6.Sınıf Çember Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Çember konusunu öğreneceğiz.

Bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi düzlemde çember belirtir. 

Çemberin tam orta noktasına “çemberin merkezi” denir.

*** Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi pergel yardımıyla çember çizilebilir.

     

Çizilen çemberde kağıt üzerinde sabitlenen pergelin iğneli ucu, çizilen çemberin orta noktasıdır. İşte bu nokta çemberin merkezidir.

 

*** Çemberin merkezini çember üzerindeki herhangi bir noktaya birleştiren doğru parçasına “yarıçap” adı verilir. ve r ile gösterilir. Yukarıdaki çemberinde yarıçapı 7 cm’dir.

*** Çemberin yarıçap uzunluğunun 2 katı uzunluğa “çap” adı verilir ve R ile gösterilir. R = 2 . r

*** Çap çember üzerindeki en büyük uzunluktur.

*** Çembersel bölgelere daire adı verilir. Çembersel bölge içi dolu çember şeklinde ifade edilebilir.

Örnek: Aşağıda verilenlerden hangilerinin bir daireye model olabileceğini belirtiniz.

Çözüm:

Simit şekli, içinin tamamen dolu olmaması sebebi ile bir daire modeli olamaz.

Madeni para ve duvar saati şekilleri ise içlerinin dolu olması ile birer daire modeli olabilir.

*** Bir çemberin uzunluğunun çarpımına oranı sabit bir sayıdır. Bu sayıya π (pi) adı verilir. π’nin yaklaşık değeri 3,14’tür.

*** Çapı veya yarıçapı verilen bir çemberin uzunluğu (çevresi) Ç ile gösterilir.

Ç = Çap . π

    = R . π

    = 2r . π  bağıntısı ile hesaplanır.

Örnek: Bir bisikletin tekerleğinin yarıçapı 45 cm’dir. Bisikletin ön tekeri 50 tur attığında kaç m yol ilerleyeceğini bulunuz. (π = 3 alınız.)

Çözüm:

Bir teker bir tam tur döndüğünde çevresi kadar yol gider.

Tekerleğin çevresi = 2 . r . π

= 2 . 45 . 3

= 270 cm’dir.

Bisikletin ön tekeri 50 tur attığında;

270 . 50 = 13 500 cm = 135 m yol alır.

 

Örnek: Şekilde boyutları verilen bir havuz 14 m ve 12 m’den oluşan dikdörtgen ve O merkezli yarım daireden oluşmaktadır. Buna göre havuzun çevresini hesaplayınız. (π = 3)

Çözüm: 

Yukarıdaki şekilde de görüldüğü üzere havuz bir kare ve yarım daireden oluşmaktadır. O halde biz dikdörtgen ve dairenin çevresini bulursak havuzunda çevresini buluruz.

Dikdörtgen çevresi = 12 + 12 + 14 = 38 m

Burada unutulmaması gereken husus, [BC] kenarı çevreye dahil olmadığı için dikdörtgenin çevresi hesaplanırken hesaba katılmaz.

Havuz yarım daireden oluştuğu için çevreyi 2’ye bölmemiz gerekir.

Yarım dairenin çevresi = (R . π) / 2

= (14 . 3) / 2

= 42 / 2 = 21 m

O halde havuzun çevresi 38 + 21 = 59 m olacaktır.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

6.Sınıf Sıvılarda Ölçme Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Sıvılarda ölçme konusunu öğreneceğiz.

Bir kabın hacmi, aynı zamanda o kabın alabileceği sıvı miktarını da gösterir.

Sıvı ölçü birimlerinde büyük birimler küçük birimlere çevrilirken her adımda 10 ile çarpılır. Küçük birimler büyük birimlere çevrilirken her adımda 10’a bölünür.

Aşağıda hacimleri verilen kapların ölçülerini litreye dönüştürelim.

 

Örnek: 9 L + 3000 cm³ + 8 dm³ toplamının kaç mL’ye eşit olduğunu bulunuz.

Çözüm:

Öncelikle üç ifadeyi de mL’ye çevirelim.

  • 9 L = 9 . 1000 = 9 000 mL
  • 3 000 cm³ = 3 dm³ = 3 L

3 L = 3 000 mL

  • 8 dm³ = 8 L

8 L = 8 000 mL

Üç ifadeyi de toplarsak sonuca ulaşmış oluruz;

9 000 + 3 000 + 8 000 = 20 000 mL yapar.

 

*** Sıvı ölçme temel birimi “litredir” ve L ile gösterilir.

*** Sıvı ölçme birimleri ile hacim ölçme birimleri arasında 1 L = 1 dm³ şeklinde bir bağlantı vardır.

 

Örnek: Aşağıdaki şekilde verilen akvaryumun hacmi 0,005 m³’tür. Buna göre akvaryumun kaç L su alacağını bulunuz.

Çözüm:

Öncelikle akvaryumun hacmini dm³’e çevirelim.

0,005 m³ = 0,005 . 1000 = 5 dm³

1 dm³ = 1 L olduğuna göre; 5 dm³’de 5 L’dir.

Örnek: Aşağıda ölçüleri verilen dikdörtgenler prizması şeklindeki akvaryumun en fazla kaç litre su alabileceğini bulunuz.

Çözüm:

Öncelikle akvaryumun hacmini hesaplayalım.

Hacim = taban alanı x yükseklik

= 80 x 120 x 60

= 576 000 cm³

1 L = 1 dm³ olduğuna göre akvaryumun hacmini dm³ cinsinden bulalım.

576 000 cm³ = 576 dm³ olduğuna göre akvaryum 576 L olur.

Örnek: 3 portokal ve 1 nar ile ortalama 400 mL karışık meyve suyu hazırlanmaktadır. Buna göre 5 nar ve 15 portakal sıkıldığında kaç dm³ karışık meyve suyu hazırlanmış olur?

Çözüm:

3 portakal + 1 nar = 400 mL meyve suyu ise her iki tarafı 5 ile çarptığımızda;

5 . (3 portakal + 1 nar) = 5 . 400 mL

15 portakal + 5 nar = 2 000 mL yapar.

2 000 mL’nin kaç dm³ yaptığını bulalım.

2 000 mL = 2 L yapar. 1 L’de 1 dm³’ eşit olduğuna göre cevap 2 dm³’tür.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

6.Sınıf Geometrik Cisimler Ve Hacim Ölçme Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Geometrik cisimler ve hacim ölçme konusunu öğreneceğiz.

Ayrıt uzunluğu 1 br olan küpe “birim küp” denir.

Hacim, herhangi bir cismin boşlukta kapladığı yerdir. Örneğin bir süt kutusunun hacmi, içine alabildiği sütün kapladığı yer olarak düşünülebilir.

Yukarıdaki birim küplerden oluşan dikdörtgenler prizmasının ayrıt uzunluklarının kaç birim olduğunu bulalım.

Yukarıda görüldüğü gibi prizmanın ayrıt uzunlukları 4 br, 3 br, 2 br şeklindedir.

*** Bir cismin hacmini, içinde hiç boşluk kalmayacak şekilde konulabilecek malzemelerle ölçmüş oluruz.

*** Bir prizmanın hacmi; prizmanın taban alanı ile yüksekliği çarpılarak bulunur.

Dikdörtgenler prizmasının hacmi; Taban alanı x Yükseklik

= a x b x h’dir.

Örnek: Aşağıda verilen cismin taban alanı 100 cm² ve yüksekliği 15 cm’dir. Cismin hacmini bulunuz.

Çözüm:

Hacim = taban alanı . yükseklik

             = 100 cm² . 15 cm

             = 1500 cm³’tür. 

*** Kare prizma ve küp, dikdörtgenler prizmasının iki özel halidir. Kare prizmanın hacmi;

Hacim = a² . h’dir.

Küpün hacmi ise; 

Hacim = a² . a

= a³’tür.

Örnek: Aşağıdaki şekilde kare prizmadan başka bir dikdörtgenler prizması kesilerek çıkarılıyor. Kalan cismin hacmini bulunuz.

Çözüm:

Bu sorunun cevabı için öncekikle kare prizmanın hacmini ardından çıkarılan dikdörtgen prizmanın hacmini bulmamız gerekir. Sonrada kare prizmanın hacminden dikdörtgen prizmanın hacmini çıkarırsak kalan alanı bulabiliriz.

Kare prizmanın hacmi = 10 cm . 10 cm . 15 cm = 1500 cm³

Dikdörtgen prizmanın hacmi = 5 cm . 6 cm . 8 cm = 240  cm³

Kalan hacim alanı = 1500 – 240 = 1260  cm³

*** Bir prizmanın içine hiç boşluk kalmayacak şekilde yerleştirilen bir başka prizmadan kaç adet kullanıldığını  iki prizmanın hacimlerini oranlayarak hesaplayabiliriz.

Örnek: Taban alanı 100 cm³ ve yüksekliği 40 cm olan kare prizmanın içine bir ayrıtının uzunluğu 5 cm olan küplerden kaç tane yerleştirileceğini bulunuz.

Çözüm:

Kare prizmanın hacmini küpün hacmine oranlayarak kaç küpe ihtiyaç olduğunu hesaplayabiliriz.

Kare prizmanın hacmi = 100 . 40 = 4000 cm³

Küpün hacmi = 5³ = 125 cm³

Küp sayısı = 4000/125 = 32 tanedir.


Hacim Ölçme Birimleri

Hacim ölçüsü temel birimi metreküptür ve m³ ile gösterilir.

Hacim ölçülerinde büyük birimler küçük birimlere çevrilirken her adımda 1000 ile çarpılır. Küçük birimler büyük birimlere çevrilirken her adımda 1000’e bölünür.

5 m³ + 6000 cm³ toplamının sonucunun kaç dm³ olduğunu bulalım.

Verilen birimleri dm³’e çevirelim.

5 m³ = 5 . 1000 = 5000 dm³

6000 cm³ = 6000/1000 = 6 dm³

Bu durumda;

5 m³ + 6000 cm³ = 5006 dm³’e eşittir.

 

Örnek: Aşağıda tamamen su dolu olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kabın içindeki suyun bir kısmı, boş olan diğer dikdörtgenler prizmasının tamamı dolacak şekilde içine boşaltıldığında kapta kaç m³ su kalacağını bulunuz.

Çözüm: 

Su dolu kabın ve boş kabın hacimlerini hesaplayalım ve merteküpe çevirelim.

1800 . 1200 . 2000 = 4 320 000 000 mm³

= 4,32 m³

Boş kabın hacmi = 25 . 10 . 6 = 1500 dm³

= 1,5 m³

Kapta kalan su miktarı = 4,32 – 1,5

= 2,82 m³’tür. 

Örnek: 100 dm³’lük bir bidonun içindeki kolonya eşit hacimli 100 şişeye tam dolu şekilde boşaltılıyor. Buna göre bir şişenin hacminin kaç cm³ olduğunu bulunuz.

Çözüm:

Öncelikle 100 cm³ hacmi m³’e çevirelim.

100 dm³ = 10 000 cm³

10 000 cm³ kolonyayı 12 adet şişeye doldurduğuna göre 10 000 cm³’ü 100’e bölersek şişenin hacmini bulabiliriz.

10 000 cm³ / 100 =  100 cm³

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

6.Sınıf Alan Ölçme Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Alan ölçme konusunu öğreneceğiz.

Paralelkenarın Alanı

Paralel olan iki kenarın birinden diğerine çizilen ve her iki kenara dik olan doğru parçası paralelkenarın yüksekliğidir.

  • |AD| = |BC|
  • |AB| = |DC|
  • [AB] // [DC]
  • [AD] // [BC]

                              

[EF] ve [GH] paralelkenarın                           [EF], [GH] ve [KL] verilen

yükseklikleri olup uzunlukları                        paralelkenarın yükseklikleridir.

birbirine eşittir. |EF|=|GH|                            |EF|=|GH|’dir.

Ancak |KL| diğer iki yüksekliğe eşit olmayabilir.

*** Kare ve dikdörtgen, paralel kenarın iki özel durumudur ve ikisi de birer parelelkenardır.

*** Paralelkenarın alanı; bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir.

A(ABCD) = |AB| x |DE|

                  = a x h

Karenin alanı;

A(ABCD) = a²’dir.

Dikdörtgenin alanı;

A(ABCD) = a x b’dir.

 

*** Aynı doğru üzerinde bulunan noktalara “doğrusal noktalar”veya “doğrudaş noktalar” adı verilir.

 

Örnek: Şeklide ABCD bir paralelkenar ve A, B, ve H doğrudaş noktalardır. [AH] ve [CH] doğruları birbirine dik ve |DC| = 15 cm’dir. ABCD paralelkenarının alanı 210 cm² olduğuna göre [CH]’nin uzunluğunu bulunuz. 

Çözüm: 

[CH], ABCD paralelkenarının yüksekliğidir.

A(ABCD) = |AB| . |CH|’dır.

210 = 15 . |CH|

|CH| = 210/15 = 14 cm’dir.


Üçgenin Alanı

Bir üçgende herhangi bir köşeden karşı kenara çizilen dik doğru parçası üçgenin yüksekliğidir. 

Dar açılı üçgenlerde yükseklikler üçgenin içinde bir notada kesişir.

*** Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.

 

*** Geniş açılı üçgenlerde kenara ait yüksekliklerin ikisi üçgenin dışındadır.

a tabanına ait yükseklik ha üçgenin dışındadır.

*** Dik üçgenin alanı, dik kenarının uzunlukları çarpımının yarısıdır.

 

Örnek: Kenar uzunlukları 5 cm, 12 cm ve 13 cm olan dik üçgenin en uzun kenarına ait yüksekliğinin kaç cm olduğunu bulunuz.  

Çözüm:

Alanın bağlantılarını eşitleyelim.

Örnek: Aşağıdaki şekilde [AE] ve [BC], [DF] ve [BC] birbirine diktir. |AE| = 8 cm ve |DF| = 5 cm olduğuna göre tarlı olmayan bölgenin alanının ABC üçgeninin alanına oranını bulunuz. 

Çözüm:

Öncelikle üçgenin alanını bulalım.

Üçgenin alanı = taban x yükseklik

(|BC| x |AE|)/2 = (8 x |BC|)/2 = 4|BC| üçgenin alanı

Taralı olmayan bölgenin alanını bulalım.

(|DF| x |BC|)/2 = (5 x |BC|)/2 = 2,5|BC| taralı olmayan bölgenin alanı

Taralı bölgenin alanını ise üçgenin alanından taralı olamayan bölgenin alanını çıkararak bulabiliriz.

Taralı alan = 4|BC| – 52,5|BC| = 1,5|BC|

Bizden istenen üçgenin alanı/taralı bölge alanı;

4|BC|/1.5|BC| = 8/3 eder.


Alan Ölçü Birimleri

Alan ölçüsünün temel birimi metrekaredir.

Alan ölçüleri kendi aralarında 100’er kat büyüler ve 100’er kat küçülür.

Her bir basamak için 100 ile çarpılır. 

1 m² = 10 000 cm²

         = 1 000 000 mm² 

Her bir basamak için 100 ile bölünür.

1 m² = 0,000001 km²

Örnek: Aşağıdaki tabloda bir kütüphanede bulunan çalışma salonlarının taban alanları ve bu salonların sayısı verilmiştir. Buna göre, kütüphanedeki toplam çalışma alanının kaç m² olduğunu hesaplayınız.

Çözüm:

0,03 x 2 = 0,06 km² = 0,06 x 1 000 000 m2

                                 = 60 000 m² 

4 x 3 = 12 m²

2 500 000 x 3 = 7 500 000 cm² = 7 500 000/ 10000 = 750 m²

Toplam alan = 60 000 + 12 + 750 = 60 762 m²’dir.


Arazi Ölçü Birimleri

Ar, dekar ve hektar arazi ölçü birimleridir.

Arazi ölçüsünün temel birimi ar’dır ve a ile gösterilir.

1 a = 100 m²’dir.

Dekar daa ile gösterilir.

1 daa = 10 a’dır.

Hektar ha ile gösterilir.

1 ha = 100 a’dır.

1 dönüm de 1 dekar etmektedir.

 

*** Verilen alan ölçü birimini arazi ölçü birimine çevirirken alan ölçü birimini temel  birim olan m²’ye çevirip; 100 m² = 1a eşitliğini kullanırız.

 

Örnek: 0,04 km² + 0,45 ha + 0,23 km² işleminin sonucu kaç dönüm alana eşittir?

Çözüm:

Verilen ölçü birimlerini ar’a çevirelim.

0,04 km² = 40 000 m² = 400 a

0,45 ha = 45 a

0,23 km² = 230 000 m² = 2 300 a’dır.

400 + 45 + 2300 = 2 745 a

2 745 a = 274,5 daa

          = 274,5 dönüm eder.

 

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

6.Sınıf Cebirsel İfadeler Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Cebirsel ifadeler konusunu öğreneceğiz.

Bir örüntünün bütün adımları arasında ortak bir kural vardır. Buna genel kural denir ve genel terim ile ifade edilir.

Örüntülerde genel kuralı ifade ederken “n” harfi kullanılır. “n”, örüntünün adım sıra sayısını belirtir.

Örüntüde artış miktarı aynıysa artış miktarını belirten sayı “n” harfinin çarpanıdır.

4, 8, 12, 16, … şeklinde devam eden sayı örüntüsünün genel kuralını bulalım.

Örüntüdeki sayılar dörder dörder artmıştır.

4+4 = 8

8+4 = 12

12+4 = 16   O halde yukarıdaki sayı örüntüsünün genel kuralı 4n şeklinde ifade edilir. 

 

Örnek: Aşağıda verilen şekil örüntüsünün genel kuralını bulunuz.

Çözüm:

Yukarıda verilen şekil örüntüsüne 1 üçgenle başlanmış ve her adımda bir önceki adımdan 3 tane üçgen fazla kullanılmıştır.

Örüntü üçer üçer arttığından genel terimde 3n vardır. Ancak n yerine 1 yazdığımızda 1. adımdaki şekil sayısı bulunamıyor. Bu yüzden 1. adımda 1 tane üçgen olduğundan genel terim 3n-2 şeklinde ifade edilir.

3n-2 için;

 

*** Artış miktarı tek başına örüntünün genel kuralını ifade edemeyebilir. Bu durumda 1. adım artış miktarının ne kadar eksiği ya da fazlası ise genel terime eklenir veya çıkartılır.

8, 11, 14, 17, … sayı örüntüsünün genel kuralını bulalım.

Örüntüde ifade edilen sayılar üçer üçer artmaktadır.

1. adımdaki sayı, artış miktarından 5 fazla olduğundan genel kural 3n+5 şeklinde ifade edilir.

 

*** Sorularda n sayısına “temsilci sayısı” veya “genel sayı” da denildiğini unutmayalım.

Genel kuralı 5n+3 olan sayı örüntüsünün 12. adımını bulalım.

Genel kuralda n yerine 12 sayı yazıldığında 12. adım bulunur.

n=12 için; 5 x 12 + 3 = 63 olduğundan bu örüntünün 12. adımı 63’tür.

Örnek: Aşağıda bir şekil örüntüsünün ilk üç adımı verilmiştir. Kaçıncı adımda 24 top olduğunu bulunuz.

Çözüm:

Örüntünün ilk üç adımı;

1. adım: 3 top

2. adım: 6 top

3. adım: 9 top şeklindedir. Sayılar üçer üçer artmıştır. O halde 24 sayısını bulana dek üçer üçer artırırsak 24 sayının kaçıncı adım olduğunu buluruz.

3 – 6 – 9 – 12 – 15 – 18 – 21 – 24 – 27

24 sayısı baştan 8. sırada olduğundan 8. adımda 24 tane top vardır.


Cebire Giriş

En az bir değişken ve işlem içeren ifadeler cebirsel ifadeler olarak adlandırılır.

Bir sayının 4 katının 5 eksiğini cebirsel ifade olarak yazalım.

İstenilen sayı bilindiğinden k olsun. k sayısının 4 katının 5 eksiği;

4 x k – 5 şeklinde ifade edilir.

*** Cebirsel ifadelerde toplama veya çıkarma işlemlerinden sonra çarpma veya bölme işlemi belirtilirse çarpma veya bölme işlemi hem değişkeni hem de toplama çıkarma işlemlerini etkiler. 

Bir sayının 8 eksiğinin üçte birini cebirsel olarak ifade edelim.

Sayı x olsun. 8 eksiği çıkarma işlemini, üçte biri bölme işlemini belirtir. Çıkarma işlemi, bölme işleminden önce belirtildiğinden cebirsel ifade;

(x-8)/3 şeklinde ifade edilir.

 

*** Cebirsel ifadelerde bilinmeyen sayıya “değişken” adı verilir.


Cebirsel İfadelerin Değerini Hesaplama

Cebirsel ifadelerin sonucu değişkene göre değişir.

Örnek: Bir mimar yüzey alanını 4(x+10) ifadesini kullanarak hesaplamaktadır. x=25 m² ve x=30 m² için yapılan yüzey alanlarının sayısal değerlerini bulunuz.

Çözüm: 

x değişkeninin yerine 25 ve 30 sayıları yazılıp işlemler yapıldığında yapıların yüzey alanları bulunur.

x = 25 için; 4(x+10) = 4(25+10) = 140 m²

x = 30 için; 4(x+10) = 4(30+10)= 160 m²

Yapılar 140 m² ve 160 m²’dir.


Modellemeler

modelini cebirsel olarak ifade olarak gösterelim.

 şeklinden 3 tane,  şeklinden 6 tane olduğundan cebirsel ifade 3x+6 olarak belirtilir.

 

*** Cebirsel ifadelerde değişkenler negatif de olabilir.

olmak üzere aşağıda verilen modelleri cebirsel ifade olarak yazalım.

a. Sarı kare modelinden 3 tane, üçgen modelinden 2 tane olduğundan;

y+y+y+3+3 = 3y + 6 şeklinde yazılır.

b. Kırmızı kare modelinden 2 tane, üçgen modelinden 3 tane olduğundan;

-y-y+3+3+3 = -2y + 9 şeklinde yazılır.

c. Kırmızı kare modelinden 3 tane, sarı kare modelinden 1 tane ve üçgen modelinden 1 tane olduğundan;

-y-y-y+y+3 = -3y + y + 3 şeklinde yazılır.


Cebirsel İfadelerle İşlemler

Bir cebirsel ifadede “+” veya “-“lerle ayrılan kısımların her birine terim, değişkenin önüne çarpan şeklinde yazılan sayıya da “katsayı”denir. Değişken içermeyen terime ise “sabit terim” adı verilir.

4x – 2xy + 8 verilen cebirsel ifadenin terimlerini, katsayılarını ve sabit terimlerini bulalım.

4x – 2xy + 8 cebirsel ifadesinin terimleri 4x- 2xy, 8 şeklinde ifade edilir. 4x teriminin katsayısı 4, -2xy teriminin katsayısı -2 ve değişkeni olmayan +8 teriminin katsayısı kendisidir. Aynı zamanda bu terim değişkeni olmadığından sabit terimdir. Daha açık ifade edilirse;

Terimler: 4x, -2xy, +8

Katsayılar: 4, -2, 8

Sabit terim: +8 olur.

*** Bir cebirsel ifadede değişkenleri ve bu değişkenlerinin üsleri aynı olan terimlere “benzer terim” denir.

6x + 7xy + 2x -xy + 9 ifadesini en sade şekliyle yazalım.

Cebirsel ifadeleri en sade şekliyle yazmak için benzer terimlerin toplanması veya çıkarılması gerekir.

6x + 7xy + 2x -xy + 9 ifadesindeki benzer terimler aynı renge boyanmıştır. Daha sonra benzer terimleri toplayalım.

6x + 2x = 8x

7xy – xy = 6xy

Yani en sade şekilde 8x + 6xy + 9 olur.

*** Cebirsel ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri benzer terimlerin toplanıp çıkarılması ve sabit terimlerin toplanıp çıkarılması olarak ifade edilir.

Örnek: olmak üzere gösterilen toplama ve çıkarma işlemlerini yapınız.

Çözüm:

a. Modelde 1. toplanandan kırmızı dikdörtgen modelinden 5 tane, kırmızı kare modelinden 5 tane olduğundan 1. toplanan 5x+5, 2. toplanandan sarı dikdörtgen modelinden 1 tane, sarı kare modelinden 4 tane olduğundan 2. toplanan -x-4 sonuçta kırmızı dikdörtgen modelinden 4 tane, kırmızı kare modelinden 1 tane olduğundan 4x+1 şeklinde ifade edilir. ifadelerin toplamı;

(5x + 5) + (-x – 4) = 4x + 1 şeklinde ifade edilir.

b. Modelde eksilen sayıda sarı dikdörtgen modelinden 4 tane, kırmızı kare modelinden 4 tane olduğundan -4x+4, çıkanda kırmızı dikdörtgen modelinden 3 tane, kırmızı kare modelinden 2 tane olduğundan 3x+2 ve sonuçta sarı dikdörtgen modelinden 7 tane, kırmızı kare modelinden 2 tane olduğundan -7x+2 şeklinde ifade edilir. Cebirsel ifadelerin farkı;

(-4x + 4) – (3x + 2) = -4x + 4 – 3x – 2 = -4x – 3x + 4 – 2 = -7x +2 şeklinde ifade edilir.


Bir Doğal Sayıyı Bir Cebirsel İfade İle Çarpma

Bir doğal sayı ile bir cebirsel ifade çarpılırken doğal sayı ile cebirsel ifadenin bütün terimleri çarpılır.

3 doğal sayısı ile (5x-7) cebirsel ifadesini çarpalım.

Bu durumda çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğini kullanalım.

Yani 3 sayısını hem 5x ile hem de -7 ile çarparız.

3 . 5x = 15x

3 . (-7) = 21  ,  15x – 21 olur.  

Örnek: Bir bisikletli (x+15) km/sa hızla giderken bir araba bisikletlinin 5 katı hızla gitmektedir. Arabanın hızını cebirsel olarak olarak ifade ediniz.

Çözüm:

Araba (x+15) km/sa hızın 5 katı hızla gidiyorsa, (x+15) ile 5’i çarpmamız gerekir.

5 . (x+15) işleminde çarpma işleminin toplama üzerinde dağılma özelliğini kullanmamız gerekir.

5 . x = 5x

5 . 15 = 75 olduğuna göre sonuç; 5x+75’tir.

 

Örnek: Aşağıda verilen toplama ve çıkarma işlemlerini yapınız.

a) (4x – 12) + (3x + 28)

b) (3b – 6) – (2b – 3)

c) (-2k + 6) + (4 + 3k)

Çözüm:

Yukarıda verilen işlemlerde benzer ifadeler kendi arasında toplamamız gerekmektedir.

a. (4x – 12) + (3x + 28) = 4x + 3x – 12 +28 = 7x + 16 şeklinde ifade edilir.

b. (3b – 6) – (2b – 3) = 3b – 2b -6 + 3 = b – 3 şeklinde ifade edilir.

c. (-2k + 6) + (4 + 3k) = -2k + 3k +6 +4 = k + 10 şeklinde ifade edilir.

Örnek: Asağıda verilen işlemleri yapınız.

a) 3 . (2m + 4p – 3)

b) 6 . (2ab – 4c)

c) 5 . (4k – 3m – 2)

Çözüm: 

Çarpma işlemlerini parantez içindeki her bir cebirsel ifadeyle ayrı ayrı yapmamız gerekmektedir.

a. 3 . 2m = 6m

3. 4p = 8p

3 . (-3) = -9

O halde ifade 6m + 8p – 9 şeklinde gösterilir.

b. 6 . (2ab) = 12ab

6 . (-4c) = -24c

O halde ifade 12ab – 24c şeklinde gösterilir.

c. 5 . 4k = 20k

5 . (-3m) = -15m

5 . (-2) = -10

O halde ifade 20k – 15m – 10 şeklinde gösterilir.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

6.Sınıf Tamsayılar Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Tam sayılar konusunu öğreneceğiz.

Sayı doğrusunda “0”‘ın sağında olan sayılar “pozitif tam sayılar”; “0”ın solun olan sayılar ise “negatif tam sayılar”dır.

Pozitif tam sayılar ile negatif tam sayılar “zıt işaretli” ve ters yönlü sayılar olarak ifade edilir.

Sıfırdan küçük olan sayılar “-” (negatif) işaretli sayılardır. Sıfırdan büyük olan sayılar “+” (pozitif) işaretli sayılardır.

“0” sayısının işareti yoktur. Bu nedenle “0” sayısı ne negatif ne de poziftir.

*** “0” tam sayısını, pozitif tam sayıları ve negatif tam sayıları sayı doğrusunda gösterelim.

*** Sayıların önene konulan “+” ve “-” işaretler sayının yönünü belirtir. 

Örnek: -2, -4, 0, 3, 5 tam sayılarını sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.

Çözüm:

-2, -4, 0, 3, 5 tam sayılarını sayı doğrusunda göstermek için tam sayıların işaretlerine dikkat edelim. Negatif tam sayıları sıfırın soluna, pozitif tam sayıları ise sağına yazalım.


Mutlak Değer

Sayı doğrusunda bir tam sayının sıfıra olan uzaklığı “mutlak değer”olarak ifade edilir. Mutlak değer “| |” sembolüyle gösterilir. 

Mutlak değer uzunluk belirttiği için her zaman pozitiftir.

 

*** -5, -16, 0, +3, +7 tam sayılarının mutlak değerlerini bulalım.

Mutlak değeri bulaşık makinesine benzetebiliriz. Kirli tabakları negatif (-), temiz çamaşırları pozitif (+) olarak kabul edelim. Bulaşık makinesine konan kirli ve temiz tabaklar yıkandıktan sonra makineden temiz çıkar. Mutlak değer içindeki ifade negatif de olsa pozitif de olsa mutlak değerin dışına pozitif olarak çıkar.

|-5| = +5 , |-16| = +16, |0| = 0, |+3| = +3, |+7| = +7

 

*** Mutlak değeri bilinen bir sayı mutlak değerin içinde pozitif ya da negatif olabilir.

*** Bir tam sayının önende “-” ve “+” işareti yoksa o sayı pozitif tam sayıdır.

 

Örnek: Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların yanına “D”, yanlış olanların yanına “Y” yazınız.

a) Mutlak değer uzaklık belirtir.

b) 40 sayısı sıfıra -41’den daha yakındır.

c) Bazı sayıların mutlak değeri negatiftir.

ç) -3 sayısı sıfıra -2’den daha uzaktır.
Çözüm:

a. Mutlak değer tam sayıların sıfıra olan uzaklığını belirtir. Yani bu ifade Doğrudur.

b. Sıfıra yakınlığı bulmak için sayıların mutlak değerine bakmamız gerekir.

|40| = +40 , |-41| = +41

O halde 40 sayısı 41 sayısında daha küçük olduğu için sıfıra daha yakındır. Yani bu ifade Doğrudur.

c. Tüm sayıların mutlak değeri pozitiftir. Çünkü mutlak değer uzaklık belirtir ve uzaklık negatif olamaz. Yani bu ifade Yanlıştır.

ç. Sıfıra yakınlığı bulmak için sayıların mutlak değerine bakmamız gerekir.

|-3| = +3 , |-2| = +2

O halde 2 sayısı 3 sayısında daha küçük olduğu için sıfıra daha yakındır. Yani bu ifade Doğrudur.


Tam Sayılar

Sıfır; pozitif tam sayılardan “küçük”, negatif tam sayılardan “büyüktür”.

Pozitif tam sayılardan mutlak değeri büyük olan sayı daha büyüktür.

Örnek: Kutuplardaki buzul parçalarından bir tanesinin su altında kalan kısmı deniz seviyesinin 4 metre aşağısında, diğerinin su altında kalan kısmı ise deniz seviyesinin 15 metre altındadır. Hangisinin alt kısmının deniz seviyesine daha yakın olduğunu bulunuz.

Çözüm: 

4 metre derinliği ifade eden sayı aslında -4, 15 metre derinliği ifade eden sayı -15’dir. -4 deniz seviyesine daha yakın olduğundan -15 sayısından büyüktür. Yani -4 > -15 olarak ifade edilir.

*** Negatif tam sayılardan mutlak değeri “küçük” olan sayı daha “büyüktür”.

*** Negatif tam sayılardan “0” sayısına yakın olan sayı daha büyüktür. Pozitif tam sayılardan “0” sayısına yakın olan sayı daha küçüktür.

 

Örnek: -8 ve -5 tam sayılarını sayı doğrusunda gösterelim ve karşılaştırma yapınız.

Çözüm:

Negatif tam sayılarda sıfıra yakın olan sayı daha büyüktür. Buna göre -5, -8’den daha büyüktür. Bu nedenle -5 > -8’dir.

*** Sayı doğrusunda sağa gidildikçe daima sayılar büyür. Sola gidildikçe de sayılar daima küçülür. En büyük negatif tam sayı da -1’dir”.“En küçük pozitif tam sayı da +1’dir”.

*** Sıralama ve karşılaştırma sorularında hangi sayı kümesinin sorulduğuna dikkat etmemiz gerekir.

 

Örnek: |-8| , 3 , -11 , 0 , |5| tam sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.

Çözüm:

Sıralama sorunlarında mutlak değer içeren ifadeler varsa önce mutlak değerlerini bulup daha sonra sırlamasını yaparız.

|-8| = +8 , |5| = +5 halini aldıktan sonra sayılarımız 8, 3, -11, 0, 5 olur. Sıralamayı şimdi yapmak daha kolaydır. Sıralama;

|-8| > |5| > 3 > 0 > -11 şeklinde olacaktır.  


Tam Sayılarda İşlemler

Tam sayılarda toplama işlemi yaparken işaretler aynı ise sayılar toplanır ve sayıların ortak işareti toplamın önüne yazılır.

(-21) + (-7) işlemini yapalım.

Sayılardaki işaretler aynı olduğundan sayılar toplanır ve sonucu o işaretle birlikte yazılır. Yani;

(-12)+(-6) = (-18) şeklinde ifade edilir.

 

*** Tam sayılarda toplama işareti yapılırken sayıların işaretleri farklı ise mutlak değeri büyük olan tam sayıdan mutlak değeri küçük olan sayı çıkarılır ve mutlak değeri büyü olan sayının işareti sonucun önüne yazılır.

(+25) + (-11) işleminin sonucunu bulunuz.

Öncelikle mutlak değeri büyü olan tam sayıyı bulalım.

|25| = 25 , |-11| = +11    yani    |25| > |-11| olduğundan;

25-11 = 14’tür ve 25 sayısının işareti pozitif olduğundan sonu +14’tür.

*** Tam sayılarda bir sayının toplama işlemine göre tersi, o sayının zıt işaretlisidir.

24 sayısının toplama işlemine göre tersi A ve -36 sayısının toplama işlemine göre tersi B’dir. Buna göre A+B işleminin sonucunu bulalım.

24 sayısının toplama işlemine göre tersi -24 ve -36 sayısının toplama işlemine göre tersi 36’dır. O halde;

A + B = (-24) + (+36) = +12 olur.

 

*** a ve b birer tam sayı olmak üzere “a-b” işlemi “(a)+(-b)” şeklinde ifade edilir.

*** Tam sayılarda çıkarma işlemi; çıkan sayının toplama işlemine göre tersiyle eksilen sayının toplanması şeklinde ifade edilir. 

 

3 – 8 işleminin sonucunu bulalım.

3 – 8 işlemi 3 + (-8) şeklinde ifade edilir. Sonuç;

3 + (-8) = -5’tir.

Bu işlemde çıkan sayı 8’dir ve toplama işlemine göre tersi -8’dir.

Yani tam sayılarda çıkarma işlemi yaparken çıkan sayının toplama işlemine göre tersiyle eksilen toplanmıştır.

*** Tam sayılarda çıkarma işlemi yaparken aslında toplama işlemi kullanılmaktadır.


Toplama İşleminin Özellikleri

Tam sayılarda iki sayının toplama işlemi yapılırken sayıların yeri değişse de sonuç değişmez. 

Tam sayılarda toplama işlemi yapılırken, tam sayılar ikişerli farklı gruplara ayrılarak toplanırsa sonuç değişmez. 

“0” sayısı toplama işleminde sonucu etkilemeyen sayı olarak ifade edilir.

 

[(+4)+(-9)] + (+11) işlemiyle (+4)+[(-9)+(+11)] işleminin sonucunu karşılaştıralım.

[(+4)+(-9)] + (+11) = (-5) + (+11) = +6

(+4)+[(-9)+(+11)] = (+4)+(2) = +6 sonuçları elde edilir. İki işlemin sonucu aynıdır; fakat sayılar ikişerli gruplandırılarak toplanmıştır.

 

*** Tam sayılarda mutlak değerleri eşit, işaretleri zıt olan iki tam sayının toplama işlemine göre tersi birbirinin tersidir.

 

Örnek: Aşağıdaki ifadelerden doğru olanın yanına “D”, yanlış olanların yanına “Y” yazınız.

a) Tam sayılarda toplama işleminde toplananların yerleri değiştirildiğinde sonuç değişmez.

b) Tam sayılarda toplama işleminde 1 sayının sonuca etkisi yoktur.

c) Tam sayılarda toplama işleminde 0 sayısının sonucu etkisi yoktur.

ç) Tam sayılarda bir sayının toplama işlemine göre tersi aynı sayının ters işaretlisidir.

Çözüm:

a. Tam sayılarda işlem yaparken sayıların yerlerini değiştirdiğimizde işlemin sonucu değişmez. Yani bu ifade Doğrudur.

b. Tam sayılarda işlem yaparken 1’in değil 0 sayısının toplama işlemine etkisi yoktur. Yani bu ifade Yanlıştır.

c. Tam sayılarda toplama işlemi yaparken 0 sayısının toplamaya bir etkisi yoktur. Yani bu ifade Doğrudur.

ç. Tam sayılarda bir sayının toplama işlemine göre tersi çıkarmadır yani “-” negatif işaretlisidir. Yani bu ifade Doğrudur. 

 

Örnek: Aşağıdaki toplama işlemlerindeki x, y ve z sayılarının toplamını bulunuz. 

a) [(+3)+(+4)] – 1 = 3 + [(+4)+x]

b) 8 + [(-3)+(6)] = [y+(-3)]+6

c) (12+6) + (-7) = 12 + [6+z]

Çözüm:

Bu işlemlerde x, y ve z değerlerini bulmak için işlemleri çözmemiz gerekmektedir.

a. (+3)+(+4) = 7 , 7 – 1 = 6

(+4)+x = 4+x , 3 + (4+x) = 7 + x

6 = 7 + x olduğuna göre x = -1’dir.

b. (-3) + (6) = +3 , 8 + 3 =  11

y + (-3) = y-3 , (y-3) + 6 = y+6

11 = y+6 olduğuna göre y = 5’tir.

c. (12+6) = 18 , 18 + (-7) = 11

12 + (6+z) = 18+z 

11 = 18+z olduğuna göre z = -7’dir.

O halde x+y+z = (-1) + (+5) + (-7) = -3 olacaktır.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

6.Sınıf Veri Analizi Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Veri analizi konusunu öğreneceğiz.

Bir veri grubundaki sayısal verilerin toplanarak veri sayısına bölünmesine “aritmetik ortalama” denir.

şeklinde ifade edilebilir.

*** Ahmet, Uğur ve Yusuf’un yaşları sırasıyla 15, 17 ve 22’tür. Buna göre üçünün yaşlarının aritmetik ortalamasını bulalım.

Ahmet, Uğur ve Yusuf’un yaşları toplamı;

15+17+22 = 54 olur.

3 kişi oldukları için bulduğumuz toplamı 3’e bölersek yaşlarının aritmetik ortalamasını bulmuş oluruz.

Yaşlarının artimetik ortalaması = 54/3 = 18’dir.

Örnek: Mustafa’nın matematik dersinden aldığı ilk iki sınav puanı 84 ve 69’dur. Mustafa üçüncü sınavdan kaç puan alırsa puanlarının ortalaması 80 olur.

Çözüm:

Aritmetik ortalama = puanların toplamı/ sınav sayısı

80 = puanların toplamı / 3

puanların toplamı = 3 x 80 = 240 olur.

ilk iki sınavın toplamı = 84 + 69 = 153’tür.

Üçüncü sınav puanı = (Puanların toplamı) – (İlk iki sınavın toplamı)

                                   = 240 – 153 = 87 olur. 

 

Örnek: Aritmetik ortalaması 35 olan 8 sayıya 42 ve 58 sayıları eklendiğinde yeni ortalama kaç olur?

Çözüm:

Aritmetik ortalama = sayıların toplamı / sayı adedi

35 = sayıların toplamı / 8

Sayıların toplamı = 35 x 8 = 280’dir.

Bulduğumuz bu toplama 42 ve 58 sayılarını ekleyelim.

280 + 42 + 58 = 380 olur. Sayıların toplamı 380, sayı adedi 8+2 = 10 olmuştur.

Bu durumda yeni ortalama;

Aritmetik ortalama = 380/10 = 38 olur. Önceki ortalama 35 iken bu veri grubuna iki sayı daha eklenince yeni ortalama 38 olmuştur.


Açıklık

Bir veri grubundaki en büyük veri ile en küçük veri arasındaki farka “açıklık” adı verilir.

Açıklık = En büyük değer – En küçük değer

*** Aşağıda, bir şirkette çalışanların haftalık ücretleri verilmiştir.

150 TL, 180 TL, 150 TL, 190 TL, 150 TL, 165 TL

Bu verilerin açıklığını bulalım.

Veri grubundaki sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım.

Veri grubundaki en küçük değer 150, en büyük değer 190’dır. En büyük değerden en küçük değeri çıkarırsak 190-150 = 40 buluruz. Bu bulduğumuz değer veri grubunun açıklığıdır.

*** Bir veri grubunda açıklığın yüksek çıkması, o veri grubunda veriler birbirinden uzaktadır, şeklinde yorumlanabilir.

Örnek: Aşağıdaki grafikte Yavuz’un bir hafta boyunca kaç bardak su içtiği günlere göre gösterilmiştir.

Grafiğe göre içilen su miktarının açıklığını hesaplayınız ve yorumlayınız.

Çözüm:

Yavuz sırasıyla her gün, 6, 5, 6, 4, 5, 6 ve 4 bardak su içmiştir. Bu veriler arasında en yüksek sayı 6, en düşük sayı ise 4’tür. O halde su miktarının açıklığı 6-4 = 2’dir.

Yavuz istikrarlı bir şekilde su içmeye devam etmektedir yorumu yapılabilir.


Veri Gruplarını Karşılaştırma

İki veri grubunda başarı karşılaştırması yapılırken aritmetik ortalamaya bakılır. Aritmetik ortalaması yüksek olan grup daha başarılıdır.

 

*** Aşağıdaki tabloda, A ve B çay bahçelerinde beş gün boyunca satılan çay sayıları gösterilmektedir.

A ve B çay bahçelerinde satılan çay sayılarında oluşan veri gruplarını yazalım. He iki veri grubu için aritmetik ortalama ve açıklığı bulup yorumlayalım.

A çay bahçesine ait veri grubu; 1200, 1500, 900, 800 ve 600 olup aritmetik ortalama;

(1200+1500+900+800+600)/5 = 5000/5 = 1000’dir.

Açıklık 1500 – 600 = 900’dür.

B çay bahçesine ait veri grubu; 900, 1400, 1100, 500 ve 500 olup aritmetik ortalama;

(900+1400+1100+500+500)/5 = 4400/5 = 880’dir.

Açıklık ise 1400 – 500 = 900’dür.

Her iki veri grubunun açıklığı aynıdır. Ancak A çay bahçesinin günlük çay satış ortalaması B bahçesine göre fazladır.

 

Örnek: Bir okuldaki 7. sınıfların matematik sınavlarında aldıkları puanların ortalamaları tablodaki gibidir.

a) En başarılı sınıfı belirtiniz.

b) Başarı ortalamaları eşit olan sınıfları belirtiniz.

c) Başarı ortalamaları eşit olan sınıflar arasında hangisini daha başarılı kabul edebilirsiniz? Neden?

Çözüm:

a. En başarılı sınıfı tespit etmek için 3 sınavın aritmetik ortalamasını bulmamız gerekmektedir.

7-A sınıfının aritmetik ortalaması = (82+84+80)/3 = 83

7-B sınıfının aritmetik ortalaması = (75+70+80)/3 = 75

7-C sınıfının aritmetik ortalaması = (82+76+88)/3 = 83

7-D sınıfının aritmetik ortalaması = (87+89+85)/3 = 87

7-E sınıfının aritmetik ortalaması = (85+86+84)/3 = 85

En başarılı sınıf 7-D sınıfıdır.

b. 7-A ve 7-C sınıflarının aritmetik ortalamaları 83 ve eşittir.

c. Başarılı olan sınıflar arasında hangi sınıfın daha başarılı olduğunu tespit etmek için sınav sonuçlarının açıklık değerine bakmamız gerekir. Açıklı değeri daha az olan sınıf daha istikrarlı ve daha başarılıdır.

7-A sınıfının açıklık değeri; en yüksek not=84, en düşük not=80

Açıklık değeri = 84 – 80 = 4

7-C  sınıfının açıklık değeri; en yüksek not=88, en düşük not=76

Açıklık değeri = 88 – 76 = 12

O halde 7-A sınıfının açıklık değeri daha küçük olduğu için daha başarılıdır.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

6.Sınıf Veri Toplama Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Veri toplama konusunu öğreneceğiz.

Belirli bir konuya ilişkin sorular oluşturma, o konuyla ilgili yapılacak bir araştırmanın ilk aşamasıdır. Araştırma soruları veri toplamayı gerektiren nitelikte olmalıdır.

Araştırma sorularına uygun verileri bizzat toplayabileceğimiz gibi farklı kaynaklardan da yararlanabiliriz. ancak bu kaynakların resmi olmasına veya doğruluğuna güvenilen kaynaklar olmasına dikkat etmeliyiz.

*** Murat “Türkiye’de 2011 ve 2012 yıllarında üretilen domates ve soğan kaç tondur?” araştırma sorusuna ilişkin veriler hazırlamış ve sonuçları tabloda göstermiştir.

Murat araştırma sorularına uygun verileri elde etmek için Gıda, Tarım ve Hayvancılık Bakanlığının internet sitesinden alıntı yapmıştır. Bu siteden elde ettiği  verileri aşağıdaki sıklık tablosunda göstermiştir.

 

Örnek: Aşağıdaki tabloda bir otomobil galerisinin 2012 ve 2013 yıllarındaki renklerine göre en çok sattığı otomobil sayıları gösterilmektedir.

Tablodaki verileri kullanarak ikili sütun grafiği oluşturalım.

Çözüm:

  • Yatay  ve dikey olacak eksenleri çizelim.
  • Dikey ekseni “Otomobil sayıları” yatay ekseni “Renkler” şeklinde isimlendirelim.
  • Veriler arasındaki artış 5 ile 10 arasında olduğu için dikey ekseni 0’dan 30’a kadar 6 eşit aralıklarla ölçeklendirelim.
  • Her bir renk için bir sütun 2012, bir sütun da 2013 yılı için çizelim. 2012 ve 2013 yılı için farklı renkler kullanalım.
  • Hangi renk sütunun hangi renkler için kullanılacağını gösteren kılavuz çizgileri oluşturalım.
  • Grafiğe, konuya uygun bir başlık oluşturalım.

*** Grafiğin sütunları hem dikey hem de yatay olabilir.

Örnek: Aşağıdaki sütun grafiği bir şirketin 2011, 2012 ve 2013 yıllarındaki kadın ve erkek personel sayılarını göstermektedir.

Sütun grafiğindeki verileri sıklık tablosunda gösteriniz.

Çözüm:

Kadın ve erkek personel sayısı için ortak olan veri yıllardır. O halde Yıl sütununu en sola yazmamız gerekmektedir. ardından da sırayla kadın ve erkek personel sayısı sütunlarını yerleştirelim.

Örnek: Avrupa Futbol Federasyonları Birliğinin organize ettiği, UEFA Avrupa Ligi olarak düzenlenen futbol turnuvasında tüm sezonlara ait kupa kazanan veya ikinci olan en başarılı 5 ülkeye ilişkin istatistiki veriler aşağıdadır.

Tablodaki verileri hem tek bir sütun grafiğinde hem de iki ayrı sütun grafiğinde gösterin.

Çözüm: 

Yukarıda verilen tabloda ülkelere ilişkin iki farklı veri vardır. Bunlarda ilki şampiyonluk sayıları, ikincisi ise ikincilik sayılarıdır. O halde bizde sütun grafiği oluştururken bu verileri tek bir sütun grafiğinde gösterebileceğimiz gibi iki farklı sütun grafiğinde de gösterebiliriz.

Yukarıda ülkelerin hem şampiyonluk hem de ikincilik sayıları sütun grafiğinde ayrı ayrı gösterilmiştir. Birde bu verileri tek bir sütunda gösterelim. Bunun içinse tek bir grafikte iki veri olacağı için bu verileri farklı renklerle belirtmemiz lazım ki veriler belli olsun.

Yukarıdaki sütun grafiğinde de görüldüğü üzere takımların hem şampiyonluk hem de ikincilik sütunları aynı grafikte farklı renklerde gösterilmektedir.

 

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

6.Sınıf Ondalık Gösterim Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Ondalık gösterim konusunu öğreneceğiz.

a/ b biçiminde bulunan bir kesirde a sayısı b sayısına bölündüğünde o kesrin ondalık gösterimi elde edilir.

7/2, 3/4 ve 13/25 kesirlerinin ondalık gösterimlerini belirleyelim.

Bu kesirlerin paydalarını 10 veya 10’un kuvveti olacak şekilde genişletelim.

 

***Paydası 10 veya 10’un kuvvet olacak şekilde genişletilemeyen kesirlerin ondalık gösterimi için pay, paydaya bölünür. Bölümde tekrar eden rakamlar bulunuyorsa bu tür ifadeler “devirli ondalık gösterim” olarak adlandırılır.

2/3, 4/9 ve 1/11 kesirlerinin ondalık gösterimlerini belirleyelim.

Bu kesirlerin paydası 10 veya 1o’un kuvvetlerinde eşitlenemeyeceğinden bu kesirlerin ondalık gösterimlerini belirlemek için payı paydaya bölelim.

6, 4 ve 9 sayılarının üzerindeki çizgi bu sayıların devrettiği anlamına gelir.

 

*** Kesir gösterimi aynı zamanda bölme işlemini ifade eder.

0,14  ,  8,7  ,  0,006 ondalık gösterimlerini kesir olarak yazalım.

0,14 = 14/100  ,  8,7 = 87/10  ,  0,006 = 6/1000

ifadelerinde virgülün sağında bulunan basamak sayısı, paydada bulunna 10’un kuvvetine eşittir.

Başka bir ifadeyle virgülün sağında 1 basamak varsa payda 10, 2 basamak varsa 10² = 100 vb.

*** Bir ondalık gösterim iki bölümden oluşur. Bunlar virgülden önceki tam kısım ve virgülden sonraki kesir kısmıdır.

134,257 sayısının basamaklarını adlandıralım ve okuyalım.

134,257: Yüz otuz dört tam binde iki yüz elli yedi.

*** Bir ondalık gösterimi çözümlemek, o ondalık gösterimin basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazmaktır.

36,485 sayısını çözümleyelim.

3 x 10 + 6 x 1 + 4 x 1/10 + 8 x 1/100 + 5 x 1/1000

şeklinde çözümlenebilir.

Örnek: 2, 3, 5 ve 8 rakamlarını kullanarak yazılabilen 8’den küçük 5’ten büyük en büyük ondalık gösterimi bulunuz.

Çözüm:

2, 3, 5 ve 8 rakamları ile yazılabilecek 5-8 arasındaki en büyük ondalık kesir 5,832’dir.

5,832 = (5×1) + (8×0,1) + (3×0,01) + (2×0,001)


Ondalık Gösterimleri Verilen Sayıları Yuvarlama

Bir ondalık kesri istenilen bir basamağa göre yuvarlarken verilen basamağın sağındaki ilk rakam 5 ile karşılaştırılır. Bu rakamın sayı değeri;

  • 5 ya da 5’ten büyük ise verilen basamaktaki rakamın sayı değeri 1 artırılır.
  • 5’ten küçük ise verilen basamaktaki rakam aynen yazılır. Daha sonra sağındaki diğer basamaklar yerine sıfır yazılır.

82,78 ondalık kesrini en yakın onda birliğe yuvarlayalım.

82,78’i en yakın onda birliğe yuvarladığımızda 82,80 elde ederiz.

 

Örnek: 518,214 ondalık kesrini en yakın birliğe, onluğa ve yüzlüğe yuvarlayalım.

Çözüm:

*** Ondalık gösterimlerde kesir kısmının sağ tarafına eklenen sıfırlar sayının değerini değiştirmez. 0,1 = 0,10 = 0,100 …

*** Yuvarlama işlemi bizlere;

  • alışveriş yaparken,
  • ölçümler yaparken,
  • tahminlerde bulunurken kolaylık sağlar.

Örneğin fiyatı 89,99 TL olan bir ürüne 90 TL, boy uzunluğu 1,68 m yerine 1,70 m, not hesaplamalarında 4,5’ten 5 gibi…

Örnek: Onda birler basamağına yuvarlandığında 23,7 olan sayıların neler olabileceğini bulalım. 

Çözüm:

Bir sayının 23,7 sayısına yuvarlanabilmesi için 7’nin sağındaki rakam 5’ten küçük olmalı veya 23,6 sayısında 6’nın sağındaki rakam 5 veya 5’ten büyük olmalıdır. Gelebilecek sayılara A diyecek olursa;

23,65 ≤ A


Ondalık Kesirlerle Çarpma İşlemi

Ondalık gösterimi verilen sayıyı kesir olarak yazıp çarpabiliriz.

1,2 ile 2,4 ondalık gösterimlerini çarpalım.

1. Yol

Verilen iki ondalık sayıyı da kesre çevirip çarpalım.

2. Yol

1,2 ve 2,4 ondalık kesirlerini virgüller yokmuş gibi çarpalım.

*** Ondalık gösterimi verilen iki sayı çarpılırken çarpanlar da virgül yokmuş gibi düşünülür. Doğal sayılarda olduğu gibi çarpma işlemi yapılır.

Bulunan çarpımın basamakları, “çarpanlardaki kesir kısımlarının basamak sayıları toplamı kadar sağdan itibaren sayılarak virgül ile ayrılır”.

Eksik basamak varsa yerine “0” yazılır. 

Örnek: Aşağıda verilen dikdörtgenin alanını bulunuz.

Çözüm:

Dikdörtgen alanını bulmak için kısa kenar ile uzun kenarı çarpmamız gerekir.

 

*** Bir doğal sayı 1’den küçük bir ondalık ifadeyle çarpıldığında sonuç o doğal sayıdan küçük olur.

4 ile 0,7 ondalık kesrini çarpalım.

1. Yol

2. Yol


Ondalık Kesirlerle Bölme İşlemi

Bu konumuzu bir örnek üzerinde anlatmak konumuzun daha anlaşılır olmasını sağlayacaktır.

3 : 5 işlemini yapalım.

4,8 : 3 işlemini yapalım.

1. Yol

2. Yol

4,8 : 3 işlemindeki virgülden kurtulmak için 4,8 sayısı bir basamak büyütülmelidir; bunun içinde 4,8 sayısı 10 ile çarpılır. İşlemin sonucunun değişmemesi için 3 sayısı da 10 ile çarpılır.

*** Bir bölme işleminde bölünen ve bölen sayı aynı sayı ile çarpıldığında bölüm değişmez.

Örnek: 14,4/1,2 + 16,9/1,3 işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

14,4/1,2 = 144/12 olduğundan; 44/12 = 12’dir.

16,9/1,3 = 169/13 olduğundan; 169/13 = 13’tür.

O halde 14,4/1,2 + 16,9/1,3 = 12 + 13 = 25’tir.


Ondalık Kesirleri 10, 100, 1000 ile Çarpma ve Bölme İşlemi

Bir ondalık kesri 10, 100, 1000 gibi 10’un kuvvetleri ile kısa yoldan çarpmak için; 

  • Ondalık kesrin virgülü 10’un kuvvetindeki sıfırların sayısı kadar sağa doğru kaydırılır.
  • Eksik basamaklar varsa “o” yazılarak tamamlanır.

Aşağıda verilen işlemleri kısa yoldan yapalım.

0,027 x 10

0,36 x 100

4,273 x 1000

0,1 x 1000

0,027 x 10 = 0,27  (10 ile çarpıldığından virgül 1 basamak sağa kaydırılır.)

0,36 x 100 = 36 (100 ile çarpıldığından virgül 2 basamak sağa kaydırılır.)

4,273 x 1000 = 4723 (1000 ile çarpıldığından virgül 3 basamak sağa kaydırılır.)

0,1 x 1000 = 100 (100 ile çarpıldığından virgül 3 basamak sağa kaydırılır. Fakat 1 basamak kaydırınca virgül gidiyor. Geriye kalanlar 0 olarak sayının sonuna yazılır.)

*** Bir ondalık kesri 10, 100, 1000 gibi 10’un kuvvetleri ile kısa yoldan bölmek için;

  • Ondalık kesrin virgülü 10’un kuvvetindeki sıfırların sayısı kadar sola kaydırılır.
  • Eksik basamak varsa “0” yazılarak tamamlanır.

Aşağıda verilen işlemleri kısa yoldan yapalım.

0,3 : 10

10,45 : 100

45,3 : 1000

 

0,3 : 10 = 0,03           (Virgül 1 basamak sola kaydırılır.)

10,45 : 100 = 0,1045 (Virgül 2 basamak sola kaydırılır.)

45,3 : 1000 = 0,0453 (Virgül 3 basamak sola kaydırılır.)


Tahmin Etme

Ondalık gösterimlerde tahmin yaparken verilen ondalık ifadeleri yuvarlama işlemi yaptıktan sonra tahminde bulunulur.

 

Örnek: Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını farklı yöntemler kullanarak tahmin edelim.

a) 0,753 + 0,051

b) 4,21 + 8,07

c) 0,94 + 5,23 + 1,85 + 2,89

Çözüm:

a. Yuvarlama yaparak tahmin edelim.

0,753 ≈ 0,74

0,051 ≈0,05

0,74 + 0,05 = 0,79 yaklaşık sonuç olacaktır.

b. Başta bulunan sayıya göre tahmin edelim.

4,21 — 4

8,07— 8

4 + 8 = 12 yaklaşık sonuç olacaktır.

c. Gruplama yaparak tahmin edelim.

0,94 — 1

5,23 — 5

1,85 — 2

2,89 — 3

1 + 5 + 2 + 3 = 11 yaklaşık sonuç olacaktır.

Örnek: Bir diyetisyene giden 5 arkadaşın ağırlıkları aşağıdaki tablodaki gibidir. Bu 5 arkadaşın ağırlıklarını onlar basamağına göre yuvarlayarak toplamını tahmin ediniz.

Çözüm:

5 arkadaşın ağırlıklarını onlar basamağına göre yuvarlarsak;

83,44 ≈  80

91,38 ≈ 90

79,98 ≈ 80

83,74 ≈ 80

85,22 ≈90

80 + 90 + 80 + 80 + 90 = 420 yaklaşık olarak bulunacaktır.


Ondalık Kesirlerle Problem Çözme

Örnek: 20,83 ondalık ifadesine hangi ondalık kesir eklenirse elde edilen sayının 41 olacağını bulunuz.

Çözüm:

20,83 ondalık ifadesine hangi ondalık ifadeyi eklendiğinde 41 sayısının bulunacağını belirterek 41 sayısından 20,83 ondalık ifadesinin çıkarılması gerekir.

ondalık ifadesi bulunur.

 

Örnek: 56 km uzunluğundaki yolun birinci gün 12,15 km’si, ikinci gün 14,22 km’si asfaltlandığına göre üçüncü gün kalan kısmın bitmesi için kaç km. asfalt atılması gerekmektedir?

Çözüm:

Birinci ve ikinci gün toplam asfaltlanan yol;

şeklinde bulunur.

Son gün asfaltlanacak yolun kaç km olduğunun bulunması için toplam yoldan ilk iki gün asfaltlanan yol çıkarılır.

Örnek: Kuru yemişçide çekirdeğin kilogram fiyatı 7,5 TL, fındığın kilogram fiyatı 23 TL, leblebinin kilogram fiyatı 11 TL’dir. Hasan 2,5 kg çekirdek, 0,8 kg fındık, 1,35 kg leblebi aldığına göre kaç TL ödemiştir?

Çözüm:
Hasan’ın kaç TL ödediğini bulmak için kuru yemişlere ne kadar ödediğini bulmamız gerekir.

Çekirdek: 2,5 x 7,5 = 18,75 TL

Fındık : 0,8 x 23 = 18,4 TL

Leblebi : 1,35 x 11 = 14,85

Hasan kuru yemişlere toplamda 42,00 TL ödemiştir.

Örnek:Bir karınca 7,20 metrelik bir ağacın tepesine çıkmak istiyor. Bu karınca dakikada 0,12 metre tırmandığına göre karıncanın kaç dakikada tepeye çıkacağını bulunuz.

Çözüm:

Karıncanın 7,20 metrelik ağacı kaç dakikada tırmandığını bulabilmek için 0,12’ye bölmemiz gerekir.

7,20/0,12 işlemini kolayca yapabilmek için pay ve paydayı 100 ile çarpabiliriz.

7,20 x 100 = 720

0,12 x 100 = 12

720/12 = 60 dakika yapacaktır. Yani karınca bu ağaca bir saatte tırmanır.

 

Örnek: Gülay’ın boyu 1,63 m, Nuray’ın boyu 1,72 m  ve Tülay’ın boyu 1,55 m olduğuna göre bu üç kişinin boyları toplamı kaç metredir?

Çözüm:

Bu üç kişinin boyları toplamı;

1,63 + 1,72 + 1,55 = 4,90 m olacaktır.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

6.Sınıf Kesirlerle İşlemler Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Kesirlerle işlemler konusunu öğreneceğiz.

“Paydası eşit” olan kesirler de “payı büyük” olan kesir daha büyüktür.

“Payları eşit” olan kesirlerde ise “paydası küçük” olan kesir daha büyüktür.

 

*** 3/8 ve 5/9 kesirlerini karşılaştıralım. Bunun için farklı yöntemler uygulayabiliriz.

1. Yol

3/8 ve 5/9 kesirlerini model yardımıyla karşılaştıralım.

Modeller incelendiğinde 5/9 kesrinın 3/8 kesrinden daha büyük olduğu görülecektir.

2. Yol

3/8 ve 5/9 kesirlerinin paydalarını eşitleyerek karşılaştırabiliriz. Bu iki kesrin paydasını 72’de eşitleyebiliriz.

3/8 = 3×9/8×9 = 27/72 , 5/8 = 5×8/9×8 = 40/72

27/72

3. Yol

3/8 ve 5/9 kesirlerinin paylarını eşitleyerek karşılaştırabiliriz. Bu iki kesrin payını 15’de eşitleyebiliriz.

3/8 = 3×5/8×5 = 15/40 , 5/9 = 5×3/9×3 = 15/27

15/40

4. Yol

3/8 ve 5/9 kesirlerinden bütüne daha yakın olan 5/9 kesridir. Dolayısıyla 5/9 kesri 3/8 kesrinden büyüktür.

5. Yol

3/8 ve 5/9 kesirlerini yarımla karşılaştırarak sıralayalım. 3/8 kesri yarımdan küçük, 5/9 kesri ise yarımdan büyüktür. Dolayısıyla 5/9 kesri 3/8 kesrinden büyüktür.

 

*** 2/5 kesri demek, 5 parçaya ayrılmış bir bütünün 2 parçasını temsil ettiği için 0 ile 1 arasını 5 parçaya ayırıp 2.parçasını 2/5 olarak ifade ettik.

 

Örnek: 3/5, 2/6 ve 4/7 kesirlerini sayı doğrusu üzerinde ayrı ayrı gösteriniz.  

Çözüm: 

3/5, 2/6 ve 4/7 kesirleri basit kesirdir. Bu durumda 0 ile 1 arasında 1’e en yakın olan en büyük olacağından;

olur. 3/5 > 4/7 > 2/6 şeklinde olur.

 

*** Payı paydasından büyük veya eşit kesirler “bileşik kesir”, payı paydasından küçük kesirler “basit kesir” olarak adlandırılır.

*** Bileşik kesir, tam sayılı kesre çevrilirken kesrin payı paydasına bölünür. “Bölüm, tam kısma”, “kalan paya”, “bölen paydaya” yazılır.

 

Örnek: kesirlerini sayı doğrusunda göstererek sıralama yapınız. 

Çözüm:

 tam sayılı kesri 2 ile 3 arasındadır. 7/5 bileşik kesrini tam sayılı kesre çevirelim.

3/4 basit kesri 0 ile 1 arasındadır.

Tam sayılı kesirlerde tam kısmı büyük olan kesir daha büyüktür. Basit kesirler daima 0 ile 1 arasındadır. O halde sıralamamız sayı doğrusundan da anlaşılacağı üzere  olur.

 

*** Payı 1 olan kesirler “birim kesir” olarak adlandırılır.

 

Örnek:  sıralamasında  yerine gelebilecek sayıları bulunuz.

Çözüm:

 yerine gelebilecek sayıları bulabilmek için öncelikle paydaları eşitlememiz gerekir. Üç kesrinde paydaları 16’da eşitlenebilir.

İlk kesrimizin paydası 16 olduğu için bir işlem yapmıyoruz.

/4 = x4/4×4 = x4/16

7/8 = 7×2/8×2 = 14/16

Paydalar eşitlendikten sonra yeni sıralamamızı şu şekilde yazabiliriz;

10 

Bundan sonra  yerine gelebilecek sayıları tek tek denememiz gerekmektedir.

 = 1 için 10

 = 2 için 10

 = 3 için 10

 = 4 için 10

O halde  yerine gelebilecek sayı 3’tür.


Kesirlerde Toplama ve Çıkarma İşlemi

Kesirlerde toplama ve çıkarma işlemi yaparken paydalar eşit değilse önce “paydalar eşitlenir”. “Paylar toplanır/çıkarılır”, paya yazılır.“Payda aynen kalır”.

 

*** 1 tam = 2/2, 3/3, 4/4, ….

 

Örnek: Bir bahçenin 2/3’üne domates, 1/4’üne biber ekiliyor. Kalan kısımlara soğan ekildiğine göre ekili alanın tüm alanın kaçta kaçı olduğunu bulunuz.

Çözüm:

Domates ekili kısım ile biber ekişi kısmı toplayıp 1 tamdan çıkarınca soğan ekili kısmı buluruz.

2/3 + 1/4 işlemini yapmak için paydaları eşitleyelim.

 

domates ve soğan ekili alanı bulduk.

1 tam = 12/12 olduğundan 12/12’den 11/122yi çıkarmamız gerekmektedir.

12/12 – 11/12 = 1/12 olur.

Soğan ekili alan tüm alanın 1/12’sidir.

*** Bütün doğal sayılar “paydası 1 olan” kesirlerdir.

Örnek: Aşağıdaki toplama ve çıkarma işlemlerini yapınız.

       

Çözüm:

Öncelikle tamsayılı kesri bileşik kesre çevirip ardından da paydaları eşitledikten sonra işlemlere başlamamız gerekmektedir.

a. 2×3+1/3 = 7/3

7/3 ve 1/5 kesirlerinin paydaları 15’de eşitlenir.

7×5/3×5 = 35/15 , 1×3/5×3 = 3/15

35/15 – 3/15 = 33/15 olacaktır.

b.  7/8 ve 1/4 kesirlerinin paydaları 8’de eşitlenir.

1/4 = 1×2/4×2 = 2/8

 7/8 – 2/8 = 5/8 olacaktır.

c. 3×2+1/2 0 7/2

7/2 ve 2/5 kesirlerinin paydaları 10’da eşitlenir.

7/2 = 7×5/2×5 = 35/10

2/5 = 2×2/5×2 = 4/10

35/10 + 4/10 = 31/10 olcaktır.


Kesirlerde Çarpma İşlemi

İki veya  daha fazla kesri çarparken paylar kendi arasında paydalar da kendi arasında çarpılır ve “payların çarpımı pay bölümüne”, “payda çarpımı payda bölümüne yazılır”.

Eğer çarpa işleminde pay ve paydalar arasında sadeleştirme imkanı varsa sadeleştirme yapılır.

Örnek: Bir yarışma programında, final oyununu kazanan kişi, ağırlığının 5/3’ü kadar cumhuriyet altını kazanmaktadır. Ağrılığı 75 kg olan bir yarışmacının, final oyununu kazandığında kaç tane cumhuriyet altını kazanacağını bulunuz.

Çözüm:

Ağırlığı 75 kg olan yarışmacının kazanacağı altın sayısını bulmak için 75’in 5/3’ünü bulalım.

125 tane cumhuriyet altını kazanır.

*** Bir doğal sayı 1’den büyük bir kesirle çarpıldığında sonuç o doğal sayıdan büyük olur.

*** Bir doğal sayı 1’den küçük bir kesirle çarpıldığında sonuç o doğal sayıdan küçük olur.

Örnek: Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını tahmin edelim.

Çözüm:

a.  4 x 9/5 işleminde 9/5 2’ye çok yakındır. Dolayısıyla 4×2 = 8 olduğundan işlem sonucu yaklaşık 8’dir, diyebiliriz.

4 x 9/5 = 36/5 = 7 tam 1/5 olur.

b. 12 x 4/9 işleminde 4/9 kesri yaklaşık yarıma eşittir. 12’nin yarısı 6 olduğundan 12×4/9 işleminin sonucu yaklaşık 6’dır, diyebiliriz.

12 x 4/9 = 48/9 = 5 tam 3/9 olur.

 c. 13 x 6/7 işleminde 6/7 kesri yaklaşık 1’dir. Dolayısıyla 13×6/7 işleminin sonucu 13’e yakındır. 6/7 kesri 1’den küçük olduğundan 13×6/7 işleminin sonucu 13’ten biraz küçük olur. Sonuç yaklaşık 12’dir, diyebiliriz. 

13 x 6/7 = 78/7 = 11 tam 1/7 olur.

*** İki kesrin çarpımı, bir kesrin diğer kesir kadarını bulma işlemidir.

*** İki kesir çarpılırken paydaların çarpımı payda, payların çarpımı paya yazılır.

*** Tam sayılı kesirlerle çarpma işlemi yapılırken tam sayılı kesir bileşik kesre çevrilir.

Örnek: Aşağıda verilen çarpma işlemlerinin sonucunu bulunuz.

 

 

Çözüm:


Kesirlerle Bölme İşlemi

Kesirlerde bölme işlemi yapılırken kesirlerin paydaları eşitlenir; sonra birinci kesrin payı ikinci kesrin payına bölünür veya birinci kesir aynen alınıp ikinci kesir ters çevrilip birinci kesirle çarpılır. 

Örnek: 6 litre portakal suyu 2/3 litrelik şişelere doldurulacaktır. Bunun için kaç tane şişe gerektiğini bulunuz. 

Çözüm: 

6 litrelik protakal suyunu 2/3 litrelik kaç tane şişeye doldurulacağını bulmak için 6’yı 2/3’e bölelim.

1. Yol

6 : 2/3 işlemini payda eşitleyerek bulalım.

2. Yol

Bölünen sayıyı aynen alıp bölen sayıyı ters çevirerek çarpalım.

 

*** Bir kesri başka bir kesre bölme işlemi, birinci kesrin içinde ikinci kesirden kaç tane olduğunu bulma işlemidir.

Kesirlerle Yapılan İşlemlerin Sonucunu Tahmin Etme

Örnek: 3/5 x 16 işleminin sonucunu tahmin edelim.

Çözüm:

3/5 sayısı yarımdan biraz fazladır. 16’nın yarısından biraz fazlası bu işlemin sonucu için iyi bir tahmin olur.

16 : 2 = 8 olduğundan, 3/5 x 16 ≈ 9 diyebiliriz.

Örnek: Aşağıda verilen işlemin sonucunu tahmin ediniz.

Çözüm:

3 tam 2/5 kesri 3’ten  büyük, 4’ten küçük olduğundan işlemin sonucu;

24 : 3 = 8

24 : 4 = 6 

8 ve 6 arasında bir değer olacaktır. Dolayısıyla sonucu 7 olarak tahmin edebiliriz.


Kesir Problemlerini Çözme

Örnek: Hüseyin Bey sahip olduğu 600 m² arsanın 1/3’ünü eşi Ayşe Hanım’a, kalanın 1/2’sini oğlu Mustafa’ya, geri kalanını ise kızı Bengü’ye devretmiştir. Hüseyin Bey’in en fazla arsayı kime verdiğini bulunuz.

Çözüm:

Önce 600 m²’nin 1/3’ünü, sonra kalanın 1/2’sini ve kalanı bulup karşılaştıralım.

Ayşe Hanım’a: 600 x 1/3 = 600/1 x 1/3 = 600/3 = 200 m²

Kalan 600 – 200 = 400 m²’dir.

Mustafa’ya = 400 : 2 = 200 m²

400 – 200 = 200 m² Bengü’ye devredilmiştir. O halde hepsi eşit miktarda arsa devralmıştır.

Örnek: 42 yolcunun bulunduğu bir otobüste yolcuların 5/6’sı iner, 7 yolcu binerse son durumda otobüste kaç yolcu bulunur.

Çözüm:

Öncelikle inen yolcu sayısını bulalım.

42 x 5/6 = 42*5/6 = 210/6 = 35 yolcu inmiştir.

Kalan yolcu sayısı ise 42- 35 = 7 yolcudur.

7 yolcuda otobüse bindiğine göre;

7 + 7 = 14 , otobüste 14 yolcu bulunmaktadır.

 

Örnek: Utkunun 60, Ömerin 72 tane bilyesi bulunmaktadır. Utku bilyelerinin 2/3’ünü, Ömer bilyelerinin 1/6’sını Yiğit’e verdiğine göre hiç bilyesi olmayan Yiğit’in kaç tane bilyesi olur?

Çözüm:

Utku’nun Yiğit’e verdiği bilye sayısı:

60 x 2/3 = 60×2/3 = 120/3 = 40

Utku Yiğit’e 40 tane bilye vermiştir.

Ömer’in Yiğit’e verdiği bilye sayısı:

72 x 1/6 = 72×1/6 = 72/6 = 12

Ömer Yiğit’e 12 tane bilye vermiştir.

O halde Yiğit’in verilen bilyelerle 40+12 = 52 tane bilyesi olmuştur.

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.