları takip ederek ABC üçgenini çizelim.

1. |BC| = a = 3,5 cm’lik BC doğru parçasını çizelim.
2. B merkezli ve |BA| = c = 4 cm yarıçaplı çember yayını çizelim.
3. C merkezli ve |CA| = b = 3 cm yarıçaplı çember yayını çizelim. Çizdiğimiz
yayların kesim noktası, üçgenin A köşesidir.

4. A noktasını C noktasıyla birleştirerek b kenarını çizelim. Böylece verilen ölçülere uygun ABC üçgenini elde ederiz.

 

*** Üç kenarının uzunluğu verilen bir üçgenin çizilebilmesi için iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük ve iki kenarının uzunluklarının mutlak değeri farkı, üçüncü kenarın uzunluğundan küçük olmalıdır (üçgen eşitsizliği). Bu koşullara uygun olarak üç kenarının uzunluğu verilen bir üçgen, her zaman çizilebilir.

 *** İki kenar uzunluğu ile bu kenarlar arasındaki açısının ölçüsü verilen üçgen, her zaman çizilebilir.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

8. Sınıf Dik Üçgen Ve Pisagor Bağıntısı Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Dik üçgen ve pisagor bağıntısı konusunu öğreneceğiz.

Bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. Bu bağıntıya “Pisagor bağıntısı” denir.

Yukarıdaki bağıntıdan da anlaşılacağı gibi, iki dik kenarın karelerinin toplamı(a ve b kenarlarının karesi) hipotenüsün karesine (c kenarının karesi) eşittir.

Aşağıdaki ABC üçgeninde verilenler yardımıyla |AC| nu hesaplayalım.

ABC üçgeninde Pisagor bağıntısına göre,
|AC|² = |AB|² + |BC|² dir.
|AC|² = 3² + 4²
|AC|² = 9 + 16
|AC|² = 25 (Her iki tarafın karekökünü alırsak)
|AC| = 5 cm’dir.

 

Örnek: Aşağıda, açılıp kapanabilir bir sandıklı yatağın açık durumdaki görünümü verilmiştir. Verilen bilgilere göre sandık açık olduğunda kapağının yerden yüksekliğinin kaç cm olduğunu bulalım.

Çözüm:

Sandık kapağı açıldığında dik üçgen oluşmaktadır. Oluşan dik üçgende hipotenüs uzunluğu verilmiştir. Dik kenarlardan biri de x ile belirtilen uzunluktur.


x = 200 – 40 = 160 cm
Dik üçgendeki diğer dik kenarı, Pisagor bağıntısından yararlanarak bulalım.

y2 + 1602 = 2002

y2 = 40 000 – 25 600

y2 = 14 400

y = 120’dir.

Kapağın yerden yüksekliğini bulmak için sandığın yüksekliğini de dikkate almalıyız.
120 + 50 = 170 cm’dir.

 

Örnek: Koordinat düzleminde A(0, 5), B(6, 3) ve C(0, –5) noktalarının yerlerini belirleyerek A ile B ve B ile C noktaları arasındaki uzaklıkları bulalım.

Çözüm:

Koordinat düzleminde verilen noktaları ve bu noktalar arasındaki uzaklıkları gösterelim.

B noktasından y eksenine dikme inerek iki dik üçgen oluşturalım.
ADB dik üçgeninde A ile B noktası arasındaki uzaklığı bulalım.
|AB|² = |AD|² + |BD|²
|AD| = 5 – 3 = 2
|DB| = 6 – 0 = 6
|AB|² = 2² + 6² = 4 + 36 = 40

BDC dik üçgeninde B ile C noktası arasındaki uzaklığı bulalım.
|BC|² = |DB|² + |DC|²
|DC| = |DO| + |CO| = 3 + 5 = 8
|BC|² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
|BC|² = 100
|BC| = 10 br

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

8. Sınıf Dönüşüm Geometrisi Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Dönüşüm geometrisi konusunu öğreneceğiz.

Şekil hangi nokta etrafında dönderiliyorsa o noktaya “dönme merkezi” denir.
Dönme hareketi yapan cismin hangi yönde döndüğünü belirtmek için “saat yönü” veya “saat yönünün tersi” şeklinde ifadeler kullanılır.
Döndürülen şeklin ilk ve son görünümü arasında oluşan açıya“dönme açısı” denir.

Aşağıda verilen şekli A noktası etrafında saat yönünde 90º döndürüp şeklin görüntüsünü çizelim.

Verilen şekli A noktası etrafında saat yönünde döndürdüğümüzde yeni konumu yandaki gibidir. Şekil ve dönmeden sonra oluşan görüntüsü eştir. Dönme dönüşümünde şeklin üzerinde bulunan her bir nokta da aynı dönme açısı ile yer değiştirmektedir.

*** Şekil ve öteleme sonucunda oluşan görüntüsü eştir. Ötelemede şeklin yeri değişir.

Koordinatları A(0, 3), B(6, 3), C(2, 0) ve D(5, 0) olan bir yamuğu, x ekseninde 7 birim
sola, y ekseninde 5 birim aşağıya öteleme yaparak görüntülerini belirleyelim ve yamuğu çizelim.

Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi 1. adımda BCD yamuğu x ekseninde 7 birim sola ötelenmiş ve A’B’C’D’ yamuğu elde edilmiştir. 2. adımda A’B’C’D’ yamuğu y ekseninde 5 birim aşağıya ötelenmiş ve A”B”C”D” yamuğu elde edilmiştir.

*** Herhangi bir doğru boyunca ötelemede şeklin ve görüntüsünün doğruya uzaklığı eşittir.

*** A(x , y) noktasının x ekseninde a birim, y ekseninde b birim öteleme sonucundaki görüntüsünün koordinatları A”(x + a, y + b) olur.
Doğruya göre öteleme yapılırken x ve y eksenleri boyunca belirtilen yönde ve belirtilen birim kadar bütün noktalar paralel ötelenir.

Koordinatları A(1, 0), B(7, 0) ve C(4, 3) olan bir üçgeni x ekseninde 3 birim sağa, y
ekseninde 4 birim aşağıya öteleme yapalım ve görüntüleri belirleyerek çizelim.

*** A(x , y) noktasının x ekseninde yansıması A'(x, – y) olur. x eksenine göre yansıma alınırken x değişmez, y’nin ise işareti değişir.
A(x, y) noktasının y eksenine göre yansıması A”(– x, y) olur. y eksenine göre yansıma alınırken y değişmez, x’in ise işareti değişir.

Koordinat düzleminde, koordinatları A(– 6, – 1), B(– 1, – 1), C(– 1, – 3), D(– 3, – 3), E(– 3, – 5), F(– 4 – 5), G(– 4 – 3), K(– 6, – 3) olarak verilen çokgenin x eksenine göre yansıma altındaki görüntüsünü çizelim. Koordinatlar arasındaki ilişkiyi belirleyelim.

*** Saatin tersi yönde 270° lik dönme ile saat yönünde 90° lik dönme aynı harekettir. Bunun sebebi her iki açının toplamının 360° ye tamamlanmasıdır.

*** Saat yönünde 270° lik dönme ile saatin tersi yönde 90° lik dönme aynı harekettir.

Koordinatları O(0, 0), A(– 1, 3), B(– 3, 0) olan üçgenin orijin etrafında iki defa saat yönünde 90° lik dönme altındaki görüntülerini bulalım. Oluşan şekillerin koordinatları arasındaki ilişkiyi belirleyelim.

ilk dönmede (90° lik dönmede) koordinatlar:

İkinci dönmede (180° lik dönmede) koordinatlar:

 

*** Koordinatlarından biri (x, y) olan bir şekil, orijin etrafında saat yönünde 90° döndürüldüğünde koordinatı (y, –x), 180° döndürüldüğünde koordinatı (– x, – y), 270° döndürüldüğünde koordinatı (–y, x) olur. 360° döndürüldüğünde ise (x, y) koordinatı değişmez.

Koordinatları O(0, 0), P(3, 0), R(5, 4), S(2, 4) olan paralelkenarın orijin etrafında saat yönünün tersinde 270° lik dönme altındaki görüntüsü olan OP’R’S’ paralelkenarını çizelim ve koordinatları arasındaki ilişkiyi bulalım.


Ardışık Öteleme, Yansıma ve Dönme

Ötelemeli yansımada nokta ve yansıma doğrusundan başka hiçbir doğru sabit kalmaz.
Bir şeklin bir doğru boyunca yansımasından sonra ötelenmesiyle ötelenmesinden sonra yansıması aynıdır.

Yukarıdaki şekilde, üçgenin doğru boyunca yansımasından sonra ötelenmesi çizilmiştir.

Yukarıdaki şekilde, üçgenin doğru boyunca ötelenmesinden sonra yansıması çizilmiştir.

Yukarıdaki şekilde, yukarıdaki şekillerde verilen üçgenin yansımasından sonra ötelenmesi ile ötelenmesinden sonra yansımasının aynı olduğu görülmektedir

 

Örnek: Aşağıdaki koordinat sisteminde I numaralı şekle, çeşitli öteleme ve yansımalar uygulanarak II, III ve IV. şekiller elde edilmiştir. Bu şekillerin I. şekilden nasıl elde edildiğini bulunuz.

Çözüm:

I nolu şeklin y eksenine göre yansıması alınarak II nolu şekil elde edilmiştir.
II nolu şekil, y eksenine göre 5 birim aşağıya ötelenerek III nolu şekil elde edilmiştir.
III nolu şekil, orijin etrafında 270º döndürülerek IV nolu şekil elde edilmiştir.

 

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

8.Sınıf Cebirsel İfadeler Ve Özdeşlikler Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde 8.sınıf matematik Cebirsel ifadeler ve özdeşlikler konusunu öğreneceğiz.

En az bir bilinmeyen ve işlem içeren ifadelere “cebirsel ifadeler”denir. Cebirsel ifadelerde bir
veya birden fazla sayıyı temsil eden harflere “değişken” ya da “bilinmeyen” denir.
Bir cebirsel ifadede bir sayı ile bir veya birden fazla değişkenin çarpımına terim denir.
Bir terimin çarpım durumunda bulunduğu sayıya “katsayı” denir.
Bir cebirsel ifadede değişkeni olmayan terime “sabit terim” denir. Sabit terim de bir katsayıdır.
Örneğin,

Terimler birbirlerinden “+” ve “–” sembolleriyle ayrılırlar.

Nisa’nın yaşı 4x, kardeşinin yaşı 3x’dir. Babasının yaşı Nisa’nın yaşı ile kardeşinin yaşlarının çarpımına eşittir. Nisa’nın babasının yaşını bulalım.

Nisa’nın yaşını kardeşinin yaşı ile çarparsak babalarının yaşını buluruz. O halde;
Babanın yaşı: 4x . 3x = 4 . 3 . x . x = 12 . x² dir.

 

Örnek: Aşağıdaki dikdörtgenin uzun kenarını 3 birim, kısa kenarını 2 birim azaltınca oluşan yeni dikdörtgenin alanını cebirsel olarak ifade edelim.

Çözüm:

Dikdörtgenin uzun kenarı x + 6 , yeni oluşan dikdörtgenin uzun kenarı;
2x + 6 – 3 = 2x + 3 birimdir.
Dikdörtgenin kısa kenarı x + 4, yeni oluşan dikdörtgenin kısa kenarı;
x + 4 – 2 = x + 2 birimdir.

Dikdörtgenin alanı: (2x + 3) . (x + 2) = 2x . x + 2x . 2 + 3 . x + 3 . 2
= 2x² + 4x + 3x + 6
= 2x² + 7x + 6’ dır.


Özdeşlikler

Bilinmeyenin her değeri için doğru olan cebirsel ifadelere “özdeşlik”denir.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
özdeşliğini modelleyerek gösterelim.

Bir kenar uzunluğu a + b olan bir kare alalım.
Kareyi yanda görüldüğü gibi parçalara ayıralım.
Karenin alanını hem karenin alan formülünden hem de içindeki parçaların
alanları toplamından bulalım.
Karenin alanı: (a + b)²
Karenin içindeki parçaların alanları toplamı:

a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² dir.
O halde, (a + b)² = a² + 2ab + b² dir.

 

*** İki terimin toplamının karesi özdeşliği; (a + b)² = a² + 2ab + b² dir.
İki terimin toplamının karesi alınırken birinci terimin karesi, birinci terimle ikinci terimin çarpımlarının iki katı ve ikinci terimin karesi toplanır.

 

*** İki terimin farkının karesi özdeşliği, (a – b)² = a² – 2ab + b² dir.
İki terimin farkının karesi alınırken birinci terimin karesi, birinci terimle ikinci
terimin çarpımlarının eksi iki katı ve ikinci terimin karesi toplanır.

Aşağıdaki cebirsel ifadelere eşit cebirsel ifadeleri iki terimin farkının karesi özdeşliğinden yararlanarak bulalım.
a) (x – 4)²

b) (5 – y)²

c) (2x – 4y)²

a. (x – 4)² = x² – 2 . x . 4 + (– 4)² = x² – 8x + 16
b. (5 – y)² = 5² – 2 . 5 . y + y² = 25 – 10y + y²
c. (2x – 3y)² = (2x)² – 2 . (2x) • (3y) + (– 3y)²
= 4x² – 12yx + 9y²

 

*** İki kare farkı özdeşliği; a² – b² = (a – b) . (a + b)
İki terimin kareleri farkı, iki terimin farkı ile toplamının çarpımına eşittir.

Aşağıda verilen işlemleri iki kare farkı özdeşliğinden yararlanarak yapalım.
a) 105² – 52

b) 85² – 15²

İki kare farkı özdeşliği a² – b² = (a – b) . (a + b)’dir. O halde;
a. 105² – 5² = (105 – 5) . (105 + 5) = 100 . 110 = 11 000
b. 85² – 15² = (85 – 15) . (85 + 15) = 70 . 100 = 7 000’dir.


Cebirsel İfadeleri Çarpanlarına Ayırma

Bir cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırmak, çarpanları o cebirsel ifadeyi veren çarpanların çarpımı olarak yazmaktır.

Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırmaya ortak çarpan parantezine alma yöntemi denir.

3x² + 2x cebirsel ifadesinin çarpanlarını iki farklı yöntemle bulalım.

1. Yol

3x² + 2x cebirsel ifadesinin çarpanlarını modelleme yaparak bulalım.
Önce 3x² + 2x cebirsel ifadesini cebir karolarımızı kullanarak modelleyelim.

3x² + 2x cebirsel ifadesini modellediğimiz parçaları kullanarak bir dikdörtgensel bölge oluşturalım:

Dikdörtgensel bölgenin kenar uzunlukları 3x² + 2x cebirsel ifadesinin çarpanlarıdır.
Çünkü dikdörtgensel bölgenin kenar uzunluklarının çarpımı ve parçalarının alanları-
nın toplamı dikdörtgensel bölgenin alanına eşittir. O halde,
3x² + 2x = x . (3x + 2)’dir.

2. Yol

3x² + 2x cebirsel ifadesinin terimlerin en büyük ortak böleni x’tir. Buna göre;
3x² + 2x = x . 3x + x . 2
= x . (3x + 2)
Ortak çarpan parantezine alma özelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırdık.

 

*** Üç terimli ifadelerde, birinci terimin karekökü ile üçüncü terimin karekökünün çarpımının eksi iki katı ortanca terimine eşit olan cebirsel ifadeler; birinci terimin karekökü ile ikinci terimin karekökünün farkının karesine eşittir.

Aşağıdaki cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayıralım.
a) x² + 14x + 49

b) x² – 12x + 36

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

8. Sınıf Eşlik Ve Benzerlik Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde 8.Sınıf Matematik Eşlik ve benzerlik konusunu öğreneceğiz.

Eş şekillerde, karşılık gelen kenar uzunlukları ve açı ölçüleri eşittir. Eş şekiller “≅” sembolü ile gösterilir.
Benzer şekillerde karşılık gelen açı ölçüleri eşit fakat kenar uzunlukları orantılıdır. Benzer şekiller “≈”  sembolü ile gösterilir.

Aşağıdaki geometri tahtasında oluşturulmuş şekilleri inceleyelim. Şekiller eş mi yoksa benzer mi belirleyelim.

Her iki şekil de paralelkenardır. Paralelkenarların açı ölçüleri ve kenar uzunlukları eşittir. Bu iki şekil eştir. Bu iki şekil eş olduğundan aynı zamanda benzer şekillerdir.

*** Eş şekiller aynı zamanda benzer şekillerdir. Ancak benzer şekiller eş olmak zorunda değildir.

Aşağıda ABC üçgeni verilmiştir. Aşağıdaki üçgenlerden hangisinin verilen ABC üçgenine
eş, hangisinin benzer olduğunu bulalım.

a) ABC ve DEF eşkenar üçgenlerdir. Bu durumda;
ABC ve DEF eşkenar üçgenlerinin her bir iç açısının ölçüsü 60º dir.
ABC ve DEF üçgenlerinin karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşittir.

ABC ve DEF eşkenar üçgenlerinin karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır.

|AB| = 2 br, |DE| = 4 br

|BC| = 2 br, |EF| = 4 br

|AC| = 2 br, |DF| = 4 br

ABC ve DEF eşkenar üçgenlerinden kenar uzunlukları arasında 2 kat ilişkisi vardır. ABC üçgeni DEF üçgenine benzerdir.

b) ABC ve GHK eşkenar üçgenlerdir. Bu durumda;
ABC ve DEF eşkenar üçgenlerinin her bir iç açısının ölçüsü 60º dir.
ABC ve DEF üçgenlerinin karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşittir.


ABC ve GHK eşkenar üçgenlerinin karşılıklı kenar uzunlukları ikişer birimdir. Bu durumda,

|AB| = |GH| = 1 br

|BC| = |HK| = 1 br

|AC| = |GK| = 1 br

ABC üçgeni DEF üçgenine benzerdir. ABC üçgeni GHK üçgeni ile eştir.

*** Benzer şekillerde karşılıklı kenar uzunlukları oranı birbirine eşittir. Bu orana “benzerlik oranı” denir. Eş şekillerde benzerlik oranı 1’dir.

Aşağıda üçgensel kağıtta (eşkenar üçgenlerden oluşan kağıt) verilen üçgenler
benzerdir. Üçgenlerin benzerlik oranını bulalım.

ABC üçgeni ve KLM üçgeni eşkenar üçgenlerdir. ABC üçgeninin kenar uzunlukları üçer birim, KLM üçgeninin kenar uzunlukları ikişer birimdir.

 

*** Çokgenlerin eşliğini veya benzerliğini yazarken ortak açıyı gösteren harfler ve orantılı kenarlar aynı sırayla yazılmalıdır.

Aşağıda verilen üçgenler benzerdir ve üçgenlerde aynı renkte verilen açı ölçüleri eşittir. Buna
göre, üçgenlerin benzerlik oranını bulalım.

ABC ve EFD üçgenleri benzerdir. Çünkü ortak açıyı gösteren harfler ve orantılı kenarlar aynı sırayla yazılmalıdır.

 

Örnek: Fotokopi kelimesinin Türk Dil Kurumu sözlüğündeki anlamı “tıpkıçekim”dir. Günlük yaşamımızda işimizi oldukça kolaylaştıran fotokopi makineleri bir belgeyi bire bir aynı şekilde kopyaladığı gibi istenilen oranda büyüterek ve küçülterek de çoğaltabilir.
Boyutları 12 cm ve 16 cm olan bir resmi, fotokopi makinasında %50 oranında
büyüterek çoğalttığımızda, resmin yeni boyutlarını ve benzerlik oranını
bulalım.

Çözüm:

Resmin bulunduğu kağıdın boyutlarını kareli kağıdımız da çizerek modelleyelim.
Resmin %50 oranında büyütülmesi her bir kenar uzunluğunun %50 oranında artırılması demektir. O halde kısa kenar uzunluğundaki artış;
12 . (50/100) = 6 cm
uzun kenar uzunluğundaki artış;
16 .(50/100) = 8 cm olur.
Resmin %50 büyümesinden sonraki boyutları:
kısa kenar, 12 + 6 = 18 cm ve uzun kenar 16 + 8 = 24 cm’dir.

Resmi yeni boyutlarına göre kareli kağıdımıza çizerek modelleyelim. Benzerlik oranını bulalım.
Karşılıklı kenarlar arasındaki oran;
uzun kenarlar arasındaki oran: 16/24 = 2/3
kısa kenarlar arasındaki oran: 12/18 =2/3 ’tür.
Öyleyse benzerlik oranı 2/3’tür.

 

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

8. Sınıf Doğrusal Denklemler Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Doğrusal denklemler konusunu öğreneceğiz.

y = 2x – 1 doğrusal denkleminin grafiğini çizelim. Denklemin belirttiği grafiği çizmek için önce bir tablo
oluşturalım. Tabloda x değişkenine farklı değerler vererek y değişkeninin alacağı değerleri bulalım. Bulduğumuz
noktaları koordinat sisteminde gösterelim ve bu noktalardan geçen doğru grafiğini çizelim. (Doğrusal
denklemlerin grafiğini çizerken en az iki nokta bulunması yeterlidir. Çünkü iki noktadan yalnız bir doğru geçer.
Aşağıda, grafik çiziminin daha iyi anlaşılması için ikiden fazla nokta bulunacak şekilde değerler verildi.)

Doğrusal denklemlerin grafikleri bir doğru belirtir.

Mehmet Bey bilgisayar malzemeleri satmak için bir mağaza açmıştır. Mehmet Bey ilk üç ay sırası ile 12 000, 8000 ve 4000 TL zarar etmiştir.

Dördüncü ayda ne kar ne de zarar etmiştir. Beşinci aydan itibaren sıra ile 4000, 8 000 ve 16 000 TL kar etmiştir. Mağazanın kar-zarar durumunu aylara göre gösteren bir tablo düzenleyelim. Tablodan yararlanarak grafik ve denklemi oluşturalım ve yorumlayalım.

Tablodaki örüntüyü incelediğimizde kar-zarar durumunu y ile gösterirsek bu sayı ile geçen süre olan x arasındaki ilişkinin y = 4x – 16 şeklinde olduğunu görürüz.

Pozitif ve negatif değerlerimiz olduğu için grafik, 1 ve 4. bölgede çizilmiştir. x değişkenine (süreye bağlı olarak) y’nin değeri (kar-zarar durumu) değişmektedir. Buna göre x bağımsız, y bağımlı değişkendir. Grafiğin x eksenini kestiği nokta olan (4, 0) da mağaza ne kar ne de zarar etmektedir. 1. bölgede mağaza karda, 2. bölgede ise zarardadır. Grafiğe göre mağaza her ay bir önceki aya göre 4000 TL daha fazla kazanmaktadır. Grafik y eksenini kesmemektedir. Çünkü 0. ayda mağaza açılmadığı için mağazanın ne kâr ne de zarar durumu söz konusudur.

(0, 0) noktası denklemi sağlıyorsa yani x = 0 için y = 0 oluyorsa bu doğru orijinden geçer. Orijinden geçen doğru denklemlerinde sabit terim yoktur.

y = 3x denkleminin grafiğini çizelim ve yorumlayalım.

y = 3x denkleminde x’in alacağı farklı değerler için y’nin alacağı değerleri bulalım. Yani x’i bağımsız, y’yi bağımlı değişken olarak alalım.

 

 x = a biçimindeki doğrular, y eksenine paraleldir. Bu doğrular, x eksenini (a, 0) noktasında keser.

y = a biçimindeki doğrular, x eksenine paraleldir. Bu doğrular, y eksenini (0, a) noktasında keser.

Aşağıda verilen denklemlerin grafiklerini çizelim ve yorumlayalım.

a) x = 4 ve x = -2

b) y = 3 ve y = -4

Verilen denklemler birer doğru belirtir.
a. x = 4 ve x = – 2 doğrularında x sabit bir değerdir. Doğrular y eksenine paraleldir.
x = 4 doğrusu x eksenini (4, 0) noktasında keser.

x = – 2 doğrusu x eksenini (– 2, 0) noktasında keser

b) y = 3 ve y = – 4 doğrularında y sabit bir değerdir. Doğrular x eksenine paraleldir.
y = 3 doğrusu x eksenini (0, 3) noktasında keser.
y = – 4 doğrusu x eksenini (0, – 4) noktasında keser

y = ax + b biçiminde sabit terimi olan doğrusal denklemlerin grafikleri x ve y eksenlerini keser.

y = 2x + 4 denkleminin grafiğini çizelim ve yorumlayalım.

y = 2x + 4 denkleminde sabit terim vardır. O halde grafiğin x ve y eksenini kestiği noktaları belirleyerek çizim yapılabilir. Bunun için x ve y yerine 0 yazılır. Doğrunun eksenleri kestiği noktalar dışında diğer noktaları da tabloda vererek grafiğimizi çizelim.


Doğrusal Eğim

Bir yüzey ya da doğru üzerinde, birim uzaklıktaki iki nokta arasındaki yükselme ya da alçalma değerine “eğim” denir.
Eğim m harfiyle gösterilir

m = Dikey uzunluk/Yatay uzunluk

Bir tren önce 1. demir yolunda bir süre devam etmiş daha sonra 2. demir yoluna geçmiştir. Tren 1. demir yolundan 2. demir yoluna geçtiğinde eğimde nasıl bir değişiklik olduğunu bulalım.

1. demir yolundaki eğim:

m = dikey uzunluk/yatay uzunluk

m = 3/4 = 75/100 = %75

2. demir yolundaki eğim:

m = dikey uzunluk/yatay uzunluk

m = 5/12 = 40/96 ≈ 40/100 = %40

Birinci yoldaki eğim %75, ikinci yoldaki eğim %40’tır. O halde eğim, birinci yoldan ikinci yola geçerken azalmıştır.

 

*** Doğrunun eğimi pozitif veya negatif olabilir. Eğimi pozitif olan doğrular, sağa doğru; eğimi negatif olan doğrular, sola doğru eğimlidirler.

*** y = mx + b biçimindeki bir denklemde x’in katsayısı olan m sayısına, “doğrunun eğimi” denir.

y = x + 2 doğrusunun grafiğini çizerek eğimini bulalım.

y = x + 2 denkleminde, x değişkenine verilen değerlere bağlı olarak y değişkeninin aldığı değerleri bir tabloya sıralı ikililer halinde yazalım:

y = x + 2 doğrusu sağa doğru eğimli olduğu için eğimi pozitif değer alır.
m = dikey uzunluk/yatay uzunluk
m = 3/3 = 1’dir.

y = x + 2 doğrusunun eğimini grafik çizmeden bulalım.

*** x eksenine paralel olan doğruların eğimi sıfırdır.

*** y eksenine paralel olan doğruların eğimi sonsuzdur.

*** Doğruların eğimlerini karşılaştırırken eğimi veren değerlerin mutlak değeri alınarak karşılaştırma yapılır.

x – 3y + 6 = 0 doğrusunun eğimini bulalım.

x – 3y + 6 = 0 doğrusal denkleminde y değişkenini x değişkeni cinsinden düzenleyelim.
3y = x + 6

O halde y = (1/3) . x + 2 ise m = 1/3’tür.


Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

Bir denklemde eşitliğin her iki tarafını aynı sayıyla toplamak, çıkarmak, çarpmak ya da bölmek denklemdeki eşitliği bozmaz.

Ali’nin yaşının iki katının üçte biri 18’dir. Ali kaç yaşındadır?

Ali’nin yaşına x dersek, Ali’nin yaşının iki katının üçte biri 2/3.x olur.
Ali’nin yaşının iki katının üçte biri 18’e eşit ise 2/3.x = 18’dir.
Denklemi çözelim:

*** Paydayı “0” yapan değerler, bilinmeyen değer olarak alınmaz.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

8.Sınıf Matematik Denklem Sistemleri Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Denklem sistemleri konusunu öğreneceğiz.

a, b, c ∈ R , a ≠ 0, b ≠ 0 olmak üzere ax + by = c eşitliği bir denklemdir. x ve y bilinmeyenlerinin her ikisinin üssü de 1 olduğundan bu denklem birinci derecedendir. Ayrıca denklemde, x ve y gibi iki bilinmeyen bulunduğundan denklem iki bilinmeyenlidir.

Bu tür denklemlere “birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler”denir. İki bilinmeyenli denklemde bilinmeyen
değerleri bulabilmek için iki denkleme ihtiyaç vardır. Bu iki denkleme “iki bilinmeyenli denklem sistemi” denir.

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için kullanılan yollardan biri “yok etme metodu”dur. Yok etme metodu, bilinmeyenlerin, bilinmeyenlerden birinin yok edilmesiyle bulunmasıdır.
1. Bir eşitliğin iki yanı aynı gerçek sayıyla çarpılırsa ya da bölünürse eşitlik bozulmaz.
2. İki eşitlik taraf tarafa toplanırsa yeni bir eşitlik elde edilir.
Yukarıdaki düzenlemeler bilinmeyenlerden biri yok edilecek şekilde yapılmalıdır.
Bu iki özellikten yararlanılarak birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin ortak çözümü bulunur.

2x + y = 2
x – y = 4

Denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisini bulalım.

Denklemleri taraf tarafa toplarsak x’e göre bir bilinmeyenli bir denklem elde edilir.

x’in değerini, verilen denklemlerden birinde yerine yazarsak diğer bilinmeyeni de bulabiliriz.
x = 2 değerini 2x + y = 2 denkleminde yerine yazalım:
2 . 2 + y = 2
4 + y = 2
y = – 2 olur.

 

*** İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için kullanılan yollardan biri de “yerine koyma metodu”dur. Bu metotta önce bilinmeyenlerden biri, diğeri cinsiden bulunur ve diğer denklemde yerine koyularak birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem elde edilir. Bu denklem çözülür sonra diğer bilinmeyen bulunur.

2x + y = 16
-3x + y = -9

denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisini yerine koyma metodundan yararlanarak
bulalım.

2x + y = 16 denkleminde y’yi çekelim, 2. denklemde yerine yazalım.
2x + y = 16 ise y = 16 – 2x’dir.
– 3x + y = – 9 (ikinci denklem)
– 3x + (16 – 2x) = – 9
– 5x + 16 = – 9 ise – 5x = – 25 ve x = 5’tir.
Birinci denklemde x değerini yerine yazarak y değerini bulalım.
2x + y = 16
2 . 5 + y = 16 ise y = 6’dır. Denklem sistemini (5, 6) sıralı ikilisi sağlar.


Doğrusal Denklem Sistemlerini Grafik Kullanarak Çözme

Doğrusal denklem sistemini oluşturan doğruların grafiklerinin kesim noktası, denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisini yani denklemin çözümünü verir.

x – y = 5
x + y = 1
denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisini cebirsel yöntemle ve grafik kullanarak
bulalım.

(x, y) sıralı ikilisini cebirsel yöntemlerden yok etme metodu ile bulalım;

x değerini (1) denkleminde yerine yazarsak;

3 – y = 5

y = 3 – 5

y = -2 bulunur. Sistemi sağlayan (x,y) sıralı ikilisi (3,-2)’dir. Denklemleri verilen doğruları, aynı koordinat sisteminde çizelim;

(1) x – y = 5 denkleminde,

x = 0 için y = -5

y = 0 için x = 5 olur.

(2)

x + y = 1 denkleminde,

x = 0 için y = 1

y = 0 için x = 1 olur.

(1) ve (2) denklemleriyle verilen doğruların kesim noktası olan A’dan koordinat eksenlerine dikmeler inerek A noktasının apsisinin 3 ve ordinatının – 2 olduğunu buluruz.
A(3, – 2) olur.
Verilen iki bilinmeyenli denklem sistemini sağlayan x ve y değerleri x = 3 ve y = – 2’dir.
x Denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisi (3, – 2)’dir

 

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.