Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Kareköklü ifadelerkonusunu öğreneceğiz.
1, 4, 9, 16 gibi sayılara “tam kare doğal sayılar” adı verilir. Çünkü bu sayı kadar noktalardan bir kare elde edilebilir.
Asal sayılar, tam kare doğal sayı değillerdir.
Aşağıdaki sayılardan hangilerinin tam kare doğal sayı olduğunu bulalım.
25, 31, 49, 56, 64, 90, 121, 144, 169
*** Karesi alınmış bir doğal sayı verildiğinde bu doğal sayının karesi alınmadan önceki hâlini bulmak için sayının karekökü alınır. Karekök 
sembolüyle gösterilir.
Karekökleri tam sayı olan doğal sayılara “tam kare sayılar” denir.
Bir paket lastiğiyle geometri tahtasında, alanı 16 br² olan bir kare oluşturalım. Oluşturduğumuz karenin bir kenarının uzunluğunu bulalım.
Bu kareyi oluşturmak için karenin bir kenarının uzunluğunu bulmalıyız.
“Hangi sayının kendisiyle çarpımı 16 olur?” diye düşünmeliyiz.
4 • 4 = 16 ve (-4) • (-4) = 16 olur.
Uzunluk ölçütleri negatif olamayacağından 16 = 4 • 4’tür.
Tam Kare Olmayan Sayıların Kareköklerinin Tahmin Edilmesi
Tam kare olmayan sayıların karekökleri tahmin edilirken bilinen tam kare sayılarının kareköklerinden yararlanılabilir. Bunun için şu adımlar izlenebilir:
• Karekökü tahmin edilecek sayıya (x) en yakın tam kare sayılar bulunur. Bunlara a ve b diyelim.
Bu sayıdan büyük ve küçük olacak şekildeki en yakın sayılar: a
• Bu üç sayı küçükten büyüğe doğru sembol kullanılarak sıralanır.
• a
• Aynı sıralama karekökleri için yapılır: a
• Sonucun hangi tam sayılar arasında bir sayı olacağı tahmin edilir.
• En yakın onda birliğe kadar tahmin etmek için karekökü tahmin edilecek sayının (x’in) a ve b sayılarına olan uzaklığı bulunur. Buna göre x hangi sayıya daha yakın ise ona göre bir tahmin yapılır.
• Tam kare olmayan sayıların karekökleri irrasyonal sayılardır. Çünkü bu sayıların karekök değerleri tam olarak hesaplanamaz. Yaklaşık olarak hesaplanır.
31 sayısının karekökünü en yakın onda birliğine kadar tahmin edelim.
31’e en yakın olan 31’den küçük ve büyük tam kare sayılar 25 ve 36’dır
Bu nedenle karekök 31 yaklaşık olarak 5,6 olarak tahmin edilebilir.
Gerçek Sayılar
Devirli ondalık gösterimler rasyonel sayıya çevrilirken aşağıda verilen kısa yöntem de kullanılabilir.
Devirli ondalık gösterimde, virgül yok kabul edilerek sayıdan devreden sayıya kadar olan bölüm çıkarılır ve paya yazılır. Paydaya, virgülden sonra devreden sayının basamak sayısı kadar “9”, devretmeyen sayının basamak sayısı kadar da “0” yazılır.
Yukarıdaki sayılardan hangilerinin rasyonel sayı olmadığını bulalım.
*** Rasyonel sayılar, a ve b tam sayı ve b ≠ 0 olmak üzere a/b şeklinde yazılabilir. Her rasyonel sayının ondalık gösterimi vardır. Buna karşılık her ondalık gösterim, bir rasyonel sayı olarak yazılamaz. Rasyonel sayı olarak yazılamayan sayılara “irrasyonel sayılar” denir.
kareköklü sayılarından hangilerinin irrasyonel sayı olduğunu bulalım.
*** Rasyonel sayılarla irrasyonel sayılardan meydana gelen sayılara “gerçek sayılar” denir. Gerçek sayılar R ile gösterilir.
Gerçek sayılar, sayı doğrusunu tam olarak doldurur.
Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşiminden oluşan gerçek sayılar, sayı doğrusunu hiçbir nokta açıkta kalmayacak şekilde doldurulur. Her gerçek sayının sayı doğrusu üzerinde bir görüntüsü vardır. — 4 ile + 4 tam sayıları arasındaki bazı gerçek sayıları gösterelim.
Kareköklü Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri
Kareköklü iki sayının çarpma işleminde çarpımı bulmak için kat sayılar birbirleriyle çarpılarak kat sayıya, kök içindeki sayılar da aynı kök içinde birbirleriyle çarpılarak kök içine yazılır.
Alanı 450 
m² olan dikdörtgen şeklindeki bir okul bahçesinin uzun kenar uzunluğu 25 m’dir. Bahçenin kısa kenarının uzunluğunu bulalım.
Bahçenin kısa kenar uzunluğu 18 m’dir.
*** Kareköklü iki sayı bölünürken sayıların bölümü ortak kök içine yazılabildiği
gibi (payda sıfırdan farklı olmak üzere) aynı kök içinde bulunan bir kesrin pay
ve paydası ayrı ayrı kökler şeklinde de yazılabilir. Bu nedenle a ve b pozitif reel
sayı olmak üzere;
şeklinde ifade edilebilir.
Kareköklü Bir Sayının 
Şeklinde İfade Edilmesi ve Şeklindeki İfadenin Katsayısının Kök İçine Alınması
Karekök içindeki bir sayıyı biçimde yazmak için sayı, çarpanlarına ayrılır. Tam kar olan çarpanlar, karekökü alınarak kök dışına çıkarılır ve kök içinde kalan sayıyla çarpım şeklinde yazılır.
Alanları 55 m² ve 91 m² olan karesel bölgelerin bir kenar uzunluğunun kaç metre olduğunu bulalım.
Alanı 55 m² olan karesel bölgenin bir kenar uzunluğu 55 metredir. 55 sayısını asal çarpanlarına
ayıralım:
55 = 5 • 11
55 sayısının çarpanlarından hiçbiri tam kare sayı olmadığı için 55’in karekökü 
şeklinde
gösterilir. Karenin bir kenar uzunluğu metredir.
Alanı 91 m² olan karesel bölgenin bir kenar uzunluğu 
metredir. 91 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
91 = 7 • 13
91 sayısının çarpanlarından hiçbiri tam kare sayı olmadığı için 91’in karekökü şeklinde
gösterilir. Karenin bir kenar uzunluğu metredir.
*** biçimdeki bir ifadede katsayıyı karekök içine alırken önce katsayının karesi alınır. Daha sonra bu sayı, karekök içinde bulunan sayıyla çarpılarak kök içine alınır.
*** Paydasında kareköklü sayı bulunan bir kesrin paydasını rasyonel sayı yapmak için kesrin paydası eşleniği ile çarpılarak genişletilir. Kareköklü sayı ile eşleniğinin çarpımı rasyonel bir sayıdır. Buna göre;
a ≥ 0 olmak üzere,
sayısının eşleniği kendisidir.
Örnek: 
nin hangi sayılarla çarpımının bir doğal sayı olduğunu bulalım.
Çözüm:
Kareköklü Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri
Kök içleri aynı olan kareköklü sayılar toplanıp çıkarılırken önce katsayılar toplanır ve çıkarılır. Sonra işlem sonucu ortak kareköke katsayı olarak yazılır.
Kök içleri aynı olmayan sayılar toplanır ve çıkarılırken önce kök içleri eşitlenir. Sonra toplama ve çıkarma işlemleri yapılır.
Çiftçi Mehmet Bey, alanı 320 m² olan karesel bölge şeklindeki tarlasının çevresine tel çekecektir. Mehmet Bey’in kaç metrelik tele ihtiyacı olduğunu bulalım.
Ondalık İfadelerin Karekökü
Ondalık gösterimlerin kareköklerini belirlemek için ondalık gösterim, öncelikle kesir olarak ifade edilir. Daha sonra pay ve paydanın karekökleri ayrı ayrı alınarak işlem tamamlanır.
Alanı 12,96 m² olan karesel bölgenin bir kenar uzunluğunu bulalım.
*** Aşağıdaki tabloyu inceleyelim. Sayıların ondalık gösterimlerini, ondalık gösterimin kesir olarak ifade edilmesi, karekök olarak ifade edilmesi ve sonuçları görelim.
Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.