MatematikVadisi / 8.Sınıf / 8. Sınıf Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler Konu Anlatımı

8. Sınıf Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler Konu Anlatımı

Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Cebirsel ifadeler ve özdeşlikler konusunu öğreneceğiz.

En az bir bilinmeyen ve işlem içeren ifadelere “cebirsel ifadeler” denir. Cebirsel ifadelerde bir
veya birden fazla sayıyı temsil eden harflere “değişken” ya da “bilinmeyen” denir.
Bir cebirsel ifadede bir sayı ile bir veya birden fazla değişkenin çarpımına terim denir.
Bir terimin çarpım durumunda bulunduğu sayıya “katsayı” denir.
Bir cebirsel ifadede değişkeni olmayan terime “sabit terim” denir. Sabit terim de bir katsayıdır.
Örneğin,

Terimler birbirlerinden “+” ve “–” sembolleriyle ayrılırlar.

Nisa’nın yaşı 4x, kardeşinin yaşı 3x’dir. Babasının yaşı Nisa’nın yaşı ile kardeşinin yaşlarının çarpımına eşittir. Nisa’nın babasının yaşını bulalım.

Nisa’nın yaşını kardeşinin yaşı ile çarparsak babalarının yaşını buluruz. O halde;
Babanın yaşı: 4x . 3x = 4 . 3 . x . x = 12 . x² dir.

 

Örnek: Aşağıdaki dikdörtgenin uzun kenarını 3 birim, kısa kenarını 2 birim azaltınca oluşan yeni dikdörtgenin alanını cebirsel olarak ifade edelim.

Çözüm:

Dikdörtgenin uzun kenarı x + 6 , yeni oluşan dikdörtgenin uzun kenarı;
2x + 6 – 3 = 2x + 3 birimdir.
Dikdörtgenin kısa kenarı x + 4, yeni oluşan dikdörtgenin kısa kenarı;
x + 4 – 2 = x + 2 birimdir.

Dikdörtgenin alanı: (2x + 3) . (x + 2) = 2x . x + 2x . 2 + 3 . x + 3 . 2
= 2x² + 4x + 3x + 6
= 2x² + 7x + 6’ dır.


Özdeşlikler

Bilinmeyenin her değeri için doğru olan cebirsel ifadelere “özdeşlik” denir.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
özdeşliğini modelleyerek gösterelim.

Bir kenar uzunluğu a + b olan bir kare alalım.
Kareyi yanda görüldüğü gibi parçalara ayıralım.
Karenin alanını hem karenin alan formülünden hem de içindeki parçaların
alanları toplamından bulalım.
Karenin alanı: (a + b)²
Karenin içindeki parçaların alanları toplamı:

a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² dir.
O halde, (a + b)² = a² + 2ab + b² dir.

 

*** İki terimin toplamının karesi özdeşliği; (a + b)² = a² + 2ab + b² dir.
İki terimin toplamının karesi alınırken birinci terimin karesi, birinci terimle ikinci terimin çarpımlarının iki katı ve ikinci terimin karesi toplanır.

 

*** İki terimin farkının karesi özdeşliği, (a – b)² = a² – 2ab + b² dir.
İki terimin farkının karesi alınırken birinci terimin karesi, birinci terimle ikinci
terimin çarpımlarının eksi iki katı ve ikinci terimin karesi toplanır.

Aşağıdaki cebirsel ifadelere eşit cebirsel ifadeleri iki terimin farkının karesi özdeşliğinden yararlanarak bulalım.
a) (x – 4)²

b) (5 – y)²

c) (2x – 4y)²

a. (x – 4)² = x² – 2 . x . 4 + (– 4)² = x² – 8x + 16
b. (5 – y)² = 5² – 2 . 5 . y + y² = 25 – 10y + y²
c. (2x – 3y)² = (2x)² – 2 . (2x) • (3y) + (– 3y)²
= 4x² – 12yx + 9y²

 

*** İki kare farkı özdeşliği; a² – b² = (a – b) . (a + b)
İki terimin kareleri farkı, iki terimin farkı ile toplamının çarpımına eşittir.

Aşağıda verilen işlemleri iki kare farkı özdeşliğinden yararlanarak yapalım.
a) 105² – 52

b) 85² – 15²

İki kare farkı özdeşliği a² – b² = (a – b) . (a + b)’dir. O halde;
a. 105² – 5² = (105 – 5) . (105 + 5) = 100 . 110 = 11 000
b. 85² – 15² = (85 – 15) . (85 + 15) = 70 . 100 = 7 000’dir.


Cebirsel İfadeleri Çarpanlarına Ayırma

Bir cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırmak, çarpanları o cebirsel ifadeyi veren çarpanların çarpımı olarak yazmaktır.

Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırmaya ortak çarpan parantezine alma yöntemi denir.

3x² + 2x cebirsel ifadesinin çarpanlarını iki farklı yöntemle bulalım.

1. Yol

3x² + 2x cebirsel ifadesinin çarpanlarını modelleme yaparak bulalım.
Önce 3x² + 2x cebirsel ifadesini cebir karolarımızı kullanarak modelleyelim.

3x² + 2x cebirsel ifadesini modellediğimiz parçaları kullanarak bir dikdörtgensel bölge oluşturalım:

Dikdörtgensel bölgenin kenar uzunlukları 3x² + 2x cebirsel ifadesinin çarpanlarıdır.
Çünkü dikdörtgensel bölgenin kenar uzunluklarının çarpımı ve parçalarının alanları-
nın toplamı dikdörtgensel bölgenin alanına eşittir. O halde,
3x² + 2x = x . (3x + 2)’dir.

2. Yol

3x² + 2x cebirsel ifadesinin terimlerin en büyük ortak böleni x’tir. Buna göre;
3x² + 2x = x . 3x + x . 2
= x . (3x + 2)
Ortak çarpan parantezine alma özelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırdık.

 

*** Üç terimli ifadelerde, birinci terimin karekökü ile üçüncü terimin karekökünün çarpımının eksi iki katı ortanca terimine eşit olan cebirsel ifadeler; birinci terimin karekökü ile ikinci terimin karekökünün farkının karesine eşittir.

Aşağıdaki cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayıralım.
a) x² + 14x + 49

b) x² – 12x + 36

 

Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir