Sevgili Öğrenciler bugün ki dersimizde Dönüşüm geometrisi konusunu öğreneceğiz.
Düzlemsel Şekillerin Eş Olup Olmadığını Belirleme, Bir Şekle Eş Şekiller Oluşturma
Biçimleri aynı, ölçüleri eşit olan düzlemsel şekillere “eş şekiller”denir.
Kareli kağıda çizilmiş aşağıdaki şekilleri inceleyelim. Eş olan şekilleri belirleyelim.
2. ve 7. şekiller üst üste getirilirse tüm noktalar çakışır. 5. ve 8. şekiller üst üste getirilirse tüm
noktalar çakışır. Karşılık gelen tüm açılar ve kenar uzunlukları eşit olduğundan 2. ve 7. şekil ile 5. ve 8. şekil eştir.
4. ve 6. şekil düzgün beşgendir. Bu şekillerin tüm açıları aynı fakat kenar uzunlukları farklı olduğundan eş şekiller değildir.
1. ve 3. şekil karedir. Bu şekillerin de tüm açıları aynı fakat kenar uzunlukları farklı olduğundan
eş şekiller değildir.
Örnek: Kareli kağıda çizilmiş aşağıdaki şekle eş bir şekil oluşturalım.
Çözüm:
Kırmızı ile çizilmiş doğru parçasına şeklin sağında paralel bir doğru çizelim. Şeklin üzerindeki
köşelerden bu doğruya dikmeler çizelim. Çizdiğimiz dikmelerin uzunluğunu bulalım. Bu dikmelerin doğruyu kestiği noktalardan dikmelerin uzunluğu kadar sağa giderek bulduğumuz noktaları işaretleyelim. Bu noktaları ardışık olarak birleştirelim. Verilen şekle eş bir şekil (1. şekil) oluşturmuş oluruz.
Yukarıda yaptığımız işlemleri l doğrusu için tekrarlarsak verilen şekle eş 2. şekli oluşturmuş
oluruz.
Düzlemde Nokta, Doğru Parçası ve Diğer Şekillerin Öteleme Altındaki Görüntüleri
Bir şeklin veya nesnenin bir yerden başka bir yere belirli bir yön ve doğrultuda yer değiştirme hareketine “öteleme” denir.
Bir doğru parçası ötelenirken bu doğru parçasının başlangıç ve bitiş noktalarının ötelendiği noktalar bulunur. Bulunan noktaları birleştirilerek bu doğru parçasının ötelenmiş hali elde edilmiş olur.
Noktalı kağıt üzerinde bir şekil belirleyelim. Şekli 6 br yukarı ve 7 br sağa öteleyelim.
*** Bir çokgeni ötelerken çokgenin köşelerinin ötelendiği noktalar bulunur. Bu noktalar ardışık olarak birleştirilerek bu çokgenin ötelenmiş hali elde edilmiş olur.
Noktalı kağıt üzerinde bir şekil belirleyelim. şekli 10 br sağa, 6 br aşağıya öteleyelim.
Ötelenen Şekiller ile Bu Şekillerin Görüntüleri Arasındaki İlişki
Ötelemede şekil üzerindeki her bir nokta aynı yön ve büyüklükte bir dönüşüme uğrar. Şekil ile şeklin öteleme sonrası oluşan görüntüsü eştir.
Aşağıda ABC üçgeninin ötelenmesiyle A’B’C’ ve A’B’C’ üçgeninin ötelenmesiyle A”B”C” üçgeni elde edilmiştir.
Bu dönüşümlerde ötelenen şekil ile bu şeklin ötelenmesiyle elde edilen görüntüsünün eş olup olmadığını, ötelenen şekil üzerindeki her bir noktanın hangi yön ve büyüklükte bir dönüşüme tabi olduğunu belirleyelim.
|AA’|, |BB’|, |CC’| ölçelim.
|AA’| = |BB’| = |CC’| = 8 br
ABC üçgeninin köşeleri 8 br sola ötelenmiştir.
|A’A”|, |B’B”|, |C’C”| ölçelim.
|A’A”| = |B’B”| = |C’C”| = 6 br
A’B’C’ üçgeninin köşeleri 6 br aşağı ötelenmiştir.
ABC, A’B’C’ ve A”B”C” üçgenleri eştir.
Düzlemde Nokta, Doğru Parçası ve Diğer Şekillerin Yansıma Sonucu Oluşan Görüntüleri
Bir şeklin bir doğruya göre simetrisi alınırsa elde edilen şekil, bu şeklin verilen doğruya göre “yansıması”dır. Şeklin yansımasını bulabilmek için doğruya (simetri eksenine) göre simetrisini bulmamız gerekir. Bunun için önce şekil üzerindeki noktalardan simetri eksenine dikmeler inerek, daha sonra bu dikmelerin uzunluğu kadar simetri ekseninin diğer tarafına gidilerek simetriğindeki noktayı bulmak gerekir.
Noktalı kağıda bir doğru parçası ve simetri doğrular çizelim. Bu doğru parçasının simetri doğrularına göre yansımalarını oluşturalm.
[AB]’nın l doğrusuna göre yansıması [A’B’], t doğrusuna göre yansıması [A”B”]’dır.
*** Bir doğru parçası ya da çokgenin bir doğruya göre yansımasının görüntüsü çizilirken doğru parçasının başlangıç ve bitiş noktalarının, çokgenin ise köşelerinin o doğruya göre yansıma altındaki görüntüleri bulunur. Bu görüntüler ardışık olarak birleştirilerek doğru parçası ya da çokgenin yansıma altındaki görüntüsü elde edilir.
Kareli kağıda bir şekil ve bir doğru çizelim. Bu şeklin doğruya göre yansımasını oluşturalm.
Yansımada Şekil ile Görüntüsü Arasındaki İlişki
Yansımada şekil ile görüntüsü üzerinde birbirlerine karşılık gelen noktaların simetri doğrusuna olan uzaklıkları eşittir. Şekil ile şeklin görüntüsü eştir.
Noktalı kağıda bir şekil ve simetri doğrusu çizelim. Bu şeklin simetri doğrusuna göre yansımasını oluşturalım. Şekil ile görüntüsü üzerinde birbirlerine karşılık gelen noktaları birleştirelim. Elde edeceğimiz doğru parçalarının simetri doğrusuna dik olup olmadığını belirleyelim.
*** Yansımada şekil ile görüntüsü üzerinde birbirlerine karşılık gelen noktaları birleştiren doğru parçası simetri doğrusuna diktir.
Kareli kağıda bir şekil ve simetri doğrusu çizelim. Bu şeklin simetri doğrusuna göre yansımasını oluşturalım.
Verilen şeklin üzerindeki [AB] aynı zamanda simetri doğrusu üzerindedir. [AB] şeklin simetri doğrusuna göre yansıması üzerinde değişmez kalır. Şeklin yansımasının da bir parçasıdır. Kırmızı renkle çizilmiş şeklin simetri doğrusuna göre yansıması mavi renkle çizilmiş şekildir.
Örnek: Kareli kağıda bir şekil ve simetri doğrusu çizelim. Bu şeklin simetri doğrusuna göre yansımasını oluşturalım.
Kırmızı renk ile çizilmiş şeklin simetri doğrusuna (d) göre yansıması mavi renk ile çizilmiş şekildir.
Düzlemsel Bir Şeklin Ardışık Ötelemeler ve Yansımalar Sonucu Elde Edilen Görüntüsü
Aşağıda bir şekil ve simetri doğruları verilmiştir. Şeklin a doğrusuna göre yansımasını çizelim.
Yansıma sonucu oluşan görüntüyü 6 br aşağıya öteleyelim. Öteleme sonucu oluşan şeklin de b doğrusuna göre yansımasını bulalım.
Kırmızı ile çizilmiş şeklin a doğrusuna göre yansıması mavi ile çizilmiş şekildir. Mavi ile çizilmiş şeklin 6 br aşağı ötelenmiş hali turuncu ile çizilmiş şekildir. Turuncu ile çizilmiş şeklin b doğrusuna göre yansıması sarı ile çizilmiş şekildir.
Örnek: Aşağıdaki desen için kullanılan bazı dönüşüm hareketlerini belirleyelim.
Çözüm:
1 numaralı şeklin yatay eksene göre yansıtılmasıyla 2 numaralı şekil elde edilmiştir.
1 ve 2 numaralı şekillerin dikey eksene göre yansıtılmasıyla 3 ve 4 numaralı şekiller elde
edilmiştir.
1, 2, 3 ve 4 numaralı şekillerden oluşan şekil ötelenerek veya bu şeklin dikey eksene göre
yansıması alınarak diğer şekiller elde edilmiştir.
1 numaralı şeklin dikey eksene göre yansıtılmasıyla 3 numaralı şekil, 1 ve 3 numaralı şekillerin
oluşturduğu şeklin yatay eksen boyunca ötelenmesi veya yatay eksene göre yansıtılmasıyla 2
ve 4 numaralı şekiller elde edilmiştir.
Evet arkadaşlar bir matematik konu anlatımının daha sonuna geldik. İlerleyen derslerde yeniden görüşmek üzere.